高等數(shù)學(xué)（工科類）課件 第九章 概率論基礎(chǔ)

新時代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）理解隨機(jī)變量的期望與方差的概念；掌握隨機(jī)變量期望、方差的性質(zhì)與計算；掌握常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差.理解隨機(jī)事件及樣本空間的概念；了解概率的統(tǒng)計定義；掌握概率的基本性質(zhì),會計算古典概型問題的概率.理解條件概率的概念,掌握概率的乘法公式；會判斷事件的獨立性,會利用事件的獨立性計算概率.理解隨機(jī)變量的概念；理解離散型隨機(jī)變量及分布律的概念及性質(zhì),掌握常見的離散型隨機(jī)變量的分布；了解連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度；了解分布函數(shù)的概念及性質(zhì),掌握常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布；會利用分布列和概率密度以及分布函數(shù)計算事件的概率.知識目標(biāo)第九章概率論基礎(chǔ)第一節(jié)隨機(jī)事件與概率情景與問題其可能結(jié)果為：

.取值的結(jié)果可以按從小到大依次排成一列.引例1

拋硬幣兩次,觀察正、反面的情況.其可能的結(jié)果有：{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},拋一次的結(jié)果為引例2觀察一小時中落在地球上某一區(qū)域的粒子數(shù).落在區(qū)域上的粒子數(shù)為0，或者粒子數(shù)大于等于1都是可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件.以上四種中的任意一種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相同.

{第一件是正品},

{第二件是正品},

{沒有一件是次品},

{只有第一件是次品},

{恰有一件是次品},

{至少有一件是次品}.引例3從一批包含正品和次品的產(chǎn)品中,不放回地依次任意取出兩件.若記

這幾個事件之間存在什么樣的關(guān)系呢?三個引例的結(jié)果雖然充滿著不確定性,但人們?nèi)匀荒軌驕?zhǔn)確預(yù)知可能結(jié)果的范圍.為了表述和討論這類隨機(jī)現(xiàn)象,接下來我們給出隨機(jī)事件的定義并討論其運算和概率.9.1.1隨機(jī)事件的概念概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,自然界中的許多現(xiàn)象,其結(jié)果是確定的,而且我們可以事先預(yù)測.電荷互相吸引；水從高處流向低處；按照現(xiàn)行的規(guī)則，被出示紅牌的足球運動員一定會被罰下場.這種在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,我們稱為確定現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.例如:太陽東升西落；正負(fù)除了必然現(xiàn)象外還有一類現(xiàn)象與必然現(xiàn)象是相對的,即結(jié)果具有不確定性,且事先不能斷言會出現(xiàn)哪種結(jié)果.比如:擲硬幣正面向上、玩骰子擲出點數(shù)3、路過十字路口時遇到紅燈等等，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象.外表,揭示內(nèi)在的某種規(guī)律.目的是透過隨機(jī)現(xiàn)象的前面引例是對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次實驗的過程,這樣的過程稱為隨機(jī)試驗,簡稱實驗所有可能結(jié)果的集合稱為這個試驗的樣本空間,記作

．(1)可重復(fù)性：試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)不唯一性：每次試驗有多個可能結(jié)果,且所有結(jié)果已知；(3)隨機(jī)性：每次試驗之前不能確定具體出現(xiàn)哪個結(jié)果.部分樣本點組成的集合稱為隨機(jī)事件,簡稱事件，通常用大寫字母A

,

B

,

C

,…

表示．不能再分解的隨機(jī)事件稱為基本事件.由于每次試驗的結(jié)果都是

的一個樣本點,所以

必然發(fā)生,即

為必然事件.不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件,常用

表示,試驗,一般用字母

表示.隨機(jī)試驗具有以下三個特征：記作

.樣本空間中的元素稱為樣本點,是樣本點可列的數(shù)量型樣本空間.引例1拋硬幣兩次,觀察正、反面情況的實驗中,

{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},是樣本點個數(shù)有限的非數(shù)量型樣本空間；“正面恰好出現(xiàn)一次”、“第二次為反面”等是隨機(jī)事件,其中“兩次均為正面”、“第一次正面,第二次反面”等事件是基本事件.

易知：引例2觀察一小時中落在地球上某一區(qū)域的粒子數(shù)的實驗中，易知：中的樣本點雖然有無數(shù)個,但可以依次排成一列,這樣的集合我們稱為可列集或可數(shù)集.9.1.2隨機(jī)事件的運算事件是一個集合,所以事件間的關(guān)系和運算都可以按照集合的關(guān)系和運算來定義.圖9-1

定義9.1

若事件A

的發(fā)生必然導(dǎo)致事件

B發(fā)生,則稱事件

B

包含事件

A

．記作

．特別地,若

且

,則稱事件A與事件B

相等,記作A=B．定義9.2

事件A

與事件B

同時發(fā)生,這一事件稱為事件A

與B

的積(交),記為AB或

．如圖9-2所示.對任意事件A

,有

AA=A,A=A

,

．圖9-2

圖9-3

圖9-4

定義9.3

兩事件

A與B中至少有一件發(fā)生,這一事件稱為事件A與B的和(并),記為A+B對任意事件A

,有A+A=A,,定義9.4

事件A

發(fā)生而事件B

不發(fā)生,這一事件稱為事件A

與B

的差,記作

,如圖9-4所示.或

．如圖9-3所示.圖9-5

圖9-6

定義9.5若事件

A

與事件

B不能同時發(fā)生,即

,則稱事件A

與

B為互斥事件（或不相容事件）,如圖9-5所示.定義9.6

若事件

A與

B

滿足

且

,則稱事件

A與B

是互逆事件（或?qū)α⑹录?，顯然，基本事件之間總是互斥的．記作

B=,如圖9-6所示.解(1)

={沒有一件是次品}表示成

(2)

{只有第一個零件是次品}表示成(3)

{恰有一個零件是次品}表示成(4)

{至少有一個零件是次品}表示成顯然,互逆事件一定是互斥事件,但反之不真.(1)

；(2)

,

,；(3)德摩根律:

,

例1將引例3中的事件

用

表示.對任意事件A和

B

,不難證明以下結(jié)論成立:或例2A={甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷},則

表示什么事件?解設(shè)B={甲種產(chǎn)品暢銷},C={乙種產(chǎn)品暢銷},所以，則即={甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷}.9.1.3隨機(jī)事件的概率用來表示隨機(jī)事件

A發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量稱為事件

A的概率,記作

.如何才能獲得

的數(shù)值呢?盡管事件的頻率隨試驗的不同會有所改變,對于確定的事件,概率值是客觀存在的.人們常利用事件發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)的比值來獲知概率值的大小,這樣的值稱為頻率.頻率總是逐漸穩(wěn)定于但當(dāng)試驗的次數(shù)逐漸增加時,一個確定的常數(shù).

