2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.1.2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE12．1．2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式1．了解兩點(diǎn)間距離的概念．2．理解坐標(biāo)法的意義．3．駕馭兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)公式并會(huì)應(yīng)用．1．兩點(diǎn)間的距離公式(1)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的距離表示為d(A，B)＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．①當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，d(A，B)＝|x2－x1|；②當(dāng)AB平行于y軸時(shí)，d(A，B)＝|y2－y1|；③當(dāng)B點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，d(A，B)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)算術(shù)平方根eq\r((x－a)2＋(y－b)2)的幾何意義是表示兩點(diǎn)A(x，y)，B(a，b)的距離．2．中點(diǎn)公式已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)．3．坐標(biāo)法把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系加以分析探討解決問題的方法．用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本步驟如下：(1)建立坐標(biāo)系；(2)標(biāo)出圖形上有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，按已知條件用坐標(biāo)表示等量關(guān)系；(3)通過以上兩個(gè)程序，把幾何問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)式來演算．1．已知M(－2，1)，N(4，－5)，則線段MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－1，2) B．(1，2)C．(1，－2) D．(－1，－2)解析：選C．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝eq\f(－2＋4,2)＝1，y＝eq\f(1－5,2)＝－2．2．算術(shù)平方根eq\r(a2＋b2)的幾何意義是什么？解：點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)的距離．兩點(diǎn)間的距離若x軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)及點(diǎn)(5，－3)的距離相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，0)，由題意知|x|＝eq\r((x－5)2＋(0＋3)2)，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3．4，故所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3．4，0)．若將例題中的“x軸上的點(diǎn)M”改為“坐標(biāo)軸上的點(diǎn)M”，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，由例題知其坐標(biāo)為M(3．4，0)．當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為M(0，y)．由題意知eq\r((0－5)2＋(y＋3)2)＝|y|，所以y＝－eq\f(17,3)．綜上，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3．4，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,3)))．eq\a\vs4\al()本題是平面上兩點(diǎn)間距離公式和數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式的綜合應(yīng)用，其中數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是平面上兩點(diǎn)間距離的特別情形，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意及距離公式列出方程．已知A(1，－2)，B(2，3)，則d(A，B)＝()A．eq\r(2) B．eq\r(34)C．eq\r(24) D．eq\r(26)解析：選D．d(A，B)＝eq\r((2－1)2＋(3＋2)2)＝eq\r(26)．中點(diǎn)公式的應(yīng)用在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，且A(－4，0)，B(2，－2)，E(2，eq\f(1,2))，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解】因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，且A(－4，0)，B(2，－2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－1)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)＝2，,\f(y－1,2)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，2)．若本例中已知條件不變，又如何求中線CD的長(zhǎng)度？解：由例題解析知C(5，2)，D(－1，－1)，所以d(C，D)＝eq\r((5＋1)2＋(2＋1)2)＝3eq\r(5)．eq\a\vs4\al()本題主要考查了中點(diǎn)公式的敏捷應(yīng)用，若已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))．已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為D(x，y)，(1)若四邊形ABCD是平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝\f(－1＋0,2),\f(y＋1,2)＝\f(－2＋2,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－1))，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(－4，－1)．(2)若四邊形ABDC是平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)＝\f(3＋0,2),\f(y－2,2)＝\f(1＋2,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝5))，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，5)．(3)若四邊形ACBD是平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)＝\f(－1＋3,2),\f(y＋2,2)＝\f(－2＋1,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－3))，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(2，－3)．綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．坐標(biāo)法證明幾何問題已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：2AM＝BC．【證明】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B，C的坐標(biāo)分別是(b，0)，(0，c)．因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(b,2)，eq\f(c,2))．由兩點(diǎn)間距離公式，得d(B，C)＝eq\r(b2＋c2)，d(A，M)＝eq\r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq\f(\r(b2＋c2),2)．所以2d(A，M)＝d(B，C)．所以2|AM|＝|BC|，即2AM＝BC．eq\a\vs4\al()建立直角坐標(biāo)系時(shí)，要利用圖形特點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以避開困難的運(yùn)算．已知AO是△ABC中BC邊上的中線，證明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．證明：以BC所在直線為x軸，過A作BC的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)B(b，0)，C(c，0)，A(0，a)，則Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)，0))．