專題16 三角形的概念及性質(zhì)（練習）（23題型）

第16講三角形的概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關練 3題型01三角形的穩(wěn)定性 3題型02畫三角形的高、中線、角平分線 3題型03等面積法求三角形的高 4題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積 5題型05與垂心性質(zhì)有關的計算 6題型06根據(jù)三角形的中線求長度 6題型07根據(jù)三角形的中線求面積 8題型08與重心性質(zhì)有關的計算 9題型09應用三角形的三邊關系求第三邊長或取值范圍 10題型10應用三角形的三邊關系化簡含有絕對值的式子 10題型11三角形內(nèi)角和定理的證明 11題型12應用三角形內(nèi)角和定理求角度 13題型13三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應用 13題型14三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應用 14題型15三角形折疊中的角度問題 15題型16應用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題 16題型17應用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關系 17題型18三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合 19題型19應用三角形外角的性質(zhì)求角度 23題型20三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合 24題型21三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合 25題型22應用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題 26題型23三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合 27真題實戰(zhàn)練 28

題型過關練題型01三角形的穩(wěn)定性1．（2020·山西·校聯(lián)考模擬預測）下列圖形中，沒有利用三角形的穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．2．（2021·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型02畫三角形的高、中線、角平分線3．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中作△ABC的中線BD．(2)在圖②中作△ABC的高BE．(3)在圖③中作△ABC的角平分線BF．4．（2021·吉林·三模）圖①、圖②都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC為格點三角形．請僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列作圖，不寫作法(1)在圖①中，畫出△ABC中AB邊上的中線CM；(2)在圖②中，畫出△ABC中AC邊上的高BN，并直接寫出△ABC的面積______．題型03等面積法求三角形的高5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.66．（2022·陜西西安·校考三模）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，若每個小正方形的邊長為1，則BC邊上的高為______．7．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，A，B，C三點在方格線的交點上．

(1)請在圖中作出△ABC中AB邊上的高．(2)求△ABC的面積．(3)點B到AC邊所在直線的距離為165，求AC題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積8．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學（集團）?？既＃┰谡叫蔚木W(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點（正方形網(wǎng)格的交點稱為格點）．現(xiàn)將△ABC平移．使點A平移到點D，點E、F分別是B、C的對應點．(1)請在圖中畫出平移后的△DEF；(2)分別連接AD，BE，則AD與BE的數(shù)量關系為_____，位置關系為_________．(3)求△DEF的面積．9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，△ABC的頂點A、B、C都在格點上．請按要求完成下列問題：(1)S△ABC=___________；(2)請僅用無刻度的直尺在線段AB上求作一點P，使S△ACP題型05與垂心性質(zhì)有關的計算10．（2020下·江西贛州·九年級校考階段練習）如圖，已知銳角三角形ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓半徑，則∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°11．（2020·浙江杭州·九年級期末）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圓的半徑為2，則AH=（

）

A．23 B．22 C．4 題型06根據(jù)三角形的中線求長度12．（2022·陜西西安·高新一中?？寄M預測）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．2213．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）已知：△ABC中，AD是中線，點E在AD上，且CE=CD，∠BAD=∠ACE．則CEAC的值為（

A．23 B．22 C．5?114．（2020·浙江·模擬預測）在△ABC中，AB邊上的中線CD=3,AB=6,BC+AC=8，則△ABC的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．915．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的中線，若AB=6，AC=5，則△ABD與△ACD的周長之差為____________．16．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC中，AD是中線，點E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝∠ACE，則AC的長為__________題型07根據(jù)三角形的中線求面積17．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以點B，C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，交于E，F(xiàn)兩點，連接EF，交BC于點D，連接AD．AD=13，

A．2 B．3 C．13 D．1318．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC邊上中線BE交AD于點O，則△BCE的面積為（

）

A．6 B．7 C．8 D．919．（2023·陜西榆林·?？级＃┤鐖D，AD，BE分別為△ABC的中線和高線，△ABD的面積為5，AC=4，則BE的長為（）A．5 B．3 C．4 D．620．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，BP為∠ABC的角平分線，AP垂直BP于點P，則A．6cm2 B．5cm2 C．題型08與重心性質(zhì)有關的計算21．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）在△ABC中，點O為△ABC的重心，連接AO并延長交BC邊于點D，若有AD=12BC，則△ABCA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形22．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分別是BC，AC的中點，點P是線段AD上的一個動點，當△PCE的周長最小時，P點的位置在（

A．△ABC的重心處 B．AD的中點處 C．A點處 D．D點處23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）如圖，點G為△ABC的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，若AC=3.4，則EF的長度為（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.424．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，點G是△ABC的重心，四邊形AEGD與△ABC面積的比值是（

）A．12 B．13 C．14題型09應用三角形的三邊關系求第三邊長或取值范圍25．（2023·福建福州·?？级＃┮阎切蝺蛇呴L分別為3和5，則第三邊的長可能是（

）A．2 B．6 C．8 D．926．（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，則線段BD的長度可能是（

）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．527．（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，則AC的長的取值范圍是（

A．AC<5 B．AC>3 C．3≤AC≤5 D．3<AC<528．（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）有四根長度分別為2，4，5，x（x為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾順次相接都能圍成一個三角形，則圍成的三角形的周長（