拋硬幣次數(shù)比較少的時候,正面出現(xiàn)的頻率波動較大,試驗者擲硬幣次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率德·摩根409220480.5001普豐404020480.5069威廉·費勒1000049790.4979皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998以下是有名的頻率穩(wěn)定性的例子,該實驗不僅具有典型性，而且可以重復(fù)驗證.事實上,隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性不斷地被人類的實踐所證明.隨著試驗次數(shù)n

增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性,取值總在

附近擺動,并逐漸穩(wěn)定于

.這個常數(shù)就是拋硬幣試驗中出現(xiàn)正面的概率.從表中可以看出：在對英文字母使用頻率深入研究后發(fā)現(xiàn),各個字母被使用的頻率相當(dāng)穩(wěn)定.字母空格ETOANIRS頻率0.20.1050.0720.06540.0630.0590.0550.0540.052字母HDLCFUMPY頻率0.0470.0350.0290.0230.02250.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ頻率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001實際上其他各種文字包括漢語也有類似的統(tǒng)計結(jié)果,這對于結(jié)合漢字輸入方案的研制,實現(xiàn)漢字信息處理自動化具有重要意義.定義9.7

多次重復(fù)試驗中,若事件

A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在常數(shù)

P附近擺動,隨著試驗次數(shù)增加,這種擺動的幅度是很微小的,則稱確定常數(shù)

P為事件A

發(fā)生的概率,記作

.統(tǒng)計定義對應(yīng)著概率論中的一類隨機(jī)試驗類型即古典概型.概率的統(tǒng)計定義(1)基本事件總數(shù)有限；當(dāng)隨機(jī)試驗有兩個特征：(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等．滿足這兩個特征的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型．古典概型定義結(jié)論:(一正面,一反面)這一事件出現(xiàn)的概率為

.則事件

A的概率為

.對于古典概型,概率的計算是非常直觀的：事件A包含的基本事件數(shù)為

m,拉普拉斯在1812年將這個式子作為概率的一般定義.這個結(jié)論今天看顯然是錯誤的,因為這三種結(jié)果出現(xiàn)的可能性并不相同.數(shù)學(xué)史曾有一個著名的例子.在擲兩枚硬幣觀察正面和反面出現(xiàn)的試驗中，法國著名數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾論證總共有三種結(jié)果,即{(正面,正面),(反面,反面),(一正面,一反面)},由此他得出基本事件總共有四種,事實上該問題中的而一正一反在兩種情況下出現(xiàn),即(一正面,一反面)出現(xiàn)的概率應(yīng)為

.若基本事件總數(shù)為

n,性質(zhì)2(規(guī)范性)

圖9-7性質(zhì)1(非負(fù)性)

對于任何事件

A,有

一般地,若事件

彼此互斥,則推論2(逆事件概率)若

是

A

的逆事件,則推論3(單調(diào)性)若

,則

,且隨機(jī)事件的統(tǒng)計概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)3

(概率的加法公式)

對任意兩個事件A

與B,有推論1(有限可加性)若事件A與B

互斥,則設(shè)

A={恰有1件次品},

從100件產(chǎn)品中任取2件的方式總共有n

=

種.

則事件A包含的事件數(shù)m

=

種.例3

100件產(chǎn)品中有90件合格品,10件次品.從中任取2件,求恰有1件次品的概率.解易知該試驗?zāi)Ｐ褪枪诺涓判?由古典概率公式得對于不同n

值計算相應(yīng)的概率見下表例4生日問題:已知有n

個人（

）,求至少有兩個人生日在同一天的概率.從而則

表示“n個人的生日全不相同”.從而n

個人的生日共有

種安排方法,而“

n個人的生日全不相同”的安排方法總共有

種,因此

n10202330405060

0.120.410.510.710.890.970.99從表中可以看到,在人們的印象中,“一個班級中至少有兩個人的生日在同一天”似乎并不常見.解設(shè)

A表示事件“n個人中至少有兩人的生日在同一天”,每個人的生日有N=365種選擇,從而實際的情況是,一個人數(shù)達(dá)到60的班級,這個事件發(fā)生的概率高達(dá)99%,這幾乎是必然發(fā)生的事件.抽簽不僅在體育比賽中經(jīng)常出現(xiàn),在日常生活中也很常見.但抽簽的公平性往往被人質(zhì)疑,結(jié)果會不會和抽簽的順序有關(guān)呢？例5設(shè)口袋中有a

只黑球,b

只白球.現(xiàn)在采取不放回的方式將球一只只的摸出來.求第

k(

)次摸出的是一只黑球的概率.解

a+b只球一只只依次抽取出來,總的抽取方式有

n=

種.故第

k次摸出的是一只黑球的抽取方式有種.第k次摸得黑球的方式總共有a

種,同時其余次摸球相當(dāng)于對a+b-1只球進(jìn)行全排列.由古典概率公式得例5中的摸球問題是為抽簽隨機(jī)性設(shè)計的一個數(shù)學(xué)模型,黑的數(shù)量a

與白球的數(shù)量b有關(guān),其計算結(jié)果表明第k

次摸得黑球結(jié)果只與黑而與抽取的順序

k無關(guān),即抽簽與順序無關(guān).即該班參加數(shù)學(xué)競賽或外語競賽的學(xué)生占90%．例6某班有80%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競賽,70%的學(xué)生參加了外語競賽,60%的學(xué)生既參加了數(shù)學(xué)競賽又參加了外語競賽,問該班參加數(shù)學(xué)競賽或外語競賽的學(xué)生占百分之多少?解設(shè)A={參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生},B={參加外語競賽的學(xué)生},則AB={既參加數(shù)學(xué)競賽又參加外語競賽的學(xué)生},A+B={參加數(shù)學(xué)競賽或外語競賽的學(xué)生}.由加法公式:

例8某城市有N輛卡車,車牌號從1到N.某人到該城市去將遇到的n

輛車的號牌抄下,這當(dāng)中可能會重復(fù)抄到某些車牌號.求抄到的最大號碼正好為

k的概率.例7在20件產(chǎn)品中,有15件一級品,5件二級品,從中任取3件,其中至少1件為二級品的概率是多少?