因?yàn)閨AB|2＋|AC|2＝(a－0)2＋(0－b)2＋(a－0)2＋(0－c)2＝2a2＋b2＋c2，2(|AO|2＋|OC|2)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)－0))\s\up12(2)＋(0－a)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(b＋c,2)))\s\up12(2)))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))\s\up12(2)＋a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－c,2)))\s\up12(2)))＝2a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．1．坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上隨意兩個(gè)已知點(diǎn)間的距離；反過來，已知兩點(diǎn)間的距離也可以依據(jù)條件求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)是解析幾何中常用的基本方法，首先應(yīng)熟記中點(diǎn)坐標(biāo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后依據(jù)題意，明確應(yīng)用哪兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程或方程組求解．3．平面幾何中與線段長(zhǎng)有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標(biāo)法來證明．用坐標(biāo)法解題時(shí)，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依靠于平面直角坐標(biāo)系的建立而變更的，但不同的平面直角坐標(biāo)系會(huì)使計(jì)算有繁簡(jiǎn)之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必需“避繁就簡(jiǎn)”．用坐標(biāo)法探討幾何問題時(shí)，要建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法將幾何問題代數(shù)化，建系時(shí)盡可能將平面幾何圖形中的點(diǎn)、線放在坐標(biāo)軸上，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或其他條件，表示出其余點(diǎn)的坐標(biāo)，要留意坐標(biāo)的正確性．1．已知線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)且A(x，2)，B(3，y)，則x＋y等于()A．5 B．－1C．1 D．－5解析：選D．由題意知，x＝－3，y＝－2，則x＋y＝－5．2．若A(a，－eq\r(ab))，B(b，eq\r(ab))，則d(A，B)等于()A．|a－b| B．|a＋b|C．|eq\r(a)＋eq\r(b)| D．|eq\r(a)－eq\r(b)|解析：選B．d(A，B)＝eq\r((b－a)2＋(\r(ab)＋\r(ab))2)＝eq\r((a＋b)2)＝|a＋b|．3．設(shè)點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，線段PQ的中點(diǎn)是M(－1，2)，則d(P，Q)＝．解析：由題意知，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，0)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)，d(P，Q)＝eq\r((0＋2)2＋(4－0)2)＝2eq\r(5)．答案：2eq\r(5)4．已知A(1，2)，B(－3，b)兩點(diǎn)的距離等于4eq\r(2)，則b＝．解析：由兩點(diǎn)間距離公式eq\r((1＋3)2＋(2－b)2)＝4eq\r(2)，得b＝6或b＝－2．答案：6或－2[學(xué)生用書P107(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，則a的值為()A．4 B．－4或2C．－2 D．－2或4解析：選D．由兩點(diǎn)間距離公式得eq\r((a－1)2＋(6－2)2)＝5．解得a＝－2或a＝4．2．已知點(diǎn)A(x，5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．4 B．eq\r(13)C．eq\r(15) D．eq\r(17)解析：選D．由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2),y＝\f(5－3,2)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝1))，d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．3．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(4，－3) B．(1，4)C．(－4，－2) D．(－2，－2)解析：選C．設(shè)C(x，y)，則eq\f(2＋8＋x,3)＝2，所以x＝－4．eq\f(3＋(－4)＋y,3)＝－1，所以y＝－2，故選C．4．若點(diǎn)P與x軸及點(diǎn)A(－4，2)的距離都是10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(2，10)或(－10，10)B．(2，10)C．(－10，10)D．(10，2)或(10，－10)解析：選A．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r((x＋4)2＋(y－2)2)＝10，,|y|＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－10,y＝10))．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，10)或(－10，10)．5．若△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－2，2)，B(3，2)，C(4，0)，則AC邊的中線BD長(zhǎng)為．解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AC的中點(diǎn)D(1，1)，再由兩點(diǎn)間距離公式得|BD|＝eq\r((1－3)2＋(1－2)2)＝eq\r(5)．答案：eq\r(5)6．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(eq\r(3)，2)、B(0，1)、C(0，3)，則此三角形的形態(tài)是．解析：因?yàn)閨AB|＝eq\r((\r(3)－0)2＋(2－1)2)＝2，|AC|＝eq\r((\r(3)－0)2＋(2－3)2)＝2，|BC|＝eq\r((0－0)2＋(1－3)2)＝2，所以|AB|＝|AC|＝|BC|．所以△ABC為等邊三角形．答案：等邊三角形7．已知矩形相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)是A(－1，3)，B(－2，4)，若它的對(duì)角線交點(diǎn)在x軸上，求另外兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)為P(x，0)，則|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以對(duì)角線交點(diǎn)為P(－5，0)．所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．8．求函數(shù)y＝eq\r(x2＋x＋1)－eq\r(x2－x＋1)的值域．解：明顯函數(shù)的定義域?yàn)镽，y＝eq\r((x＋\f(1,2))2＋\f(3,4))－eq\r((x－\f(1,2))2＋\f(3,4))．設(shè)P(x，0)，A(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))為平面上三點(diǎn)，則|PA|＝eq\r((x－\f(1,2))2＋\f(3,4))＝eq\r(x2－x＋1)，|PB|＝eq\r((x＋\f(1,2))2＋\f(3,4))＝eq\r(x2＋x＋1)．y＝|PB|－|PA|．因?yàn)閨|PB|－|PA||<|AB|且|AB|＝1，所以|y|<1，即－1<y<1，故函數(shù)的值域?yàn)?－1，1)．[B實(shí)力提升]9．已知點(diǎn)A(2，0)，B(4，2)，若|AB|＝2|AC|，則C點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(1，1) B．(1，1)或(5，－1)C．(1，1)或(3，1) D．多數(shù)多個(gè)解析：選D．設(shè)C(x，y)，則eq\r((4－2)2＋(2－0)2)＝2eq\r((x－2)2＋(y－0)2)，即(x－2)2＋y2＝2．所以存在多數(shù)多個(gè)C點(diǎn)．10．已知點(diǎn)A(－eq\r(3)，a)，B(0，1)是平面上相異的兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為．解析：|AB|＝eq\r((－\r(3)－0)2＋(a－1)2)＝eq\r((a－1)2＋3)≥eq\r(3)．所以|AB|min＝eq\r(3