）A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14題型10應用三角形的三邊關系化簡含有絕對值的式子29．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）已知a，b，c是三角形的三條邊，則c?a?b+c+b?a的化簡結(jié)果為（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b?2c30．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）若△ABC三條邊長為a，b，c化簡：a?b?c?a+c?b31．（2022上·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習）已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡：|a?b?c|+|b?c+a|+|c?a?b|=________．題型11三角形內(nèi)角和定理的證明32．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：∠CED、∠C、求證：∠C+∠D+∠CED＝有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（）?證明：如圖，過點E作直線AB，使得AB∥∴∠2＝∴∠1+∠@＝∴∠C+∠D+∠CED＝A．①② B．②③ C．②④ D．①③33．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．下列回答不正確的是（

）定理：三角形的內(nèi)角和為180°．已知：△ABC．

求證：∠A+∠B+∠ACB=180°．證明：延長BC到點D，過點C作CE∥@，∴∠A=◎（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B=___▲______（_____※______）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．A．@代表AB B．◎代表∠ACD C．▲代表∠ECD D．※代表兩直線平行，同位角相等34．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）下面是小穎同學要借助無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，來證明三角形內(nèi)角和等于180°這一命題，請你幫她補充完整．題型12應用三角形內(nèi)角和定理求角度35．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？寄M預測）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，則A．5cos55° B．5cos55° C．36．（2023·河北滄州·模擬預測）在△ABC中，數(shù)據(jù)如圖所示，若∠1比∠B小2°，則∠2比∠C（

）

A．大2° B．小2° C．大4° D．小4°37．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，則∠D的度數(shù)為______．

38．（2022·福建福州·?？寄M預測）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則AC:AB=______．題型13三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應用39．（2023·湖北黃岡·三模）如圖為兩直線l、m與△ABC相交的情形，其中l(wèi)、m分別與BC、AB平行．根據(jù)圖中標示的角度，則∠B的度數(shù)為（）

A．55° B．60° C．65° D．70°40．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過點C的射線CE與AD平行，若∠B=60°，∠ACB=30°，則∠ACE的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．55° D．60°41．（2021·寧夏銀川·統(tǒng)考一模）如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，點E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，則∠BAC的大小是（

）A．24° B．26° C．28° D．30°題型14三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應用42．（2022·江蘇無錫·校考一模）如圖，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC=110°，則∠A=___________．43．（2020·浙江紹興·模擬預測）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，請說明(2)如圖2（∠B<∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關系．44．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的角平分線BD,CE交于點F，AB=AC．(1)求證：△ABD≌△ACE．(2)當∠A=40°時，求∠BFC的度數(shù)．題型15三角形折疊中的角度問題45．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，點D為AB的中點，點P為AC上一個動點，將△APD沿DP折疊得到△QPD，點A的對應點為點Q，當PQ⊥AB時，∠ADP的度數(shù)為________

46．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，點A落在點E處，∠1=56°，∠ABC=70°，則∠2的度數(shù)為__________．

47．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，D為AC邊上一點，沿BD將三角形進行折疊，使點A落在點E處，記BE與AC邊的交點為F，若DE⊥AC，則CF的長為______48．（2022·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點P是邊AB上一點，點D是邊AC上一點，將△ABC沿PD折疊，使點A落在邊BC上的A'處，若A'P∥AC，則題型16應用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題49．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）將一塊含30°角的三角板和一把對邊平行的直尺按如圖所示的方式放置，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．70° B．75° C．80° D．85°50．（2023·廣東汕頭·汕頭市金禧中學校考一模）如圖，將直角三角板放置在矩形紙片上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)為（）A．55° B．45° C．35° D．30°51．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．75° B．60° C．105° D．120°52．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）將一副直角三角板按如圖所示位置擺放(∠D=∠ECF=90°)，點C在直角邊BD上，點F在直角邊AD上，若∠AFE=160°，則∠BCE=________．

題型17應用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關系53．（2021·廣東清遠·校考一模）如圖，點D是銳角∠AOB內(nèi)一點，DE⊥OA于點E，點F是線段OE的一個動點，點G是射線OB的一個動點，連接DF、FG、GD，當△DFG的周長最小時，∠FDG與∠AOB的數(shù)量關系式是________．54．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）（1）問題解決：如圖1，△ABC中，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，O為BO、CO交點，若∠A=62°，求∠BOC的度數(shù)；（寫出求解過程）（2）拓展與探究①如圖1，△ABC中，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，O為BO、CO交點，則∠BOC與∠A的關系是________________________；（請直接寫出你的結(jié)論）②如圖2，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，O為BO、CO交點，則∠BOC與∠A的關系是________________________；（請直接寫出你的結(jié)論）③如圖3，BO、CO分別是△ABC的一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，O為BO、CO交點，則∠BOC與∠A的關系是________________________．（請直接寫出你的結(jié)論）55．（2018·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如圖①，當點D在線段BC上，如果α=60°，β=120°；如圖②，當點D在線段BC上，如果α=90°，β=90°；如圖③，當點D在線段BC上，如果α，β之間有什么樣的關系？請直接寫出．(2)如圖④，當點D在射線BC上，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由；(3)如圖⑤，當點D在射線CB上，且在線段BC外，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請直接寫出你認為正確的結(jié)論．題型18三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合56．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④57．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考三模）定義：△ABC中，∠A+2∠B=90°，則稱△ABC為倍余三角形．

