2024-2025學年高中數(shù)學第三章不等式3.4.1二元一次不等式組與平面區(qū)域?qū)W案含解析北師大版必修5

PAGE§4簡潔線性規(guī)劃4．1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域?qū)W問點平面區(qū)域[填一填]一般地，直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標平面分成了三個部分：(1)直線l上的點(x，y)的坐標滿意ax＋by＋c＝0；(2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)的坐標滿意ax＋by＋c>0；(3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)的坐標滿意ax＋by＋c<0.所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(x0，y0)，從ax0＋by0＋c值的正負，即可推斷不等式表示的平面區(qū)域．[答一答]推斷一個二元一次不等式表示的平面區(qū)域在對應直線的哪一側(cè)的方法是什么？提示：通常用特殊點法．作出直線Ax＋By＋C＝0，在直線的一側(cè)任取一點P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C>0，則包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面區(qū)域，不包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面區(qū)域．1．畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域時常采納“直線定界，特殊點定域”的方法：直線定界：若不等式不含等號，把邊界直線畫成虛線；若不等式含有等號，把邊界直線畫成實線．特殊點定域：在直線ax＋by＋c＝0的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿意不等式，則不等式表示的區(qū)域就是包括這個點的一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)，特殊地，當c≠0時，常把原點作為測試點；當c＝0時，常把點(1,0)或點(0,1)作為測試點．2．畫不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域的方法只有二元一次不等式對應的區(qū)域才是平面區(qū)域，上式是含有肯定值的不等式，利用肯定值的定義進行分類探討，得到二元一次不等式組，從而畫出其平面區(qū)域．去掉肯定值符號時，應分x≥0和x<0及y≥0和y<0探討，通過探討，原不等式等價于以下四個不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y<0，,x－y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y≥0，,－x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0，,－x－y≤1.))其平面區(qū)域如下圖陰影部分．類型一二元一次不等式表示的平面區(qū)域【例1】畫出下列不等式表示的平面區(qū)域．(1)2x＋y－10<0；(2)y≤－2x＋3.【思路探究】對于(1)，先畫出直線2x＋y－10＝0(用虛線表示)，再取坐標原點(0,0)代入檢驗，從而推斷出2x＋y－10<0表示的平面區(qū)域．對于(2)，先把y≤－2x＋3變形為2x＋y－3≤0的形式，再畫出直線2x＋y－3＝0(用實線表示)，取原點(0,0)代入檢驗，從而推斷出2x＋y－3≤0表示的平面區(qū)域．【解】(1)先畫出直線2x＋y－10＝0(畫成虛線)，取點(0,0)，代入2x＋y－10，得2×0＋0－10＝－10<0，∴2x＋y－10<0表示的平面區(qū)域是直線2x＋y－10＝0的左下方的平面區(qū)域，如圖(1)陰影部分所示．(2)將y≤－2x＋3變形為2x＋y－3≤0.先畫出直線2x＋y－3＝0(畫成實線)．取點(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－3<0，∴2x＋y－3≤0表示的平面區(qū)域是直線2x＋y－3＝0以及其左下方的平面區(qū)域，如圖(2)陰影部分所示．規(guī)律方法畫二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的一般步驟為：①“直線定界”，即畫出邊界Ax＋By＋C＝0，要留意是虛線還是實線；②“特殊點定域”，取某個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號確定出所求不等式表示的平面區(qū)域．當C≠0時，通常取原點(0,0)作為測試點．畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：(1)4x－3y≤12；(2)x≥1；(3)x－2y<0；(4)－2x＋y－3>0.解：上述不等式對應的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．類型二二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【例2】畫出不等式(組)表示的平面區(qū)域：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y＋1≥0，(2)(x＋2y＋1)(x－y＋4)<0.,x≤3；))【解】(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點的集合，x＋y＋1≥0表示直線x＋y＋1＝0上及右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點的集合，所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．