第四章 三角形壓軸題（8個(gè)類型72題）-【常考?jí)狠S題】七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（北師大版）（原卷版）

第四章三角形壓軸題內(nèi)容導(dǎo)航一、全等三角形判定方法的應(yīng)用類型一、用SSS證明三角形全等類型二、用SAS證明三角形全等類型三、用ASA和AAS證明三角形全等二、幾何模型類型一、倍長中線模型類型二、一線三垂直模型類型三、旋轉(zhuǎn)模型類型四、三條線段數(shù)量關(guān)系的證明三、與作圖有關(guān)的幾何問題四、全等三角形的綜合問題一、全等三角形判定方法的應(yīng)用類型一、用SSS證明三角形全等1．如圖，已知，，那么判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，△ABC中，AB=BC=5，AC=8，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，連接BD，則BD的長度為.3．農(nóng)科所有一塊五邊形的試驗(yàn)田如圖所示,已知在五邊形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求這塊試驗(yàn)田的面積.4．小明和小亮在學(xué)習(xí)探索三角形全等時(shí)，碰到如下一題：如圖1，若AC=AD，BC=BD，則△ACB與△ADB有怎樣的關(guān)系？（1）請(qǐng)你幫他們解答，并說明理由．（2）細(xì)心的小明在解答的過程中，發(fā)現(xiàn)如果在AB上任取一點(diǎn)E，連接CE、DE，則有CE=DE，你知道為什么嗎？（如圖2）（3）小亮在小明說出理由后，提出如果在AB的延長線上任取一點(diǎn)P，也有第2題類似的結(jié)論．請(qǐng)你幫他畫出圖形，并證明結(jié)論．5．【問題背景】如圖1，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論______；【探索延伸】如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【靈活變通】如圖4，已知在四邊形中，，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

圖1

圖2

圖3

圖4類型二、用SAS證明三角形全等6．如圖，已知，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，上兩點(diǎn)，，．下面能表示最小值的線段是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段7．如圖，在中，，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下結(jié)論，①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．如圖，分別是四邊形的邊上的點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（

）①的周長為4；②；③；④

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④9．某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)E，使，連接，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形：__________；【理解與運(yùn)用】(2)如圖2，是的中線，若，，設(shè)，求的取值范圍；(3)如圖3，是的中線，，點(diǎn)Q在的延長線上，，求證：．

10．（問題情境）（1）如圖1，在四邊形中，，，．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和上的點(diǎn)，且，試探究線段，，之間的關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接．先證明，再證明，進(jìn)而得出．你認(rèn)為他的做法；（填“正確”或“錯(cuò)誤”）．（探索延伸）（2）如圖2，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和上的點(diǎn)，且，上題中的結(jié)論依然成立嗎？請(qǐng)說明理由．（思維提升）（3）小明通過對(duì)前面兩題的認(rèn)真思考后得出：如圖3，在四邊形中，若，，，那么．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由．11．如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對(duì)角線BD．（1）將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．①依題意補(bǔ)全圖1；②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，F(xiàn)是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接交于點(diǎn)F，．

(1)說明：；(2)若平分，，求的面積；(3)判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．13．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小紅在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖①，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【初步應(yīng)用】（2）如圖②，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；【探究提升】（3）如圖③，是的中線，過點(diǎn)分別向外作、，使得，，延長交于點(diǎn)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由．

14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，．

(1)如圖①，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)在（1）的條件下，若軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，連接并延長，交于點(diǎn)，求的長；(3)如圖②，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)（，）作軸于點(diǎn)，連接，寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，相交于點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒①點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)時(shí)，__________（用含的代數(shù)式表示）；設(shè)，則__________（用含的代數(shù)式表示）②點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且．是否存在值，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出符合條件的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型三、用ASA和AAS證明三角形全等16．如圖，在四邊形中，平分，，，，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．17．如圖，在中，為邊上的點(diǎn)，且，連接，過作，并截取，連接交于，則下列結(jié)論：①；②為的中點(diǎn)；③；④；其中正確的結(jié)論共有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)18．如圖，在中，是的中線，延長點(diǎn)，使，．

(1)求證：；(2)如圖，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，試探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．（1）如圖1，，E是的中點(diǎn)，平分，求證：平分．（2）如圖2，，和的平分線并于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，分別交于B、D，請(qǐng)猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不要求證明．（3）如圖3，，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作不垂直于的線段，分別交于B、D點(diǎn)，且B、D兩點(diǎn)都在的同側(cè)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．20．如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且，求此時(shí)t的值；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得APB與BQC全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．21．在等邊中，點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且(1)若，則_______________；(2)在圖1中，求證：(3)如圖2，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．猜想的形狀是_______________，并說明理由．22．如圖所示，在中，，點(diǎn)是線段延長線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰，連接，且．

(1)過點(diǎn)作，垂足為．①求證：②求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)是線段延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．如圖，等腰中，，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且．

(1)如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖，在（1）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，連接與的延長線交于點(diǎn)，若，則________．24．【模型呈現(xiàn)】如圖（1）和（2）所示，，，直線經(jīng)過點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則有，．