(1)下列說法正確的是_______．①倍余三角形一定是鈍角三角形；②等腰三角形不可能是倍余三角形．(2)如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在直徑BC上(不與B，C重合)，滿足AB=AD，求證：△ACD為倍余三角形；(3)在（2）的條件下，①如圖1，連接AO，若△AOD也為倍余三角形，求∠C的度數(shù)；②如圖2，過點D作DE⊥BC交AC于點E，若△ABC面積為△ADE面積的7.5倍，求ADBC58．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的“好角”．(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的“好角”，若∠A=α，則∠E=______；（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點D是優(yōu)弧ACB的中點，直徑BF⊥弦AC，BF、CD的延長線于點G，延長BC到點E．求證：∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”．(3)如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BGC是△ABC中∠A的“好角”，BG過圓心O交⊙O于點F，⊙O的直徑為8，∠A=45°，求FG．59．（2021·河南信陽·統(tǒng)考一模）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連接BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠60．（2020·江西南昌·模擬預測）定義：有一組鄰角相等，對角線相等，且對邊不相等的凸四邊形叫做“等鄰對角四邊形”，如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB,AC=DB,AB>CD，四邊形ABCD即為“等鄰對角四邊形”．概念理解（1）①如圖2，在等邊△ABC中，BC=6，點D，E分別在AC,AB上，CD=2，當BE的長為_______時，四邊形EBCD為“等鄰對角四邊形”．②如圖3，在△ABC中，點E，D在AC上，點F在AB上，BF=CE，四邊形FBCD為“等鄰對角四邊形”，若∠BDC=110°，則∠BFC的度數(shù)為___________．性質(zhì)探究（2）根據(jù)圖1及其條件，探究∠BAC與∠CDB的數(shù)量關系．問題解決（3）如圖4，在“等鄰對角四邊形”ABCD中，AB>CD,∠ABC=∠DCB,AB=3,AD=1,AD與BC的延長線相交于點E．若DE=8，求CD的長，并指出∠BDC的度數(shù)是否可以等于90°，不必說明理由．題型19應用三角形外角的性質(zhì)求角度61．（2023·海南儋州·海南華僑中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點A落在矩形紙片的一邊上，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．155° B．145° C．120° D．105°62．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，連結(jié)AE，AC，已知AE=CE，AB=BE，記∠ACB=α，則用α的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù)為（

A．2α B．90°?2α C．3α D．180°?4α63．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE翻折，點B落到點D的位置，AD邊與BC邊交于點F，如果AE=EF=DF，那么∠BAC的度數(shù)為__________．

64．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，∠A+∠1=40°，CD⊥AE，則∠2的度數(shù)為________．

題型20三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合65．（2020·浙江紹興·模擬預測）如圖，已知△ABC的高AD，角平分線AE，∠B=26°，∠ACD=60°，則∠AED=_____．66．（2020·浙江杭州·模擬預測）問題情景：如圖1，AB//CD，∠A=30°，∠C=42小明的思路：（1）初步嘗試：按小明的思路，求出圖1中∠AEC的度數(shù)．（2）問題拓展：在（1）的基礎上作如圖2，AP平分∠BAE，PC平分∠DCE，AP與CP交于點P，直接寫出求出∠APC的度數(shù)，不需要理由．（3）問題遷移1：如圖3，AB//CD，當E在直線AB上方時，若∠EAB=α，∠ECD=β，∠EAB和∠ECD的平分線交于點P1，請猜想∠E與∠（4）問題遷移2：如圖4，AB//CD，當點E在直線AB的上方時，∠EAB的角平分線的反向延長線和∠ECD的補角的角平分線交于點M，直接說出猜想∠M與∠E的數(shù)量關系，不需要理由．題型21三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合67．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠AOB的一邊OB為平面鏡，∠AOB=40°，一束光線（與水平線AO平行）從點C射入經(jīng)平面鏡上的點D后，反射光線落在OA上的點E處，則∠AED的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．100° D．120°68．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，直角三角形ABC的頂點A在直線m上，分別度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判斷直線m與直線n是否平行的是（）A．① B．② C．③ D．④69．（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，AB∥CD,∠D=40°,∠F=26°，則∠B的度數(shù)為（

）

A．66° B．60° C．56° D．50°70．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）空竹是我國傳統(tǒng)的一項游戲，其器材簡單但是動作花樣繁多，深受大眾喜愛．彤彤在跑步時發(fā)現(xiàn)廣場上抖空竹的老奶奶的某個動作可以抽象成一個簡單的數(shù)學圖形，如圖所示，AB∥CD，∠DCE=92°，∠BAE=115°，則∠E的度數(shù)是

題型22應用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題71．（2023·廣東廣州·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，點D為BC上一點，把△ABD沿AD折疊到△AB'D，點B的對應點B'恰好落在邊BCA．10° B．20° C．30° D．40°71．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC邊上的高，若沿AE所在直線折疊，點C恰好落在點D處，若AB=3，則△ADC的周長等于（

）A．1 B．3 C．2 D．373．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠A比∠B大70°，點D為AB上一點，將△ABC沿直線CD折疊，使點A的對應點A'落在邊BC上，則∠ADC=_______°．題型23三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合74．（2021·福建·校聯(lián)考一模）如圖，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分別沿著直線AB，AC折疊得到的，BE與CD相交于點I，若∠BAC＝140°，則∠EIC＝_____°．75．（2022下·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD=OA，∠O=75°，則∠A的度數(shù)為（