(2)原不等式等價于兩個不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1>0，,x－y＋4<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1<0，,x－y＋4>0.))在直角坐標系中畫出直線x＋2y＋1＝0與x－y＋4＝0(畫成虛線)．取原點(0,0)可以推斷：不等式x＋2y＋1>0表示直線x＋2y＋1＝0的右上方的點的集合，x＋2y＋1<0表示直線x＋2y＋1＝0的左下方區(qū)域，x－y＋4<0表示直線x－y＋4＝0左上方區(qū)域，x－y＋4>0表示直線x－y＋4＝0右下方區(qū)域．所以不等式組表示的平面區(qū)域如上圖陰影部分所示．規(guī)律方法要找不等式組所表示的平面區(qū)域關(guān)鍵是精確地畫出各不等式所表示的區(qū)域，再取它們的公共部分，最終要檢查是否包含邊界，n個二元一次式的乘積式要等價轉(zhuǎn)化為n個二元一次不等式構(gòu)成的不等式組．畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0,x＋y＋1≥0,4x＋y－4<0))表示的平面區(qū)域．解：在平面直角坐標系中，畫出直線3x－2y＋6＝0(實線)，x＋y＋1＝0(實線)，4x＋y－4＝0(虛線)，它們把坐標平面分為7個區(qū)域，取原點(0,0)，分別代入3x－2y＋6，x＋y＋1,4x＋y－4.依次可得3×0－2×0＋6>0,0＋0＋1>0,4×0＋0－4<0.所以原點在三個不等式3x－2y＋6≥0，x＋y＋1≥0,4x＋y－4<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，故原不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．【例3】用不等式表示如圖所示的陰影區(qū)域．【思路探究】首先是應確定邊界直線的方程，再依據(jù)區(qū)域位置，用不等式(組)表示．【解】(1)由圖(1)的各頂點坐標可知，矩形各邊所在的直線方程為直線AB：y＝3，直線BC：x＝3，直線CD：y＝－2，直線AD：x＝－1，所以矩形表示的平面區(qū)域(包括邊界)的不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤3，,y≤3，,y≥－2，,x≥－1.))(2)由圖(2)可知，直線AB的方程為3x－2y＋3＝0，表示它的右下方區(qū)域(包括邊界)的不等式為3x－2y＋3≥0；直線AC的方程為3x＋2y－9＝0，表示它的左下方區(qū)域(包括邊界)的不等式為3x＋2y－9≤0；直線BC的方程為y＝0，表示它上方的區(qū)域(包括邊界)的不等式為y≥0.所以表示圖示陰影部分區(qū)域(包括邊界)的不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋3≥0，,3x＋2y－9≤0，,y≥0.))規(guī)律方法解決類似本題問題，要先對平面區(qū)域作出推斷，保證每一個不等式的正確性，留意平面區(qū)域是否包括邊界．如圖，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是(A)A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－2y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≤0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－2y＋2≥0))解析：在區(qū)域內(nèi)任取一點代入檢驗即可．類型三求平面區(qū)域的面積【例4】若變量x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,2x－y≥0，,x≤1，))則點P(2x－y，x＋y)所在區(qū)域的面積為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C.eq\f(1,2) D．1【思路探究】題中求點P所在區(qū)域的面積，首先要找到點P的橫、縱坐標滿意的不等式組，然后才能作圖求解．【解析】設P(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝a，,x＋y＝b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋b,3)，,y＝\f(2b－a,3).))代入x，y滿意的不等式組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋1≤0，,a≥0，,a＋b－3≤0，))該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知A(1,2)，則點P所在區(qū)域的面積S＝eq\f(1,2)×2×1＝1.【答案】D規(guī)律方法此題所求的是點P所在區(qū)域的面積，但(x，y)并不是點P的坐標，在解題時應弄清晰要求的區(qū)域，得到該區(qū)域滿意的不等式組才能正確求解．在平面直角坐標系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y≥0，,3x－y－3≤0，,y≥0))表示的平面區(qū)域的面積是(B)A．1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分(△AOB及其內(nèi)部)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,y＝0))得A(1,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,3x－2y＝0))得B(2,3)，則S△AOB＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).類型四求范圍問題【例5】設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是()A．(1,3]B．[2,3]C．(1,2]D．