（1）請(qǐng)你針對(duì)圖（1）給出證明．【模型應(yīng)用】在圖（1）的基礎(chǔ)上，在射線上取一點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到，連接，交直線于點(diǎn)．

（2）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為___________；（3）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（4）如圖（5），當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值為___________．25．定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側(cè)作正方形，和，則稱這三個(gè)正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個(gè)正方形為的外展雙葉正方形．(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當(dāng)時(shí)，求證：；②如圖（3），當(dāng)時(shí)，與是否仍然相等，請(qǐng)說明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請(qǐng)利用圖（1）探究：當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．二、幾何模型類型一、倍長中線模型26．課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；(2)如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，是的三等分點(diǎn)．求證：．27．閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在中，，，邊上的中線的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長到Q使得；②再連接把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則的取值范圍是____．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．(2)請(qǐng)寫出圖1中與的關(guān)系并證明；(3)思考：已知，如圖2，是的中線，，，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．

28．（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：

①延長到Q，使得；②再連接，把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則AD的取值范圍是．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)你寫出圖1中與的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，是的中線，，，．試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．

29．（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，此時(shí)：與的大小關(guān)系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于，兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：、與的數(shù)量關(guān)系30．如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是______．(2)求得的取值范圍是______．(3)如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若，求證：．31．已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關(guān)系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．32．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．

求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，

∵是邊上的中線∴在和中∴（依據(jù)一）∴在中，（依據(jù)二）∴．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，，，則的取值范圍是_____________；

任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

33．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．類型二、一線三垂直模型34．已知：中，，，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．連接交直線于，若，則的值為．

35．如圖，在中，，，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過P、Q兩點(diǎn)作于E，于F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)與全等時(shí)，t的值為．

36．如圖，已知中，，滿足，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P，Q的速度分別以每秒1個(gè)單位長度和每秒3個(gè)單位長度的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過P，Q作于E，于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，t的值為（不考慮兩三角形重合的情況）．37．通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．38．如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的同側(cè)）時(shí)其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說明理由．39．【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相應(yīng)的問題(1)【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)N，易證，若，，則______；(2)【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段上且頂點(diǎn)A在線段上時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)P，猜想，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段上且頂點(diǎn)B在線段上時(shí)，若，，連接，則的面積為______．40．直角三角形中，，直線過點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①______，當(dāng)在路徑上時(shí)，______．（用含的代數(shù)式表示）②直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．41．通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．由，得．又，，可以推理得到，進(jìn)而得到＝______，＝______．（請(qǐng)完成填空）我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型．【模型應(yīng)用】（2）①如圖，，，，連接、，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖，若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在以、、為頂點(diǎn)且以為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型三、旋轉(zhuǎn)模型42．如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．43．綜合與探究數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以對(duì)角互補(bǔ)的四邊形為活動(dòng)主題，開展了如下探究．(1)如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請(qǐng)?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系．下面是學(xué)習(xí)委員琳琳的解題過程，請(qǐng)將余下內(nèi)容補(bǔ)充完整．解：延長EB到G，使得，連接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班長李浩發(fā)現(xiàn)在如圖2所示的四邊形中，若，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論仍然是成立的，請(qǐng)你寫出結(jié)論并說明理由．

(3)如圖3，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

44．已知，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且．

(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時(shí)．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你在圖1中添加上述輔助線，并補(bǔ)全下面的思路．小明的解題思路：先證明______；再證明了______，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)請(qǐng)你借鑒小王的方法探究圖2，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，若分別是邊延長線上的點(diǎn)，其他已知條件不變，此時(shí)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______．（不用證明）45．綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請(qǐng)判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請(qǐng)補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．46．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．47．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．48．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，探究當(dāng)為多少度時(shí)，使得成立．小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，則可求出∠EAF的度數(shù)為______；【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，依然有成立，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD中，，若的周長為8，求正方形ABCD的面積．類型四、三條線段數(shù)量關(guān)系的證明49．問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出來，不需要說明理由．問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由．50．如圖1，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），且滿足+|n﹣2|=0．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求∠AKO的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)P，Q分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OP=OQ，直線ON⊥BP交AB于點(diǎn)N，MN⊥AQ交BP的延長線于點(diǎn)M，判斷ON，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．51．（1）如圖1，已知中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)C，D．依題意補(bǔ)全圖l，并寫出線段BC，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，C，O，D三點(diǎn)都在直線l上，并且有，請(qǐng)問（1）中結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．52．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．53．在圖1、圖2，圖3中．點(diǎn)E、F分別是四邊形邊上的點(diǎn)；下面請(qǐng)你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個(gè)內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．歸納證明（2）在圖3中，，．且，請(qǐng)你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實(shí)際應(yīng)用（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點(diǎn)，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時(shí)開工后的第五天收工時(shí)，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．54．已知在數(shù)軸上，從左往右依次有四個(gè)點(diǎn)A，，，，其中點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和9．

