2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價1.4.2用空間向量研究距離夾角問題含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE八用空間向量探討距離、夾角問題(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知直二面角α-l-β,點A∈α,AC⊥l,C為垂足,B∈β,BD⊥l,D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.因為平面α⊥平面β,且AC⊥l,BD⊥l,故AC⊥平面β,BD⊥平面α,依題意建立坐標系如圖所示,在Rt△ACD中,可得CD=QUOTE,故A(0,0,1),B(1,QUOTE,0),C(0,0,0),D(0,QUOTE,0),則=(0,0,1),=(1,QUOTE,0),=(0,QUOTE,0).設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則?QUOTE令y=1,可得n=(-QUOTE,1,0),故所求距離d==QUOTE=QUOTE.故選C.2.兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為 ()A.45° B.60° C.90° D.135°【解析】選A.cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即<m,n>=45°.所以兩平面的夾角為45°.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角θ的正弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設正方體的棱長為1,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.則B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).令平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),所以sinθ=|cos<n,>|=QUOTE=QUOTE.4.正方形ABCD所在平面外有一點P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,則平面PAB與平面PCD的夾角的大小為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選B.建立空間直角坐標系如圖,設AB=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).可知平面PAB的一個法向量為n1=(1,0,0).設平面PCD的法向量為n2=(x,y,z),則得QUOTE令x=1,則z=1.所以n2=(1,0,1),cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE.設平面PAB與平面PCD所成的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=QUOTE,所以θ=45°.即平面PAB與平面PCD夾角的大小為45°.二、填空題(每小題5分,共10分)5.在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為.

【解析】設a=(0,-1,3),b=(2,2,4),則cos<a,b>=QUOTE=QUOTE,又因為兩向量的夾角與二面角相等或互補,所以這個二面角的余弦值為±QUOTE.答案:±QUOTE6.如圖,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF將正方形折成一個二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,則AF與CE所成角的余弦值為.

【解析】因為AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=EF=CD=2,則E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以AF與CE所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖所示,已知在四面體ABCD中,O為BD的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=QUOTE,求異面直線AB與CD所成角的余弦值.【解析】以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,QUOTE,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-QUOTE,0),所以cos<,>==QUOTE.8.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設F(0,0,z).由面面平行的性質(zhì)定理知四邊形AEC1F為平行四邊形,所以由=,得(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).于是||=2QUOTE=BF.(2)設n為平面AEC1F的一個法向量,明顯n不垂直于平面ADF,故可設n=(x,y,1),由得QUOTE即QUOTE所以QUOTE所以n=QUOTE.又=(0,0,3),設與n的夾角為α,則cosα==QUOTE=QUOTE.所以C到平面AEC1F的距離d=||cosα=3×QUOTE=QUOTE.(15分鐘·30分)1.(5分)(多選題)已知向量a=(QUOTE,0,-QUOTE),則下列向量中與a所成的夾角為鈍角的是 ()A.(0,0,2) B.(2,0,0)C.(0,QUOTE,QUOTE) D.(QUOTE,-QUOTE,0)【解析】選AC.由題意,可設b與a成的夾角為鈍角.則有:a·b=|a|QUOTE·QUOTE|b|cos<a,b>,因為<a,b>為鈍角,所以a·b<0,①對于A:a·b=-QUOTE×2=-2QUOTE,滿意①式,A符合題意;對于B:a·b=QUOTE×2=2QUOTE,不滿意①式,B不符合題意;對于C:a·b=QUOTE×0+0×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-2,滿意①式,C符合題意;對于D:a·b=QUOTE×QUOTE+0×(-QUOTE)-QUOTE×0=2,不滿意①式,D不符合題意.2.(5分)如圖所示,已知點P為菱形ABCD所在平面外一點,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,點F為PC中點,則平面CBF與平面BFD夾角的正切值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設AC∩BD=O,連接OF,以O為原點,OB,OC,OF所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,設PA=AD=AC=1,則BD=QUOTE,所以BQUOTE,FQUOTE,CQUOTE,DQUOTE.所以=QUOTE,且為平面BDF的一個法向量.由=QUOTE,=QUOTE,可得平面BCF的一個法向量n=(1,QUOTE,QUOTE).所以cos<n,>=QUOTE,sin<n,>=QUOTE.所以tan<n,>=QUOTE.3.(5分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則異面直線AD1,OB所成角的余弦值為,BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為.

【解析】建立空間直角坐標系如圖則B(1,1,0),OQUOTE,A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),=(-1,0,1),=QUOTE,所以·=-QUOTE+0-1=-QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,cos<,>=-QUOTE,所以異面直線AD1,OB所成角的余弦值為QUOTE.=(1,0,1)是平面ABC1D1的一個法向量.所以BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE4.(5分)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是.

【解析】以BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標系.設AB=BC=AA1=2,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),則=(0,-1,1),=(2,0,2),所以·=2,所以cos<,>=QUOTE=QUOTE,所以EF和BC1所成的角為60°.答案:60°5.(10分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN∥平面BDE;(2)求平面CEM與平面EMN夾角的正弦值.【解析】如圖,以A為原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)=(0,2,0),=(2,0,-2).設n=(x,y,z)為平面BDE的一個法向量,則即QUOTE不妨設z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得·n=0.因為MN?平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設n2=(x1,y1,z1)為平面EMN的一個法向量,則因為=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以QUOTE不妨設y1=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos<n1,n2>=QUOTE=-QUOTE,于是sin<n1,n2>=QUOTE.所以平面CEM與平面EMN夾角的正弦值為QUOTE.1.如圖所示,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面相互垂直,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方形的邊長為2,則A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),設M(0,m,2)(0≤m≤2),則=(2,1,0),=(1,-m,-2),cosθ=QUOTE.令t=2-m(0≤t≤2),cosθ=QUOTE×QUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖所示的幾何體中,平面ADNM⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,∠DAB=QUOTE,AB=2,AM=1,E是AB的中點,在線段AM上是否存在點P,使平面PEC與平面ECD夾角的大小為QUOTE?若存在,求出AP的長;若不存在,請說明理由.【解析】在線段AM上存在點P滿意條件,理由如下:由DE⊥AB,AB∥CD,得DE⊥CD,因為四邊形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交線為AD,所以ND⊥平面ABCD.以D為原點,DE,DC,DN所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則D(0,0,0)