）A．35° B．52.5° C．70° D．72°76．（2022上·重慶·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，∠DAM=19°，DE⊥BC于E，DE交AC于點F，M為AF的中點，連接DM，若AF=2CD，則∠CDM的大小為（

）．A．112° B．108° C．104° D．98°77．（2018·青海·中考真題）小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=A．150° B．180° C．210°真題實戰(zhàn)練1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．92．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,S1,S2

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．12 B．14 C．18 D．244．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當AB=7時，△ABC5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（

）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線6．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°,∠2=30°，則∠3的度數(shù)為（

）

A．45° B．50° C．55° D．60°7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，則

A．40° B．32° C．24° D．16°9．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果∠1=70°，則∠2的度數(shù)為（

）．

A．110° B．70° C．40° D．30°10．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）我國古代天文學確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在MO的延長線及ON上取點A，B，使OA=OB；（3）連接AB，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO=35°，則∠AOC=（

A．35° B．30° C．25° D．20°11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°12．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC2BC

13．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學道理是__________．14．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=________°．

15．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

16．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰△ABC中，∠A=120°，頂點B在?ODEF的邊DE上，已知∠1=40°，則∠2=_________．17．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一副三角板如圖放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，則∠1=_________18．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質(zhì)應用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD=3,DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則

第16講三角形的概念及性質(zhì)答案解析題型過關練題型01三角形的穩(wěn)定性1．（2020·山西·校聯(lián)考模擬預測）下列圖形中，沒有利用三角形的穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：選項C中閘門上沒有三角形，其余A、B、D選項中都含有三角形，由三角形的穩(wěn)定性可知，選項C中沒有利用三角形的穩(wěn)定性，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，正確的理解題意是解題的關鍵．2．（2021·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及多邊形對角線的條數(shù)即可得答案．【詳解】∵三角形具有穩(wěn)定性，∴要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，∵過五邊形的一個頂點可作對角線的條數(shù)為5-3=2（條），∴要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為2條，故選：B．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對角線，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．題型02畫三角形的高、中線、角平分線3．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中作△ABC的中線BD．(2)在圖②中作△ABC的高BE．(3)在圖③中作△ABC的角平分線BF．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找出對角線為AC的矩形，連接另一條對稱線，兩條對角線的交點就是D，連接BD即可；（2）找出與線段AC相等的線段BT，AC與BT交于點E，連接BE即可；（3）延長BC到H，使CH的長為小方格的正方形的邊長，則AB=BH=5，連接AH交外圍大正方形的邊于點W，則W是線段AH的中點，連接BW即可．【詳解】（1）如圖①中，線段BD即為所求；（2）如圖②中，線段BE即為所求；（3）如圖③中，線段BF即為所求．【點睛】本題考查了用網(wǎng)格作圖，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練運用這些知識是解題的關鍵．4．（2021·吉林·三模）圖①、圖②都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC為格點三角形．請僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列作圖，不寫作法(1)在圖①中，畫出△ABC中AB邊上的中線CM；(2)在圖②中，畫出△ABC中AC邊上的高BN，并直接寫出△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)圖見解析，3【分析】（1）連接DE，交AB與點M，由菱形的判定與性質(zhì)可知M是AB的中點，根據(jù)三角形中線的定義即可得到結(jié)論；（2）連接PQ，交AO于點N，由菱形的判定與性質(zhì)可知N是AO的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可知BN⊥AO，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，線段CM即為所求；（2）如圖，線段BN即為所求．如圖可知△ABO為邊長是3的等邊三角形，N為AO的中點．∴BN=3∴S△ABC【點睛】本題考查了作圖-應用與設計，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．題型03等面積法求三角形的高5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.6【答案】C【分析】本題主要考查了三角形面積及三角形的高．過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可．【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D，

∵S∴1∴CD=24故AB邊上的高長為4.8．故選：C．6．（2022·陜西西安·?？既＃┤鐖D，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，若每個小正方形的邊長為1，則BC邊上的高為______．【答案】2【分析】設BC邊上的高為h，先根據(jù)△ABC的面積等于其所在的正方形面積減去周圍三個三角形的面積求出△ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出BC的長，再根據(jù)三角形面積公式即可求出h．【詳解】解：設BC邊上的高為h，由題意得S△ABC∵BC=12+∴?=10故答案為：25【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，勾股定理與網(wǎng)格問題，正確求出△ABC的面積是解題的關鍵．7．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，A，B，C三點在方格線的交點上．

(1)請在圖中作出△ABC中AB邊上的高．(2)求△ABC的面積．(3)點B到AC邊所在直線的距離為165，求AC【答案】(1)見解析(2)8(3)AC=5【分析】（1）根據(jù)高線的定義結(jié)合網(wǎng)格特點作圖即可；（2）利用三角形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可．【詳解】（1）解：如圖，AB邊上的高CD即為所作；