(1)利用直尺和圓規(guī)作圖：如圖1，已知線段，，，在數(shù)軸上方，求作，使得，（只保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，在數(shù)軸上找一點(diǎn)，直接作出直線，使得直線平分的周長；(3)如圖2，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于，交的延長線于，若，求證：直線平分的周長；(4)如圖3，若，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且平分的周長．請(qǐng)問線段的長是否為定值？若是定值，請(qǐng)說明理由；若不是定值，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，線段最短，并說明理由．三、與作圖有關(guān)的幾何問題55．閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：(1)小明在研究命題①時(shí)，在圖1的正方形網(wǎng)格中畫出兩個(gè)符合條件的四邊形，由此判斷命題①是命題(填“真”或“假”)；(2)小彬經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)命題②是真命題，請(qǐng)你結(jié)合圖2證明這一命題；(3)小穎經(jīng)過探究又提出了一個(gè)新的命題：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'，，則四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫兩個(gè)關(guān)于“角”的條件，使該命題為真命題．56．閱讀下面材料：小強(qiáng)遇到這樣一個(gè)問題：試作一個(gè)直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9．小強(qiáng)是這樣思考的：如圖1，假定直角△ABC已作出，延長AC到點(diǎn)D，使CD=CB，則AD=9，∠D=45°，因此可先作出一個(gè)輔助△ABD，再作BD的垂直平分線分別交AD于點(diǎn)C，BD于點(diǎn)E，連接BC，所得的△ABC即為所作三角形．具體做法小強(qiáng)是利用圖2中1×1正方形網(wǎng)格，通過尺規(guī)作圖完成的．（1）請(qǐng)回答：圖2中線段AB等于線段．（2）參考小強(qiáng)的方法，解決問題：請(qǐng)?jiān)趫D3的菱形網(wǎng)格中（菱形最小內(nèi)角為，邊長為a），畫出一個(gè)△ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b．（在圖中標(biāo)明字母，不寫作法，保留作圖痕跡）．57．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們探究了角平分線的作法．下面給出三個(gè)同學(xué)的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點(diǎn)O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請(qǐng)根據(jù)以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據(jù)是．(2)為說明小明作法是正確的，請(qǐng)幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據(jù))(3)小剛的作法正確嗎?請(qǐng)說明理由58．如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)處，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留連線痕跡）

(1)在圖1中，畫線段，使；(2)在圖2中，畫中邊上的高；(3)在圖3中，以和的長度為邊畫（M，N均在格點(diǎn)處，與不全等），使．59．我們通過“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來探究“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知，求作一個(gè)，使，，（即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等）．

(1)動(dòng)手畫圖請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法完成下面的作圖過程：①畫；②在線段的上方畫；③畫．(2)觀察觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有______個(gè)；其中三角形______（根據(jù)自己作圖標(biāo)注的字母填三角形的名稱）與明顯不全等；(3)小結(jié)經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．60．李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽上運(yùn)動(dòng)．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的；②當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的；③當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的；④當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四、全等三角形的綜合問題61．在等邊的頂點(diǎn)，處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同的速度由向和由向爬行，經(jīng)過分鐘后，它們分別爬行到，處，請(qǐng)問：

(1)如圖1，爬行過程中，和的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)蝸牛們分別爬行到線段，的延長線上的，處時(shí)，若的延長線與交于點(diǎn)，其他條件不變，蝸牛爬行過程中的大小將會(huì)保持不變，請(qǐng)你證明：；(3)如圖3，如果將原題中“由向爬行”改為“沿著線段的延長線爬行，連接交于”，其他條件不變，求證：．62．如圖，在中，，，為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接并延長到點(diǎn)，使得，連接．過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，且．①請(qǐng)補(bǔ)全圖形；②判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，若點(diǎn)在線段的延長線上，請(qǐng)畫出圖形，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．(3)基于上面的題目，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)變式或拓展探究性的問題．63．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸的正半軸交于點(diǎn)A，交軸的正半軸于點(diǎn)，且，．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（與點(diǎn)、A不重合），其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在第四象限內(nèi)的直線上，且的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，線段的長為，連接、、，當(dāng)時(shí)，求與之間的關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，連接，交線段于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，若，，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．64．問題提出（1）如圖1，已知：，，探究：和的數(shù)量關(guān)系并加以證明；問題探究（2）如圖2，在中，，過點(diǎn)C作射線，連結(jié)交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，若，探究和的數(shù)量關(guān)系并加以證明；問題拓展（3）如圖3，銳角中，，過點(diǎn)C作直線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．________________．

65．已知：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．(1)如圖1，求證：是第一象限的角平分線；(2)如圖2，過作的垂線，交軸正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在線段上以相同的速度相向運(yùn)動(dòng)(不包括點(diǎn)和點(diǎn))，過作交軸于點(diǎn)，連，猜想與之間有何確定的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸正半軸于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)點(diǎn)作的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求的值．66．已知是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若，，則；（填“＞”，“＜”或“=”）；②如圖2，若，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與關(guān)系的條件，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請(qǐng)寫出三條線段、、的數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為，與的面積之和是．67．【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想．小聰在學(xué)習(xí)過程中，遇到這樣一個(gè)問題：如圖，中，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過和小組同學(xué)的探討，共同得到了這樣的解決辦法：延長到點(diǎn)E，使．請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)姆椒ń鉀Q