.解

設(shè)事件A={至少1件為二級品},事件

{恰有件二級品}

,其中

彼此互斥.由推論1有限可加性可得這種通過號牌估計卡車數(shù)量的方法在二戰(zhàn)時期的戰(zhàn)場上得到了很好的應(yīng)用.當(dāng)時的盟軍從擊毀戰(zhàn)車上的出廠號碼推測敵方的生產(chǎn)批量,估計其軍火生產(chǎn)能力,得到了相當(dāng)精準(zhǔn)的情報.{抄到的最大號碼為},事件

{抄到的最大號碼不超過k

}

.顯然

,且

,由性質(zhì)3的推論3知,解設(shè)每輛卡車被遇到的機(jī)會相同.應(yīng)用與實踐案例1(賭徒的困惑)17世紀(jì)法國的某賭場內(nèi),著名賭徒梅爾和一位游客保羅賭錢,他們事先每人拿出6枚金幣放在一起,并約定誰先勝3局誰就拿走全部的12枚金幣.根據(jù)以往的經(jīng)驗,他們在每局中勝利的可能性相同.比賽開始,保羅先勝1局后,梅爾又連勝2局,這時由于意外事件他們不得不終止了賭博.于是兩位賭徒開始商量如何合理分配這12枚金幣.保羅對梅爾說:“我勝1局,你勝2局,因此金幣應(yīng)該三等分,你得到的金幣為2份,總共8枚,而我得1份,即4枚金幣.”他們誰也說服不了誰,最后決定由法國著名的數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡來評判.精通賭博的梅爾對此提出異議:“這顯然不公平!”梅爾說道:“我只需要再贏1局就能得到全部的金幣,而你得到全部金幣還需要連贏2局.我勝1局的可能性比你連贏2局的可能性大的多.金幣的分配必須考慮這種可能性.”費馬的解決辦法是:如果再玩2局,會出現(xiàn)4種可能的結(jié)果:(梅爾勝,保羅勝)(梅爾勝,梅爾勝)(保羅勝,梅爾勝)(保羅勝,保羅勝）由于梅爾已經(jīng)贏了2局,這4種結(jié)果中只有最后1種才能使保羅獲勝.所以梅爾先勝3局的可能性是保羅先勝3局可能性的3倍.12枚金幣中的

,即9枚應(yīng)歸梅爾,而保羅只能分得

,即3枚金幣.帕斯卡用的是另一種分析方法,但分配的方案與費馬完全一樣.帕斯卡假設(shè)這兩人接著再玩一局,那么會出現(xiàn)2種結(jié)果.如果梅爾勝了,此時梅爾已經(jīng)先勝3局,可獲得全部的金幣,記為1.如果獲勝的是保羅,梅爾和保羅均各勝兩局,各得金幣的一半,記為

.由于第四局兩人獲勝的可能性一樣,同理,保羅獲得金幣的可能性為.

所以梅爾贏得金幣的可能性是兩種可能性大小的算術(shù)平均,即,

兩位數(shù)學(xué)家并不熱衷賭博,但他們?nèi)詫@個事件中的規(guī)律進(jìn)行了深入的研究.案例2(蒲豐投針與

)1777年,法國博物學(xué)家蒲豐向世人宣布,他用投針實驗得到了計算的近似公式.投針實驗是,先在一張紙上畫滿距離為

d的等距平行線,然后將長度

的小針隨機(jī)投往紙上,記下投擲次數(shù)

n

和小針與平行線的交點個數(shù)

m,蒲豐斷言,投擲次數(shù)愈多,比值

愈接近

的值,即現(xiàn)在討論鐵絲長為

的情形．當(dāng)投擲次數(shù)

n

增大時,鐵絲跟平行線的交點總數(shù)m應(yīng)當(dāng)與長度

成正比,即

，

注意到當(dāng)

時,有

．于是

,

,代入

得

,

.由于投擲的小針長度

,于是得到

,這就是蒲豐的著名結(jié)論.先試想一下,將一根鐵絲彎成直徑為

d的圓圈．將此圓圈隨機(jī)地投往紙上,顯然圓圈與平行線總有兩個交點．因此,圓圈投下

n次,與平行線的交點總數(shù)就是2n．若把圓圈拉直,變成一條長為

的鐵絲,這樣的鐵絲投在紙上與平行線的交點可能有4個、3個、2個、1個或0個,但由于圓圈和直鐵絲的長度同為,根據(jù)機(jī)會均等原理,當(dāng)投擲較多相同次數(shù)時,兩者與平行線的交點總數(shù)大致相當(dāng)．這就是說,當(dāng)長為

的直鐵絲投下n

次時,與平行線的交點總數(shù)應(yīng)大致為2n．第九章概率論基礎(chǔ)第二節(jié)條件概率與事件的獨立性情景與問題引例1從

中任取一個數(shù),A

表示:“抽取的數(shù)不大于7”,B表示:“抽取的數(shù)不小于5”.在事件

A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件

B發(fā)生的概率是多少呢?在事件

B已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A

發(fā)生的概率又如何呢?條件的概率即是接下來將要討論的條件概率.引例1提出了事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件