（2）如圖，S△ABC（3）∵點B到AC邊所在直線的距離為165∴S△ABC∴AC=5．【點睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積計算，熟練掌握網(wǎng)格特點是解題的關鍵．題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積8．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學（集團）校考三模）在正方形的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點（正方形網(wǎng)格的交點稱為格點）．現(xiàn)將△ABC平移．使點A平移到點D，點E、F分別是B、C的對應點．(1)請在圖中畫出平移后的△DEF；(2)分別連接AD，BE，則AD與BE的數(shù)量關系為_____，位置關系為_________．(3)求△DEF的面積．【答案】(1)見解析(2)AD=BE，AD∥BE(3)7【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出B，C的對應點E，F(xiàn)即可；（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)解決問題即可；（3）利用利用正方形的面積減去三個直角三角形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：∵點A平移到點D，∴△ABC先向右平移6個單位，再向下平移2個單位得到△DEF，如圖，△DEF即為所求；（2）解：∵△ABC先向右平移6個單位，再向下平移2個單位得到△DEF，∴點A到點D與點B到點E的平移方向和平移距離相同，∴AD∥BE，AD=BE；故答案為：AD=BE，AD∥BE；（3）解：SΔ【點睛】本題考查作圖—平移變換，平移的性質(zhì)，網(wǎng)格三角形的面積等知識，解題關鍵是掌握平移變換的性質(zhì)．9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，△ABC的頂點A、B、C都在格點上．請按要求完成下列問題：(1)S△ABC=___________；(2)請僅用無刻度的直尺在線段AB上求作一點P，使S△ACP【答案】(1)4，4(2)作圖見解析【分析】（1）由正方形面積減去三個小三角形面積即可求出S△ABC；過點A作AD⊥BC于點D．根據(jù)勾股定理可求出AB=BC=10．再根據(jù)三角形面積公式可求出（2）如圖，取格點M和N，連接MN交AB于點P，連接AM、BN，則AM∥BN，即可證△AMP∽△BNP，得出APBP=AMBN=14．再根據(jù)△ACP和△BCP【詳解】（1）S=9?=4；如圖，過點A作AD⊥BC于點D．由圖可知AB=BC=1∵S△ABC∴1∴AD=4∴sin∠ABC=故答案為：4，45（2）如圖，點P即為所作．【點睛】本題考查利用網(wǎng)格求三角形的面積，求角的正弦值，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．題型05與垂心性質(zhì)有關的計算10．（2020下·江西贛州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知銳角三角形ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓半徑，則∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】利用直徑所對的圓周角的性質(zhì)和垂心的性質(zhì)判斷出AH∥CD，CH∥AD，進而判斷出【詳解】解：如圖，設△ABC的外接圓的半徑為R連接BO，并延長BO交圓O于點D，連接OC，AD，CD，CH，∵點O是△ABC∴BD是⊙O∴∠BCD∴CD⊥∵H是△ABC∴AH⊥∴AH∥同理：CH∥∴四邊形AHCD是平行四邊形，∴CD=∵點O是△ABC∴OC=∴OC=∴△OCD∴∠BDC∴∠BAC故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的外心和垂心，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，判斷出CD=11．（2020·浙江杭州·九年級期末）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圓的半徑為2，則AH=（

）

A．23 B．22 C．4 【答案】B【分析】連接BO并延長交⊙O于點D，連接HC，CD，DA，由圓周角定理的推論，可得DC⊥BC，DA⊥AB，由三角形的垂心的定義得AH⊥BC，CH⊥AB，從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結(jié)合∠BAC=45°，△ABC外接圓的半徑為2，即可求解．【詳解】連接BO并延長交⊙O于點D，連接HC，CD，DA．∵點O是△ABC的外心，∴BD是⊙O的直徑，∴DC⊥BC，DA⊥AB，又∵點H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，CH∥DA，∴四邊形AHCD是平行四邊形，∴AH=DC，∵∠BAC=45°，△ABC外接圓的半徑為2，∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，∴AH=DC=BD÷2=4÷2=22故選B．

【點睛】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關鍵．題型06根據(jù)三角形的中線求長度12．（2022·陜西西安·高新一中?？寄M預測）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】利用三角形的周長公式先求解AD+CD=12,再證明BD=CD,再利用周長公式進行計算即可．【詳解】解：∵AC＝8，△ACD的周長為20，∴AD+CD=20?8=12,∵點D是BC邊上的中點，∴BD=CD,∵AB＝10，∴△ABD的周長為：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22．故選：D.【點睛】本題考查的是三角形的周長的計算，三角形的邊的中點的應用，掌握“三角形的周長公式及中點的含義”是解本題的關鍵．13．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）已知：△ABC中，AD是中線，點E在AD上，且CE=CD，∠BAD=∠ACE．則CEAC的值為（

