2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市千陽中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市千陽中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=2，公差d=3，若aA.1 B.2 C.3 D.42.已知a=(1,0,1)，b=(x,1,2)，且a?b=3，則向量a與A.5π6 B.2π3 C.π33.已知定點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)P為圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線x+y?4=0上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)|PQ|取最小值時(shí)，設(shè)△PAQ的面積為SA.4+22 B.4?224.已知等比數(shù)列{an}的公比為?12，前n項(xiàng)和為Sn.若SA.3 B.4 C.5 D.75.設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線x+2y=0上，A.x22?y2=1 B.x6.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1A.32 B.155 C.7.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線lA.12 B.22 C.8.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(

)A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.{an}是等差數(shù)列，公差為d，前項(xiàng)和為Sn，若S5A.d<0 B.a7=0 C.S910.已知函數(shù)f(x)=x3?3xA.曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為2x?y+2=0

B.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.?a∈(?2,2)，都能使方程f(x)=a有三個(gè)實(shí)數(shù)根

D.曲線y=f(x)是中心對(duì)稱圖形11.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥底面ABCD，則A.PA⊥BD

B.PB與平面ABCD所成角為π3

C.異面直線AB與PC所成角的余弦值255

D.平面PAB12.已知M，N是拋物線C：x2=2py(p>0)上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P(t,1)到焦點(diǎn)F的距離為32，下列說法正確的是A.p=1

B.若OM⊥ON，則直線MN恒過定點(diǎn)(0,1)

C.若△MOF的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為12

D.若MF=2FN，則直線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知等比數(shù)列{an}中，a4?a7=?512，a14.已知直線y=kx+b是曲線f(x)=xex在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程，則k+b=______．15.寫出與兩圓(x?1)2+y2=1，x216.在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上，BE=BF=1，點(diǎn)G，H為棱DD1上的動(dòng)點(diǎn).若平面EFG/?/四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2?4n，n∈N?．

(1)證明：數(shù)列{an18.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；19.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC中點(diǎn)，且PB⊥AM．

(1)求BC；

(2)求二面角A?PM?B的正弦值．20.(本小題12分)

如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO．

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角21.(本小題12分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P是C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PF與x軸垂直，|OP|=35．

(1)求C的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若△PAB的面積為1822.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A為橢圓與y軸交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點(diǎn)，△AF1F2為等腰直角三角形，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為2?2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)參考答案1.D

2.D

3.D

4.C

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.AC

12.AD

13.512

14.e

15.y=1

16.3217.(1)證明：由題意，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=?3，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1

=n2?4n?[(n?1)2?4(n?1)]

=2n?5，

∵當(dāng)n=1時(shí)，a1=?3也滿足上式，

∴an=2n?5，n∈N?，

此時(shí)an+1?an=2為常數(shù)，

故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

(2)解：由18.解：選擇①③為條件，②結(jié)論．

證明過程如下：

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意可得：a2=a1+d=3a1，∴d=2a1，

數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn=na1+n(n?1)2d=na1+n(n?1)2×2a1=n2a1，

故Sn?Sn?1=na1?(n?1)a1=a1，

據(jù)此可得數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列．

選擇①②為條件，③結(jié)論：

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則：19.解：(1)連結(jié)BD，

因?yàn)镻D⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，

則AM⊥PD，

又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD?平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，

又BD?平面PBD，則AM⊥BD，

所以∠ADB+∠DAM=90°，

又∠DAM+∠MAB=90°，

則有∠ADB=∠MAB，

所以Rt△DAB∽R(shí)t△ABM，

則ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；

(2)因?yàn)镈A，DC，DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2,0,0)，B(2,1,0)，M(22,1,0)，P(0,0,1)，

所以AP=(?2,0,1)，AM=(?22,1,0)，BM=(?22,0,0)，BP=(?2,?1,1)，

設(shè)平面AMP的法向量為n=(x,y,z)，

則有n?AP=0n?AM=0，即?2x+z=0?22x+y=0，20.解：(1)不妨設(shè)圓O的半徑為1，OA=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=AC=3，DO=DA2?OA2=3,PO=66DO=22，

PA=PB=PC=PO2+AO2=62，

在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，

同理可得PA⊥PB，又PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC，

故PA⊥平面PBC；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有B(21.解：(1)由題可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p2,p)，

因?yàn)閨OP|=35，所以(p2)2+p2=45，

解得p=6或p=?6(舍去)，

故C的方程為y2=12x；

(2)由題可知，P(3,6)，所以直線l的斜率一定存在，

可設(shè)l的方程為y=k(x?3)，A(x1,y1)，B(x2,y2