B發(fā)生的概率,記做

,引例2肝癌普查中發(fā)現(xiàn),原發(fā)性肝癌患者往往伴隨著甲胎蛋白含量高的情況出現(xiàn).某地區(qū)的常住人口每10萬人中,平均有40人患原發(fā)性肝癌,有34人的甲胎蛋白含量高,有32人既患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎蛋白含量高.可疑肝癌患病確診的情況下，發(fā)現(xiàn)往往伴隨著甲胎蛋白偏高，此時出現(xiàn)甲胎蛋白偏高的概率是多大呢？這種帶有事件A

表示“抽取的數(shù)不大于7”,即，9.2.1條件概率從

中任取一個數(shù),其樣本空間為

,而事件B表示“抽取的數(shù)不小于5”,即

,這其中同時屬于事件B的,即

共有3個數(shù).計算

的問題等價于在樣本空間縮小至A的前提下,事件

AB發(fā)生的求條件概率

.易知引例1是個古典概型.包含了10個基本事件.包含了7個基本事件.包含了6個基本事件.已知事件A發(fā)生,即在抽取的數(shù)字不大于7的條件下,所有可能的數(shù)限定在這7個數(shù)的范圍內(nèi).求事件B

抽取的數(shù)不小于5的可能性,就是因此概率.同理當(dāng)計算無條件概率

時,樣本空間為“該地區(qū)的所有常住居民”,此時

,而在計算條件概率

時,

定義9.8

設(shè)A、B

為兩個隨機(jī)事件,且事件A的概率

,則在事件

A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為條件概率,相應(yīng)地把

稱為無條件概率.條件概率的定義條件概率問題的實質(zhì)是樣本空間發(fā)生了縮減.在引例2中,若記A={某地區(qū)原發(fā)性肝癌患者},B={甲胎蛋白含量高}.樣本空間已縮減為事件A

即“原發(fā)性肝癌患者”,此時事件AB發(fā)生的次數(shù)為32,因此條件概率具有與概率相同的性質(zhì):設(shè)A是一事件,且

,則(1)對于任一事件B

,

；(2)

；(3)若

互不相容,則

.條件概率的性質(zhì)

例1某種電池可使用80小時以上的概率為0.9,可使用100小時以上的概率為0.65．一只電池已使用了80小時,求它還可以使用至少20小時的概率．解設(shè)事件A={使用80小時以上},B={使用100小時以上},由條件概率公式得例2一批同型號的產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品合格情況如下表

數(shù)量

廠別甲廠乙廠合計

等級合格品4756441119次

品255681合

計5007001200從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地取一件,假設(shè)被告之取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的,那么這件產(chǎn)品為次品的概率是又是多少?如果發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品是次品,那么這件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率又是多少?解記“取出的產(chǎn)品為次品”這一事件為

A,“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”這一事件為

B

.由條件概率公式,取出的是甲廠生產(chǎn)的條件下,產(chǎn)品為次品的概率為

而取出的是次品的條件下,產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的概率為9.2.2乘法公式由條件概率公式和變形可以得到上述兩式稱為概率的乘法公式,它可推廣到多個事件的乘積:兩事件的乘法公式多個事件的乘法公式

例3某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為

,若第一次落下未打破,第二次落下時打破的概率為

,若前兩次落下均未打破,第三次落下時打破的概率為

.求透鏡落下三次未打破的概率.

解設(shè)

{透鏡第次落下打破},

,

B=

{透鏡落下三次未打破}.因為,故有(1）無放回地抽取時,在第一次取到白球的條件下,袋中剩下的球為4個黑球,3個白球,第二次取到黑球的概率為9.2.3事件的獨立性注意到采用無放回的方式抽取時,第一次有沒有取到白球?qū)Φ诙稳〉胶谇蚋怕实挠嬎闶怯杏绊懙?在條件概率中我們注意到,一般來說

,即A是否發(fā)生對B

發(fā)生的概率是有影響的.但例外的情形大量存在.例如，袋中有5個黑球和3個白球，從袋中取球兩次，設(shè)A={第一次取到白球},B={第二次取到黑球}，討論第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率：（2）有放回地抽取時,無論第一次取到的情況如何,在第二次取球時,仍有5個黑球3個白球,故有但在采用有放回的方式時,事件B

發(fā)生的概率不受事件A是否發(fā)生的影響.實際上,事件

A發(fā)生的概率也與事件B無關(guān).這就是事件的獨立性．性質(zhì)1事件

A與B

相互獨立的充要條件是性質(zhì)2若

,則事件A

與

B相互獨立的充要條件是

.兩事件的獨立性相互獨立的事件有如下性質(zhì)：定義9.9

在兩個事件

A,B

中,任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的發(fā)生,則稱事件A

與B

是相互獨立的．(時有類似的結(jié)論)

性質(zhì)3若事件A與B相互獨立,則A

與

,

與B

,

與

也都相互獨立．下面我們來定義

n個事件的獨立性.例如,n=3時,

相互獨立,當(dāng)且僅當(dāng)以下4個等式同時成立:定義9.10

設(shè)

是n個事件,若其中任意兩個事件間均相互獨立,則稱

兩兩獨立.在實際中,我們一般不會借助公式

來判斷事件間的獨立性.n個事件的獨立性可見

n個事件兩兩獨立不能等同于n

個事件相互獨立.

n個事件相互獨立時必有事件兩兩獨立,反之不真.而是根據(jù)獨立的意義和事件的實際背景來進(jìn)行判斷.當(dāng)事件具有獨立性時,許多概率的計算就能大大簡化.如果事件間沒有關(guān)聯(lián)或者關(guān)聯(lián)非常弱,就可以認(rèn)為它們之間是相互獨立的.(2)設(shè)

C={恰有一人通過考試},則(1)兩人都能通過考試概率為由性質(zhì)2可知

A

與

,例4甲、乙二人去考駕照,如果甲通過考試的概率為0.8,乙通過考試的概率為0.6,求(1)兩人都能通過考試的概率；(2)恰有一人通過考試的概率；（3）至少有一個人通過考試的概率．解設(shè)A={甲通過考試},B={乙通過考試}.在考試過程中,由于甲是否通過不會影響到乙的通過,于是A與B相互獨立,與B

,

與

也相互獨立．所以(3)設(shè)D={至少有一人通過考試},則D=A+B,所以例5設(shè)口袋里裝有四張形狀相同的卡片,在四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字:110,101,011,000.從袋中任取一張卡片,記