A．23 B．22 C．5?1【答案】B【分析】根據(jù)已知得出△ADB∽△CEA，則∠B=∠CAE，進而證明△BAC∽△ADC，得出AC=2【詳解】解：∵△ABC中，AD是中線，∴BD=CD，∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，BD=CE，∴∠ADB=∠CEA，又∵∠BAD=∠ACE，∴△ADB∽△CEA，∴∠B=∠CAE，∵∠BCA=∠ACD，∴△BAC∽△ADC，∴BCAC∴AC即AC=2∴CEAC故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．14．（2020·浙江·模擬預測）在△ABC中，AB邊上的中線CD=3,AB=6,BC+AC=8，則△ABC的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查三角形的中線定義，根據(jù)條件先確定ABC為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得2AC·BC=28，最后根據(jù)ΔABC=【詳解】解：如圖，在△ABC中，AB邊上的中線，∵CD=3，AB=6，∴CD=3，AB=6，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC又∵AC+BC=8，∴AC∴2AC?BC=64?(AC又∵ΔABC=∴SΔABC故選B.【點睛】本題考查三角形中位線的應用，熟練運用三角形的中線定義以及綜合分析、解答問題的能力，關鍵要懂得：在一個三角形中，如果獲知一條邊上的中線等于這一邊的一半，那么就可考慮它是一個直角三角形，通過等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理來證明一個三是直角三角形.15．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的中線，若AB=6，AC=5，則△ABD與△ACD的周長之差為____________．【答案】1【分析】利用三角形的中線的定義可知BD=CD，所以兩個三角形的周長差即為AB?AC．【詳解】解：∵C△ABD=AB+BD+AD，∴C△ABD又∵AD是△ABC中線，∴BD=CD，∵AB=6，AC=5，∴C△ABD故答案為：1．【點睛】本題考查三角形中線的定義：三角形的中線是連接三角形頂點和它的對邊中點的線段．16．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC中，AD是中線，點E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝∠ACE，則AC的長為__________【答案】2【分析】先根據(jù)中線的定義和已知求得BC的長，然后利用等邊對等角證得∠CDE=∠CED，進而得到∠AEC=∠BDA，證得ΔABD∽ΔCAE【詳解】解：∵ΔABC中，AD是中線，CD＝1，∴BC=2CD=2，∵CE＝CD，∴∠CDE=∠CED，∵∠AEC+∠CED=180°，∠BDA+∠CDE=180°，∴∠AEC=∠BDA，又∵∠BAD＝∠ACE，∴ΔABD∽∴∠CAE=∠B，又∵∠ACB=∠DCA，∴ΔABC∽∴ACCD即AC∵BC=2，CD＝1，∴AC∴AC=2故答案為：2【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)ΔABC∽題型07根據(jù)三角形的中線求面積17．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以點B，C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，交于E，F(xiàn)兩點，連接EF，交BC于點D，連接AD．AD=13，

A．2 B．3 C．13 D．13【答案】B【分析】由題意可得ED為BC的垂直平分線，故可得S△ABD=S△ACD，利用勾股定理求得【詳解】解：由題意可得ED為BC的垂直平分線，∴BD=CD，∴AD是Rt△ABC∴S根據(jù)勾股定理，可得AC=A∴S故選：B．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，中線的性質(zhì)，熟知垂直平分線的畫法，得到ED為BC的垂直平分線是解題的關鍵．18．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC邊上中線BE交AD于點O，則△BCE的面積為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得BD=3，根據(jù)勾股定理求得AD=4，進而根據(jù)三角形面積公式求得S△ABC，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得△BCE的面積為12【詳解】解：∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，∴BD=DC=3，Rt△ABD中，AD=∴S∵BE是AC邊上的中線，∴△BCE的面積=12S△ABC故選：A．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中線的性質(zhì)，求得S△ABC19．（2023·陜西榆林·?？级＃┤鐖D，AD，BE分別為△ABC的中線和高線，△ABD的面積為5，AC=4，則BE的長為（）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】首先利用中線的性質(zhì)可以求出△ABC的面積，然后利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵AD為△ABC的中線，∴S△ABD∵△ABD的面積為5，∴S△ABC∵BE為△ABC的高線，AC=4，∴S△ABC∴BE=5．故選：A．【點睛】題主要考查了三角形的面積，同時也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性．20．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，BP為∠ABC的角平分線，AP垂直BP于點P，則A．6cm2 B．5cm2 C．【答案】B【分析】取AB的中點Q，連接PQ，CQ，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及平行線的判定得PQ∥BC，進而得到【詳解】解：取AB的中點Q，連接PQ，CQ，∵AP⊥BP，∴PQ=BQ，∴∠ABP=∠QPB，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∴∠ABP=∠CBP，∴∠QPB=∠CBP，∴PQ∥∴S△PBC∵AQ=BQ=12AB，△ABC∴S△BCQ∴S△PBC故選：B．【點睛】考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等底同高證明兩三角形面積相等，掌握△PBC的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．題型08與重心性質(zhì)有關的計算21．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）在△ABC中，點O為△ABC的重心，連接AO并延長交BC邊于點D，若有AD=12BC，則△ABCA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用重心的性質(zhì)可以得到AD為△ABC的中線，然后利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：如圖，∵點O為△ABC的重心，

∴AD為△ABC的中線，∵AD=1∴AD=BD=CD，∴∠BAD=ABD，∠DAC=∠DCA，而∠BAD+∠ABD+∠DAC+∠DCA=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=90°，∴△ABC為直角三角形．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，同時也利用了等腰三角形的性質(zhì)，比較簡單．22．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分別是BC，AC的中點，點P是線段AD上的一個動點，當△PCE的周長最小時，P點的位置在（

A．△ABC的重心處 B．AD的中點處 C．A點處 D．D點處【答案】A【分析】連接PB，BE，首先證明PC+PE=PB+PE，由PB+PE≥BE，推出當B，P，E共線時，PC+PE的值最小，此時【詳解】解：如圖，連接PB，BE．

∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PC+PE=PB+PE，∵PB+PE≥BE，∴當B，P，E共線時，PC+PE的值最小，此時∵AD也是中線，∴點P是△ABC的重心，故選：A．【點睛】本題考查三角形的重心，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱線段和最短問題，關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決問題．23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）如圖，點G為△ABC的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，若AC=3.4，則EF的長度為（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根據(jù)點G為△ABC的重心，可知點E為AB的中點，點F為BC的中點，即可求解．【詳解】解：∵點G為△ABC的重心，∴點E為AB的中點，點F為BC的中點，∴EF為△ABC的中位線，∴EF=1∵AC=3.4，∴EF=1.7，故選：A．【點睛】本題考查了三角形重心的概念，知道重心是中線的交點是解題的關鍵．24．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，點G是△ABC的重心，四邊形AEGD與△ABC面積的比值是（

）A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】連接DE，根據(jù)三角形中位線定理以及中線的性質(zhì)可得DE∥BC,DE=12BC，S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12【詳解】解：如圖，連接DE，∵點G是△ABC的重心，∴點D，E分別為AC,AB的中點，∴DE∥BC,DE=12BC，S∴△ADE∽∴DGBG∴DGBD∴S△DEG=1∴S△DEG∴S△DEG∴S四邊形即四邊形AEGD與△ABC面積的比值是13故選：B【點睛】本題主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關鍵．題型09應用三角形的三邊關系求第三邊長或取值范圍25．（2023·福建福州·?？级＃┮阎切蝺蛇呴L分別為3和5，則第三邊的長可能是（

）A．2 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取值范圍，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得故第三邊的長度5?3<x<5+3，即2<x<8，∴這個三角形的第三邊長可以是6．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系，根據(jù)三角形三邊關系列出不等式，然后解不等式，確定取值范圍即可．26．（2023·河北廊坊·校考三模）如圖，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，則線段BD的長度可能是（

）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C【分析】由三角形ABD可得1<BD<5，由三角形BCD可得4<BD<6，從而可得答案．【詳解】解：由三角形ABD可得1<BD<5，由三角形BCD可得4<BD<6，∴4<BD<5，∴A，B，D不符合題意，C符合題意；故選C【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系是應用，熟記三角形的三邊關系是解本題的關鍵．27．（2023·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，則AC的長的取值范圍是（

A．AC<5 B．AC>3 C．3≤AC≤5 D．3<AC<5【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊逐步分析即可．【詳解】解：在Rt△ABC∵BC⊥AC，∴AC<AB，即AC<5，∵CD⊥AB，∴AC>CD，即AC>3，∴3<AC<5，故選D．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握直角三角形的斜邊大于直角邊．28．（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）有四根長度分別為2，4，5，x（x為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾順次相接都能圍成一個三角形，則圍成的三角形的周長（

）A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14【答案】D【分析】首先寫出所有的組合情況，再進一步根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：2、4、x，4、5、x，2、4、5，2、5、x都能組成三角形，∴4?2<x<4+2，5?4<x<5+4，5?2<x<5+2，即2<x<6，1<x<9，3<x<7，∴3<x<6，∵x為正整數(shù)，∴x取4或5，要組成的三角形的周長最小，即x=4時，三邊為2，4，4，其最小周長為2+4+4=10，要組成的三角形周長最大，即x=5時，三邊為4，5，5，其最大周長為4+5+5=14故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關系，利用分類討論的思想，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，是解答本題的關鍵．題型10應用三角形的三邊關系化簡含有絕對值的式子29．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）已知a，b，c是三角形的三條邊，則c?a?b+c+b?a的化簡結(jié)果為（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b?2c【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊的關系得到c?a?b<0，【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三條邊，∴a+b>c，∴c?a?b<0，∴c?a?b=?=a+b?c+c+b?a=2b，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關系，化簡絕對值和合并同類項，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．30．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）若△ABC三條邊長為a，b，c化簡：a?b?c?a+c?b【答案】2b?2a/?2a+2b【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊得到a?b?c<0，c+a?b>0，再根據(jù)絕對值性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系得：a?b?c<0，c+a?b>0，∴a?b?c=?=?a+b+c?a?c+b=2b?2a．故答案為：2b?2a．【點睛】本題考查了絕對值的化簡和三角形三條邊的關系，熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；一個正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，是解答本題的關鍵．31．（2022上·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習）已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡：|a?b?c|+|b?c+a|+|c?a?b|=________．【答案】a+3b?c【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關系得出a、b、c之間的大小關系，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡．【詳解】解：∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a+b>c，b+c>a，a+b>c，∴a?b?c<0，b?c+a>0，c?a?b<0，∴a?b?c+故答案為：a+3b?c．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系以及絕對值的化簡，掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．三角形三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．題型11三角形內(nèi)角和定理的證明32．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：∠CED、∠C、求證：∠C+∠D+∠CED＝有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（）?證明：如圖，過點E作直線AB，使得AB∥∴∠2＝∴∠1+∠@＝∴∠C+∠D+∠CED＝A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】將證明過程補充完整，由此可得出結(jié)論①不正確，結(jié)論②正確，結(jié)合得到的結(jié)論適用于任何三角形，可得出結(jié)論④正確．【詳解】證明：如圖，過點E作直線AB，使得AB∥CD，∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），故①不符合題意；∴∠1+∠BEC=180°，∴∠C+∠D+∠CED=180°．故②符合題意；上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．故③不符合題意；④符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，將證明三角形的內(nèi)角和是180°的過程補充完整是解題的關鍵．33．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．下列回答不正確的是（