[3，＋∞)【思路探究】eq\x(\a\al(畫出平,面區(qū)域))→eq\x(\a\al(分a>1與0<a<1視察,函數(shù)圖像與區(qū)域的關(guān)系))→eq\x(\a\al(依據(jù)a的改變對圖像,的影響，確定范圍))【解析】區(qū)域D如下圖中陰影部分所示，由圖可知，要使函數(shù)y＝ax的圖像過區(qū)域D，需有a>1.由函數(shù)y＝ax的圖像特征知，當圖像經(jīng)過區(qū)域的邊界點A(2,9)時，a可以取到最大值，此時a2＝9，即a＝3，所以a的取值范圍是(1,3]．【答案】A規(guī)律方法與二元一次不等式組有關(guān)的變量范圍問題的求解，一般狀況下，第一步要正確作出不等式組表示的平面區(qū)域，由于變量的存在，此區(qū)域為可調(diào)整的區(qū)域；其次步要結(jié)合題意調(diào)整區(qū)域使之符合題意要求；第三步數(shù)形結(jié)合構(gòu)建變量的方程或不等關(guān)系求解．若直線y＝ax上存在點(x，y)滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥1，))則實數(shù)a的取值范圍為[－1,2]．解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(△ABC及其內(nèi)部)所示．因為y＝ax過坐標原點，其中a表示直線的斜率，所以直線過平面區(qū)域內(nèi)點A時斜率a取得最大值，過平面區(qū)域內(nèi)點B時斜率a取得最小值，又A(1,2)，B(1，－1)，所以a的最大值為2，最小值為－1，所以實數(shù)a的取值范圍為[－1,2]．類型五二元一次不等式(組)表示實際問題【例6】要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：今須要A、B、C三種規(guī)格的成品分別15,18,27塊，用數(shù)學關(guān)系式和圖形表示上述要求．【思路探究】先由題意抽象出不等式并組成不等式組，再畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域即可．【解】設需截第一種鋼板x張，其次種鋼板y張，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥15，,x＋2y≥18，,x＋3y≥27，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))用圖形表示以上限制條件，得到如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分中的整數(shù)點)．規(guī)律方法理清題目中的變量及相應的數(shù)據(jù)是解決此類問題的關(guān)鍵．一個小型家具廠安排生產(chǎn)兩種類型的桌子A和B.每類桌子都要經(jīng)過打磨、著色、上漆三道工序．桌子A須要10min打磨，6min著色，6min上漆；桌子B須要5min打磨，12min著色，9min上漆．假如一個工人每天打磨和上漆分別至多工作450min，著色每天至多工作480min，請列出滿意生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并在直角坐標系中畫出相應的平面區(qū)域．解：設家具廠每天生產(chǎn)A類桌子x張，B類桌子y張．對于A類桌子，x張桌子須要打磨10xmin，著色6xmin，上漆6xmin；對于B類桌子，y張桌子須要打磨5ymin，著色12ymin，上漆9ymin.而打磨和上漆工人每天最長工作時間分別是450min，著色工人每天最長工作時間480min，所以有10x＋5y≤450.類似地，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋12y≤480，,6x＋9y≤450.))在實際問題中x≥0，y≥0，x，y∈N，所以題目中包含的限制條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋5y≤450，,6x＋12y≤480，,6x＋9y≤450，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))其平面區(qū)域如圖陰影所示中的整數(shù)點．——易錯警示系列——平面區(qū)域不明致誤一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)全部點組成的平面區(qū)域(半平面)，且不含邊界直線(直線畫成虛線)；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包含邊界直線(直線畫成實線)．考生應當留意虛線和實線的區(qū)分．【例7】在平面直角坐標系xOy中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤2x，,y≤k(x－1)－1))表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是________．【錯解】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【錯解分析】題目給出的區(qū)域邊界兩“靜”一“動”，可以先畫出區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合解決．本題很簡潔在分析動直線的位置時出錯，這個錯誤就出現(xiàn)在當直線y＝k(x－1)－1的斜率為正值時，誤以為三條直線仍舊能夠構(gòu)成三角形．【正解】(－∞，－1)直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，當這條直線的斜率為負值時，該直線與y軸的交點必需在坐標原點上方，即直線的斜率k∈(－∞，－1)時，可構(gòu)成三角形區(qū)域如圖(1)陰影部分所示；當這條直線的斜率為正值時，y≤k(x－1)－1所表示的是直線y＝k(x－1)－1及其下方的平面，這個區(qū)域和已知區(qū)域的交集是一個無界區(qū)域如圖(2)陰影部分所示，不能構(gòu)成三角形；當直線的斜率為0時，構(gòu)不成平面區(qū)域．因此k的取值范圍是(－∞，－1)．故填(－∞，－1)．已知關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．