{取到的卡片第位上的數(shù)字為1}.可見

成立,但,證明:

兩兩獨立,但

不相互獨立.證明由題意知,

即

兩兩獨立.故

不相互獨立.應(yīng)用與實踐案例1(系統(tǒng)的可靠性)一個元件能正常工作的概率稱為元件的可靠性,而元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.可靠性數(shù)學(xué)理論起源于20世紀(jì)30年代,最早研究的領(lǐng)域包括機(jī)器維修、設(shè)備更新和材料疲勞壽命等問題.第二次世界大戰(zhàn)期間,由于研制使用復(fù)雜的軍事裝備和評定改善系統(tǒng)可靠性的需要,可靠性理論得到重視和發(fā)展,它的應(yīng)用已經(jīng)從軍事部門擴(kuò)展到國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域.如圖9-8所示,這是一個串并聯(lián)電路示意圖,A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數(shù)字是各自的可靠性,求該電路的可靠性.

圖9-8由于各元件的能否正常工作相互獨立,綜上有于是事件W

發(fā)生等價于事件A、B、(C+D+E)、(F+G)

、和事件

H同時發(fā)生.設(shè)電路的可靠性為W

,并用A、B、C、D、E、F、G、H

表示對應(yīng)元件的可靠性.其中

(C+D+E)

表示C、D、E這三個元件至少有一個正常工作,(F+G)表示F、G這兩個元件至少有一個正常工作.案例2(保險賠付問題)設(shè)有n

個人向保險公司購買人身意外險,保期為一年.假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01,求:(1)該保險公司賠付的概率；(2)多大的n

使得以上賠付的概率不低于

.解

(1)設(shè)

表示第

個投保人出現(xiàn)意外,

A表示保險公司賠付,則

相互獨立,(2)若要，即要

,則有且

因此但若重復(fù)試驗次數(shù)充分大時,小概率事件至少發(fā)生一次的可能性是不容忽視的.這表明,雖然0.01是概率也就是說,當(dāng)投保人數(shù)不少于685時,則保險公司有大于一半的概率需要賠付.很小的事件,第九章概率論基礎(chǔ)第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布情景與問題引例3將一根長度為

的桿分成兩段,記X

為較長一段的桿的長度.則

表示“截取的較長一段的桿的長度在

到

之間”.引例2某人計劃到外地某城市旅游,他可以選擇坐飛機(jī),乘火車或者自駕前往.花費分別是1000元,300元和1200元.而該名旅行者選擇三種交通工具的概率依次為:

.定義函數(shù)X為旅行的費用,則“

”等價于事件“坐火車”,

這一事件的概率記為

.這里“

”等價于事件“硬幣正面向上”,且

.引例1擲均勻的硬幣一次,結(jié)果為正面向上或反面向上.定義函數(shù)

為

我們注意到,一些隨機(jī)試驗的結(jié)果直接與數(shù)值有關(guān),例如引例2和引例3.在所討論的隨機(jī)試驗中,人們通過引入與實驗結(jié)果有關(guān)系的變量,以達(dá)到對隨機(jī)試驗更好的了解,雖然與數(shù)值沒有直接關(guān)系,但通過引入函數(shù)

X

,其結(jié)果也能與數(shù)值聯(lián)系起來.整體上對隨機(jī)試驗進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫,這樣的變量便稱為隨機(jī)變量.并從本節(jié)重點研究隨機(jī)變量相關(guān)概率及其分布.而引例1中拋硬幣的試驗的結(jié)果9.3.1隨機(jī)變量的概念定義9.11

定義在樣本空間上的單值實函數(shù)

,對于任意實數(shù)

x,集合

都是隨機(jī)事件,則稱

X

為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母

或希臘字母

等表示.隨機(jī)變量的引入,使隨機(jī)試驗中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.比如：引例3中,事件{桿正好從中點截開}可用

來表示.ΩX(ω)Rω2ω1隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生,是概率論發(fā)展史上一次重大的飛躍.對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及其概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,隨機(jī)變量按其取值情況分為離散型和非離散型.若隨機(jī)變量的取值是有限個或可列個,這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量,如引例1、引例2.在非離散隨機(jī)變量中,最常見的是連續(xù)型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的分類使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的探討.連續(xù)型隨機(jī)變量是指按一定的概率規(guī)律在某一個或若干個有限或無限區(qū)間上取值的隨機(jī)變量,如引例3.9.3.2離散型隨機(jī)變量(1)

（k

=1,2,3,…）；定義9.12

設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為

其相應(yīng)的概率(k=1,2,3,…)稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布,或分布律、分布列,簡稱為分布.隨機(jī)變量X的概率分布常用表格形式表示：其中概率

（k=1,2,3,…）有如下性質(zhì)：(2)

“X=1”表示射擊一次就中靶,則

“X=2”表示第一次射擊未中靶,且第二次射擊中靶,

例1某射擊運動員每次射擊中靶與否互不影響,每次射擊中靶概率p,X表示射擊直到擊中目標(biāo)為止的射擊次數(shù).求出

X的分布律．解

X為離散型隨機(jī)變量,可能的取值為正整數(shù),相應(yīng)的概率如下

“X=k”表示前k-1次射擊未中靶,且第

k次射擊中靶,由此的到X

的分布律為:k=1,2,3,…解(1)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì),有關(guān)系式:求:(1)常數(shù)

a

；(2)概率

及

.例2設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列是:(2)代入常數(shù)

a

,得

X的分布律為：a+a+2a=1,則a

=.兩點分布的分布律為:拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面,產(chǎn)品抽樣檢驗結(jié)果合格或不合格,子彈命中目標(biāo)是與否,這些試驗中隨機(jī)變量的共同特點是只有兩個取值,其分布列為：其中此時稱

服從參數(shù)為

的兩點分布或0-1分布．常見的離散型隨機(jī)變量有兩點分布和二項分布1.兩點分布例3一批種子的不發(fā)芽率為0.05,從中抽取一粒,隨機(jī)變量X

表示發(fā)芽的種子數(shù),則X為服從參數(shù)為0.05的兩點分布.新生兒性別男或女等等,將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次,

表示三次試驗中,正面出現(xiàn)的次數(shù).如何求

的分布律?(1)試驗在相同條件下重復(fù)進(jìn)行

次,如“將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次”的試驗是的貝努利概型：在

重獨立試驗中,如果每次試驗只有

和兩個結(jié)果,且在每次試驗中保持不變,2.二項分布這類問題涉及到獨立重復(fù)試驗．重獨立試驗是指:(2)各次試驗的結(jié)果是相互獨立的.相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型.則稱此類試驗為

重貝努利試驗,“拋骰子三次”的試驗仍可視為貝努利概型：試驗重復(fù)了三次,每次拋得每次拋擲只有正面和反面兩個結(jié)果.