）定理：三角形的內(nèi)角和為180°．已知：△ABC．

求證：∠A+∠B+∠ACB=180°．證明：延長BC到點D，過點C作CE∥@，∴∠A=◎（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B=___▲______（_____※______）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．A．@代表AB B．◎代表∠ACD C．▲代表∠ECD D．※代表兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)進行證明判斷即可．【詳解】證明：延長BC到點D，過點C作CE∥AB，∴∠A=ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．∴四個選項中只有B選項結(jié)論錯誤，符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關鍵．34．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）下面是小穎同學要借助無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，來證明三角形內(nèi)角和等于180°這一命題，請你幫她補充完整．【答案】見解析【分析】先根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作圖，然后根據(jù)證明AE∥BC，得到∠EAC=∠C，由平角的定義可得∠BAC+∠EAC+∠DAE=180°，則∠BAC+∠C+∠B=180°．【詳解】證明：如圖，∵∠DAE=∠B，∴AE∥BC，∴∠EAC=∠C，∵∠BAC+∠EAC+∠DAE=180°，∴∠BAC+∠C+∠B=180°，即三角形三個內(nèi)角的和等于180°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖—作與已知角相等的角，靈活運用所學知識是解題的關鍵．題型12應用三角形內(nèi)角和定理求角度35．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學校考模擬預測）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，則A．5cos55° B．5cos55° C．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，∠C=90°，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，求解即可．【詳解】解：由題意可得：∠C=180°?∠A?∠B=90°，∴△ABC為直角三角形，如下圖：

由三角函數(shù)的定義可得，sinA=cos可得AB=A選項符合題意，B、C、D選項不符合題意，故選：A【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．36．（2023·河北滄州·模擬預測）在△ABC中，數(shù)據(jù)如圖所示，若∠1比∠B小2°，則∠2比∠C（

）

A．大2° B．小2° C．大4° D．小4°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2，得到∠B+∠C=∠1+∠2，∠B?∠1=∠2?∠C結(jié)合已知判斷即可．【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∴∠B?∠1=∠2?∠C，∵∠1比∠B小2°，∴∠2?∠C=2°，故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵．37．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，則∠D的度數(shù)為______．

【答案】35°/35度【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出∠ACB=∠B=70°，∠D=∠CAD，根據(jù)三角形的外角得出∠D+∠CAD=∠ACB，求出∠D的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AB=AC，AC=CD，∴∠ACB=∠B=180°?∠BAC2=70°∵∠ACB為△ACD的外角，∴∠D+∠CAD=∠ACB，∴∠ACB=∠B=2∠D=70°，∴∠D=35°．故答案為：35°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握等邊對等角．38．（2022·福建福州·校考模擬預測）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則AC:AB=______．【答案】32/【分析】先由在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3得出∠A、∠B和∠C的度數(shù)，再分別利用勾股定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出答案．【詳解】解：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠C=3∠A，∠B=2∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∠C=90°．∴BC=1∴AC=A∴AC:AB=3故答案為：32【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．題型13三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應用39．（2023·湖北黃岡·三模）如圖為兩直線l、m與△ABC相交的情形，其中l(wèi)、m分別與BC、AB平行．根據(jù)圖中標示的角度，則∠B的度數(shù)為（）

A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】A【分析】由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得出∠A、∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得出∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵l、m分別與BC、AB平行，∴∠C+120°=180°，∴∠C=60°，∴∠B=180°?∠A?∠C=55°，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得出∠A、∠C的度數(shù)是解題的關鍵．40．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過點C的射線CE與AD平行，若∠B=60°，∠ACB=30°，則∠ACE的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠DAC=45°，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠ACE=∠DAC．【詳解】解：∵∠B=60°，∠ACB=30°，∴∠BAC=180°?60°?30°=90°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC=45°，∵AD∥∴∠ACE=∠DAC=45°，故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．41．（2021·寧夏銀川·統(tǒng)考一模）如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，點E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，則∠BAC的大小是（

）A．24° B．26° C．28° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠D=102°，AD=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D=102°，AD=BC，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°-∠ABC=180°-102°，∴∠BAC=26°，故答案為：26°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，正確的識別圖形找到角與角之間的關系是解題的關鍵．題型14三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應用42．（2022·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC=110°，則∠A=___________．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計算即可．【詳解】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分線，∴∠A＝180°?（∠ABC＋∠ACB），＝180°?2（∠DBC＋∠BCD）∵∠BDC＝180°?（∠DBC＋∠BCD），∴∠A＝180°?2（180°?∠BDC）∴∠BDC＝90°＋12∠A∴∠A＝2（110°?90°）＝40°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，用已知角表示出所求的角是解題的關鍵．43．（2020·浙江紹興·模擬預測）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，請說明(2)如圖2（∠B<∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關系．【答案】(1)∠DAE=10°(2)∠DAE=1【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC=80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用三角形的高線可求∠CAE得度數(shù)，進而求解即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關系．【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAD=1∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∵∠C=60°，∴∠CAE=90°?60°=30°，∴∠DAE=∠CAD?∠CAE=10°；（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BA