2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.2向量的加法學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-6.1.2向量的加法素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.理解向量和的定義．2．駕馭向量加法的法則．3．了解多個向量相加．4．理解向量加法的運算律．5．了解和向量模的不等式．1.通過學(xué)習(xí)和向量定義，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過向量加法的運算，培育學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知學(xué)問點向量加法的定義及其運算法則(1)向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算．(2)向量求和的法則三角形法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b作出向量eq\o(AC,\s\up6(→))，則向量__eq\o(AC,\s\up6(→))__稱為a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．平行四邊形法則已知兩個__不共線__向量a，b，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以__eq\o(AB,\s\up6(→))__，__eq\o(AD,\s\up6(→))__為鄰邊作□ABCD，則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝__a＋b__.(3)向量a，b的模與a＋b的模之間的關(guān)系：||a|－|b||__≤__|a＋b|__≤__|a|＋|b|．思索：(1)向量求和的三角形法則中求和的兩個向量的起點與終點是怎樣連接的？和向量的起點與終點是怎樣的？(2)利用向量求和的三角形法則時，若向量a，b中有零向量怎么辦？若兩向量共線時，能否利用三角形法則求和？(3)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以嗎？(4)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特點？和向量是怎樣產(chǎn)生的？提示：(1)求和的兩個向量“首尾連接”，其和向量是從第一個向量的起點指向最終一個向量的終點的向量．(2)對于零向量與任一向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝A．當(dāng)兩向量共線時，仍可以運用三角形法則求和．(3)不行以，因為假如兩個向量共線，就無法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅?，也不會產(chǎn)生和向量．(4)求和的兩個向量與和向量共起點，和向量是以求和的兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線向量．學(xué)問點多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的始點為__始點__，最終一個向量的終點為__終點__的向量，就是這些向量的和，如圖所示．學(xué)問點向量加法的運算律交換律結(jié)合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思索：(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)成立嗎？提示：成立，向量的加法運算滿意交換律和結(jié)合律，因此在進(jìn)行多個向量的加法運算時，可以依據(jù)隨意的次序和隨意的組合去進(jìn)行．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型向量的加法法則┃┃典例剖析__■典例1(1)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，點F為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__；②eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝__eq\o(AB,\s\up6(→))__．(2)下列說法正確的是__①③__．①若|a|＝3,|b|＝2,則|a＋b|≥1,②若向量a，b共線，則|a＋b|＝|a|＋|b|，③若|a＋b|＝|a|＋|b|，則向量a，b共線．(3)如圖所示，已知向量a、b、c不共線，求作向量a＋b＋C．[解析](1)如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．(2)①正確，當(dāng)兩向量反向時，和向量的模最小為1；②中描述的只是向量同向時的狀況，故不正確，反之正確，即③正確．(3)a、b、c不共線中隱含著a，b，c均為非零向量，因為零向量與任一向量都是共線的．利用三角形法則或平行四邊形法則作圖．解法一：(三角形法則)：如圖(1)所示，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b＋C．解法二：(平行四邊形法則)：∵a、b、c不共線，如圖(2)所示．在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作□OADB，則對角線eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OD,\s\up6(→))為鄰邊作□OCED．則eq\o(OE,\s\up6(→))＝a＋b＋C．規(guī)律方法：1.向量求和的留意點：(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用．(2)兩個向量的和向量仍是一個向量．(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用．2．利用三角形法則時，要留意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要留意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量．┃┃對點訓(xùn)練__■1．在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，用a、b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))．[解析]如圖，連接FC交AD于點O，連接OB，由平面幾何學(xué)問得四邊形ABOF、四邊形ABCO均為平行四邊形．依據(jù)向量的平行四邊形法則，有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋B．故有eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))＝2a＋2B．在平行四邊形ABCO中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋a＋b＝2a＋b，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋b＝eq\o(FE,\s\up6(→))，由三角形法則得：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝b＋a＋b＝a＋2B．題型向量加法的運算律┃┃典例剖析__■典例2化簡或計算：(1)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝__eq\o(AD,\s\up6(→))__．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝__0__．(3)□ABCD中(如圖)，對角線AC，BD交于點O．則①eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__；②eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝__eq\o(AO,\s\up6(→))__；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝__eq\o(AD,\s\up6(→))__；④eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝__0__．[解析](1)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0．(3)①eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，②eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，④eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0．規(guī)律方法：(1)解決該類題目要敏捷應(yīng)用向量加法的運算律和向量加法法則，留意各向量的起、終點及向量起、終點字母排列依次，特殊留意勿將0寫成0．(2)運用向量加法求和時，在圖中表示“首尾相接”時，其和向量是從第一個向量的起點指向最終一個向量的終點．┃┃對點訓(xùn)練__■2．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→))．(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0．題型利用向量加法證明幾何問題┃┃典例剖析__■典例3在□ABCD的對角線BD的延長線及反向延長線上，取點F，E，使BE＝DF(如圖)．用向量的方法證明：四邊形AECF也是平行四邊形．[解析]∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，即AE，F(xiàn)C平行且相等，∴四邊形AECF是平行四邊形．規(guī)律方法：用向量證明幾何問題的一般步驟：(1)要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量．(2)通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系．┃┃對點訓(xùn)練__■3．已知在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且AO＝OC，DO＝OB．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．[解析]依據(jù)向量加法的三角形法則，有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\