的結(jié)果之間相互獨立,設(shè)

={拋得點數(shù)6}和

={未拋得點數(shù)6},此時每次拋擲只有

和

兩個結(jié)果.“三粒骰子拋擲一次”能否視為貝努力概型？記為

在

重貝努利試驗中,如果一次試驗事件

發(fā)生的概率是

,是二項展開式的第

項而得名.特別地,當(dāng)

時,二項分布就是兩點分布．二項分布是“

重貝努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)”這一隨機(jī)變量的分布列.表示事件

在

次試驗中發(fā)生的次數(shù),則的概率為此時,我們則稱

服從參數(shù)為,的二項分布,這時10個螺絲中次品的個數(shù)

.例4某工廠生產(chǎn)的螺絲的次品率為5%,每個螺絲是否為次品是相互獨立的.工廠將10個螺絲包成一包出售,并保證若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個次品即可退貨,求某包螺絲次品個數(shù)的分布律和售出螺絲的退貨率．解對10個一包的螺絲進(jìn)行檢驗,可以看成是獨立地進(jìn)行了10次試驗,設(shè)

A={該包螺絲被退回},則由于每個螺絲為次品的概率是0.05,解9個工人相互獨立的工作,可以看成是9重的貝努利概型.故需用電的工人數(shù)

.由于

,事實上,對于任意的

n,p

,二項分布都具有以下的性質(zhì):P(X=k)總是隨著k的增大而增大,可以證明,

P(X=k)在[(n+1)p]處取得最大值,此時的[(n+1)p]稱為二項分布的最可能值.例5在一個車間里有9個工人相互獨立地工作,且他們間歇地用電,若每個工人在1小時內(nèi)平均有12分鐘用電,問在1小時內(nèi)最可能有多少工人需要用電？則1小時內(nèi)最可能需要用電的工人為2人或者3人.由于每個工人一小時內(nèi)用電的概率為

,每個工人只有用電和不用電兩種狀態(tài),直到達(dá)到最大值,然后再隨著

k的增大而減小.如果[(n+1)p]為整數(shù),那么二項分布同時在[(n+1)p]-1處概率取得最大值.設(shè)X

表示答對的題目數(shù),則

.例6考試碰運氣是否靠譜.大學(xué)英語四六級是大學(xué)生英語能力水平的一種考試,學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)需完成包括聽力,閱讀,完形填空,翻譯,作文等.其中有大部分的選擇題.現(xiàn)在假設(shè)某次英語考試,除作文15分外,其余85分均為單項選擇題,每題1分,每題有4個選項.考試滿分為100分,及格分?jǐn)?shù)60分.這種考試方式使部分同學(xué)抱有僥幸心理,如果運氣不錯,說不定靠猜測可以通過考試.真是這樣嗎?解下面我們來算算靠運氣通過考試的可能性.必須答對51道以上.考慮作文的15分,按及格分60%的比例計算,85道選擇題85道選擇題可以看成85重的貝努利試驗,則及格的概率為所以努力學(xué)習(xí)才是通過考試的正確途徑!此概率非常的小,相當(dāng)于1000億個碰運氣的考生中,大概有0.874的人能夠通過考試,這顯然是幾乎不可能發(fā)生的事情.雙色球中頭獎的概率大概為1700萬分之一,頭獎的概率還要低．也就是說憑運氣通過該英語考試的概率比彩票中則稱X

為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱

為隨機(jī)變量

的概率密度函數(shù),簡稱密度函數(shù)或概率密度．9.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量定義9.13對于隨機(jī)變量

X,若存在一個非負(fù)可積函數(shù)

,使得對任意實數(shù)a

,b,性質(zhì)1

性質(zhì)2

(a<b)有由密度函數(shù)的定義可知,

具有下列兩個性質(zhì)：概率密度

的作用類似于離散型隨機(jī)變量的分布列,都是刻畫隨機(jī)變量取值的規(guī)律.

圖9-9圖9-10概率密度的幾何解釋下面從幾何的角度來解釋密度函數(shù)的意義:密度曲線位于x

軸上方,在直角坐標(biāo)系中畫出密度函數(shù)

的圖像,稱其為密度曲線,X

在任一區(qū)間[a,b]內(nèi)取值的概率等于以[a,b]為底,曲線為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e(如圖9-9),而

與x

軸之間的面積為1(如圖9-10)．由定義可知,對任意實數(shù)

a,有

P(X=

a

)=0

,從而有（2）在密度函數(shù)

的連續(xù)點處,分布函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)存在,并且有:（1）對于任意的實數(shù)

,有:定義9.14

設(shè)是一個隨機(jī)變量,x

是任意實數(shù),函數(shù)性質(zhì)2

,且性質(zhì)3

為右連續(xù)函數(shù).為了對離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)一的分析和研究,接下來進(jìn)一步引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念.稱為X

的分布函數(shù).密度函數(shù)

具有以下的基本性質(zhì):性質(zhì)1

單調(diào)不減.解由概率密度函數(shù)的性質(zhì)2,例6

若隨機(jī)變量

X具有概率密度,求

的值,并計算X

的分布函數(shù).則

是不可能事件,若

,若

,得.

于是則則綜上有若,例6中,隨機(jī)變量

X

的概率密度函數(shù)是，記為我們稱這樣的隨機(jī)變量X均勻分布的密度函數(shù)圖形如圖9-11所示.

圖9-11均勻分布在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，注意：若隨機(jī)變量

X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,則

A落在區(qū)間

[a,b]內(nèi)任意子區(qū)間

[c,d]上的概率只與[c,d]

的長度有關(guān),而與

[c,d]的位置無關(guān).例8還有什么簡易求解方法？故有例7

設(shè)電阻值R

是一個隨機(jī)變量,均勻分布在,求

R的概率密度,并計算R

落在900~1100Ω之間的概率.

解由題意,R的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量

X服從正態(tài)分布,9.3.4正態(tài)分布記作,

其中參數(shù)滿足.

如果隨機(jī)變量X

的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布是概率論中最重要的分布.在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中,很多隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.可以認(rèn)為服從正態(tài)分布.例如,測量誤差、彈著點、人的身高或體重、智商、某教學(xué)班的考試成績等等都19世紀(jì)前葉德國數(shù)學(xué)家高斯促進(jìn)了正態(tài)分布的推廣和應(yīng)用,所以正態(tài)分布也被稱為高斯分布.正態(tài)曲線以

為對稱軸,當(dāng)

時，取最大值

.固定

改變

值時,圖9-12正態(tài)曲線正態(tài)分布的密度函數(shù)圖形如圖9-12所示,稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布曲線的形態(tài)取決于密度函數(shù)中的兩個參數(shù)：曲線沿x

軸平移,而不改變其形狀,即

決定正態(tài)曲線的位置；固定

改變

的值時,圖形的形狀發(fā)生變化而位置不變，越大,圖形會變得越平坦,而

越小,圖形會變得越陡峭.故

決定正態(tài)曲線的陡緩程度．●●特別地,當(dāng)

時,稱X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作

,

分布函數(shù)分別用

和

表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

如圖9-13所示.

圖9-13為偶函數(shù),即

,最大值是

,以

為拐點,以x

軸為漸近線.其概率密度函數(shù)為和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為了便于計算正態(tài)分布的概率,人們編制了分布函數(shù)

的函數(shù)值表以供查閱.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了當(dāng)

時

的值.由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的對稱性,有隨機(jī)變量X

在區(qū)間[a,b]上的概率為:即因此,當(dāng)x<0時,可利用上式查表計算.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表例9設(shè)

,求：解(1)(2)(3)(4)一般的正態(tài)分布概率計算可以證明,若，則，這樣,所有的正態(tài)分布都可以此時其中線性代換稱為隨機(jī)變量

X的標(biāo)準(zhǔn)化.通過標(biāo)準(zhǔn)化后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來計算概率.例如：設(shè)求根據(jù)公式解(1)例10設(shè)

,求：(1)

(2)(3)(2)(3)例10的結(jié)果表明：正態(tài)分布隨機(jī)變量的取值落在區(qū)間

之外的可能性是非常小,3σ原則這就是著名的正態(tài)分布“3σ原則”.正態(tài)分布的取值落在區(qū)間

之內(nèi)幾乎是必然的,這在一次試驗中這幾乎不會發(fā)生.例11公共汽車的車門高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會不超過1%設(shè)計.設(shè)成年男子身高(單位:厘米)服從正態(tài)分布

,求車門的最低高度.查表得

,解設(shè)車門的高度為

a.根據(jù)成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會不超過1%知:即解得按照設(shè)計要求，公共汽車車門的高度至少為189厘米.應(yīng)用與實踐案例1(說明書的真實性)某廠家宣稱其生產(chǎn)的成人增高鞋墊有效率在97%以上.小劉得知此消息后立即購買了一副這樣的鞋墊．但使用一段時間之后,發(fā)現(xiàn)自己的身高沒有絲毫變化,很是疑惑.于是他隨機(jī)詢問了其他同樣購買這款產(chǎn)品的4人,結(jié)果有3人明確表示身高也沒有變化.小劉懷疑遇到黑心廠家,又怕廠家說自己只是運氣不好,恰恰就是那3%之列.小劉只能自認(rèn)倒霉嗎？對于小劉及他隨機(jī)詢問的人中,有4人明確表示產(chǎn)品沒有效果．由于購買者眾多,隨機(jī)選取的這5人相對人數(shù)較少,可以看成是有放回的抽樣,誤差不會太大．我們將涉及的5人看成5重貝努利試驗,則A={5人中有4人沒有療效}這一事件的概率為所以事件

A是小概率事件,且小概率事件在一次試驗中幾乎不會發(fā)生,但現(xiàn)在事件

A竟然發(fā)生了,我們有理由懷疑最初的正品率高達(dá)97%的宣傳,從而認(rèn)為小劉身高沒有變化不是運氣欠佳,而是廠家誤導(dǎo)消費者所致．案例2(軟件開機(jī)耗時頁面)電腦開機(jī)后,各殺毒軟件都會監(jiān)測開機(jī)耗時.右圖是大家非常熟悉的開機(jī)界面,告訴用戶開機(jī)所用的時間,并提示你的開機(jī)所用時間擊敗了全國百分之多少的電腦.圖9-14軟件工程師是怎么實現(xiàn)這個功能的呢？你可能會覺得它是這樣設(shè)計的：第一步：收集所有用戶的開機(jī)時間的數(shù)據(jù),排好序放在一個數(shù)據(jù)庫中；第二步：根據(jù)你的開機(jī)時間,找出你的排名,除以總用戶數(shù),就是你擊敗電腦占比.聽起來這樣的設(shè)計排名算法非常合理,但存在以下幾個漏洞：那這個功能究竟是如何設(shè)計的呢？實際中，軟件工程師們會收集盡量多的用戶的開機(jī)時間,然后查看開機(jī)時間可能服從的分布.一旦確定數(shù)據(jù)是正態(tài)分布之后,事情就變得非常簡單了.利用統(tǒng)計方法可以確定正態(tài)分布模型的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算相應(yīng)的占比即可.

假設(shè)已經(jīng)確定開機(jī)時間X

(單位：秒)服從正態(tài)分布，且

.有位用戶開機(jī)時間為38秒,他的擊敗電腦占比值是多少呢？1.電腦開機(jī)的時候并沒有連接網(wǎng)絡(luò),那就無法請求到其他所有用戶的開機(jī)數(shù)據(jù)；2.就算所有用戶的數(shù)據(jù),已經(jīng)下載到你本地,根據(jù)不完全統(tǒng)計,該殺毒軟件的用戶數(shù),估計在10億以上,超過10億行的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較統(tǒng)計,放在開機(jī)這個地方運行,恐怕不合乎邏輯,而且做過軟件開發(fā)的人都知道,這種同步數(shù)據(jù)的方式,非常令人頭疼.這表明該用戶的開機(jī)所用時間，擊敗了全國87.5%的電腦.第九章概率論基礎(chǔ)第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征引例1工人甲生產(chǎn)一種機(jī)器零件,生產(chǎn)過程中可能會產(chǎn)生廢品.表9-5為總結(jié)經(jīng)驗得到的工人甲的生產(chǎn)記錄表,記錄了甲生產(chǎn)的廢品數(shù)

及出現(xiàn)

個次品對應(yīng)的概率

.試問長期來看,工人甲每周的次品數(shù)平均是多少呢?情景與問題廢品數(shù)

0

1

2

3

0.67

0.260.05

0.02現(xiàn)在需要從中選拔一名運動員去參加比賽,哪位運動員的訓(xùn)練水平更高呢?引例2射擊運動員甲和乙,所得的環(huán)數(shù)

和

是隨機(jī)變量,并具有以下的分布律:

7

8

9

0.1

0.8

0.1

6789

100.10.20.40.20.1之前學(xué)習(xí)的密度函數(shù)和分布函數(shù),能夠非常完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征.然而,在很多實際問題中,確定隨機(jī)變量的分布并不容易,往往也不是必要的,我們只要知道它的某些特征即可.例如,評價兩個班級某門課程成績的好壞,我們關(guān)心的是哪個班的平均成績誰更高一些,而對成績具體服從什么樣的分布并不在意.引例1中工人甲每周的平均次品數(shù),比具體某次生產(chǎn)記錄更能反映工人的技術(shù)水平.引例2運動員的選拔中,教練更看重的指標(biāo)是成績的穩(wěn)定程度,而不是某一次射擊成績的好壞.這種本質(zhì)上由隨機(jī)變量的分布所確定,能刻畫隨機(jī)變量某些特征的確定的數(shù)值稱為隨機(jī)變量數(shù)字特征.本節(jié)便著手研究隨機(jī)變量最重要的兩個數(shù)字特征：期望與方差.

定義9.15設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

(k=1,2,3,…),則和數(shù)稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望或均值,記作,即9.4.1數(shù)學(xué)期望如在引例1中,工人甲每周平均生產(chǎn)的廢品數(shù)即

的平均值為一般地,如果函數(shù)

的數(shù)學(xué)期望存在,則當(dāng)X

的取值為有限時,計算和式

即可,此時數(shù)學(xué)期望一定存在.而當(dāng)X的取值為無限時,數(shù)學(xué)期望定義中的級數(shù)

要求絕對收斂.否則,數(shù)學(xué)期望不存在.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的加權(quán)平均值，它不在是隨機(jī)變量而是一個常數(shù).例1設(shè)X服從參數(shù)為p的兩點分布,求.

例2投資總會伴隨著風(fēng)險.某人有10萬元現(xiàn)金,想投資于某項目,預(yù)估成功的機(jī)會為30%,可得利潤8萬元；失敗的機(jī)會為70%,將損失2萬元.若存入銀行,同期利潤為5%,問是否應(yīng)該做此投資呢?解從收益的期望角度看,投資的平均收益高于銀行利息,解設(shè)此人的投資收益為X

,則

(萬元).而存入銀行的利息為(萬元).應(yīng)當(dāng)選擇投資,當(dāng)然此時要冒一定的風(fēng)險.例3甲和乙兩人商量的賭博規(guī)則是:拋擲兩粒均勻的骰子,如果同時出現(xiàn)兩個六點,甲付給乙30元,否則,乙付給甲1元.你認(rèn)為這樣的規(guī)則合理嗎?在一次投擲中,設(shè)甲的收益為X

,乙的收益為Y.

解如果一種規(guī)則公平合理,那凈利潤的期望應(yīng)該為零.甲盈利的期望為:乙盈利的期望為:結(jié)果表明,如果賭博36局,平均甲會贏5元,乙輸5元,顯然結(jié)果對甲更有利,規(guī)則并不合理.

X

1-30

Y

-130

X和Y的分布律分別為:定義9.16如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

,而積分

絕對收斂,如果

是隨機(jī)變量X的函數(shù),且積分

絕對收斂,則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的期望（或均值）．且為則

的數(shù)學(xué)期望存在,例4隨機(jī)變量X在

上服從均勻分布,求

和.

本例中的X稱為服從參數(shù)是

的指數(shù)分布.當(dāng)X

表示電子原件壽命時,

就是電子元件的平均壽命.顯然，當(dāng)

越小時平均壽命越長.解

例5隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.解因為X的密度函數(shù)為

則指數(shù)分布的應(yīng)用很廣,比如電子原件的使用壽命、電話通話時間、排隊的等待時間等都服從指數(shù)分布.推廣性質(zhì)1設(shè)C

為任意常數(shù),則性質(zhì)2設(shè)X是隨機(jī)變量,C為常數(shù),則性質(zhì)3設(shè)

是任意兩個隨機(jī)變量,則數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)對于多個隨機(jī)變量的獨立性可以根據(jù)它們的實際意義來判斷:當(dāng)每個隨機(jī)變量在取值時的概率互不影響時,稱它們相互獨立.性質(zhì)4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,則推廣設(shè)

相互獨立,則例6設(shè)

,利用期望的性質(zhì)求由例1知,.

解設(shè)X

表示n次獨立重復(fù)試驗中事件

A發(fā)生的次數(shù),即則

服從參數(shù)為P

的兩點分布,因為則由期望的性質(zhì)知:9.4.2方差即

的大小.定義

,稱為X

的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差．如果X

是離散型隨機(jī)變量,其分布列為

,如果X

是連續(xù)型隨機(jī)變量