高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 第一節(jié) 函數(shù)的概念

第一章函數(shù)第一章函數(shù)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念，也是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象。本章將介紹函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與初等函數(shù)的基本知識，為極限與連續(xù)的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。

第一節(jié)函數(shù)的概念

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第三節(jié)初等函數(shù)的概述

第四節(jié)MATLAB數(shù)學(xué)實驗（一）

第一節(jié)函數(shù)的概念

世間萬物，千變?nèi)f化。人們?yōu)榱肆私飧鞣N自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，必須研究其變化規(guī)律，為此，首先應(yīng)描述變量與變量之間的依從關(guān)系，這就導(dǎo)致“函數(shù)”概念的引入。

火車在行駛過程中，其行駛的路程與所花的時間是一種函數(shù)關(guān)系；放射性元素的質(zhì)量與衰變時間是一種函數(shù)關(guān)系；潛水員潛入海底時，隨著深度的增加，所受到的海水壓力也不斷增加，等等，這種變量與變量之間的依從關(guān)系不勝枚舉，它們都可用“函數(shù)”這個概念來描述。

學(xué)習(xí)這一節(jié)實際上是對中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)、總結(jié)和提高，從而達(dá)到溫故而知新的效果。第一節(jié)函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義定義1.1設(shè)是一個非空數(shù)集，如果對于中的每一個，按照某種對應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則此對應(yīng)關(guān)系稱為定義在集合上的一個函數(shù)，并把數(shù)與相應(yīng)的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系記為并稱為該函數(shù)的自變量，為函數(shù)值或因變量，為定義域。當(dāng)自變量取遍定義域中數(shù)值時，相應(yīng)的函數(shù)值

取值集合稱為函數(shù)

的值域。第一節(jié)函數(shù)的概念

表示什么集合？函數(shù)的圖像。動腦筋

想一想？第一節(jié)函數(shù)的概念

（2）函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)的兩要素，而函數(shù)的值域為派生要素。

說明：（1）“函數(shù)”表達(dá)了因變量與自變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系用字母“”來表示。因此

是一個函數(shù)符號，

絕不意味著“等于

乘以

”。它表示當(dāng)自變量取值為時因變量

的取值為

。例如，對于函數(shù)

，表示運(yùn)算：于是，

，，等等。第一節(jié)函數(shù)的概念

求函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式函數(shù)的分母不能為零；（2）偶次根式的被開方式必須大于或等于零；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（5）如果函數(shù)表達(dá)式中同時含有上述幾種函數(shù)，則應(yīng)取各部分

定義域的交集。（4）反正弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的定義域為；說明：常用不等式、區(qū)間或集合形式表示定義域。第一節(jié)函數(shù)的概念

例1.1設(shè)

，求

，

，

，

，

。例1.2

判斷下列各組函數(shù)是否相同？（1）

與（2）

與第一節(jié)函數(shù)的概念

例1.3求下列函數(shù)的定義域。（1）

（2）

（3）第一節(jié)函數(shù)的概念

例1.4設(shè)函數(shù)

，求

，

和

。第一節(jié)鄰域的概念

設(shè)是任一正數(shù)，表示實數(shù)集合開區(qū)間稱為點的

鄰域，其中點稱為鄰域中心，稱為鄰域半徑。去掉中心的開區(qū)間稱為點的去心鄰域，它表示實數(shù)集合

。鄰域第一節(jié)鄰域的概念

動腦筋想一想？（1）點的鄰域在數(shù)軸上如何表示？（2）點的去心鄰域在數(shù)軸上如何表示？第一節(jié)反函數(shù)的概念

定義1.3設(shè)是的函數(shù)，則由關(guān)系式而稱為直接函數(shù)。如果把看作自變量，看作的函數(shù)，所確定的函數(shù)稱為的反函數(shù)，通常用表示自變量，用表示函數(shù)，所以，往往把改寫成，稱為的反函數(shù)，記作求反函數(shù)的步驟：2.反函數(shù)第一節(jié)反函數(shù)的概念

例1.5

求函數(shù)

的反函數(shù)。解由，知，用

表示，得，所以函數(shù)的反函數(shù)是練習(xí)

求函數(shù)

的反函數(shù)。第一節(jié)反函數(shù)的概念

下列兩個函數(shù)的圖形畫在同一個平面直角坐標(biāo)系上，有什么特點？（1）與；（2）與；（3）與。（1）一樣；（2）、（3）關(guān)于直線對稱。動腦筋想一想？第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性（1）有界性則稱在內(nèi)有界。設(shè)函數(shù)的定義域為，數(shù)集

，如果存在正數(shù)，使得對于任意所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

動腦筋想一想？請給出兩個函數(shù)，一個在給定區(qū)間上有界，另一個在給定區(qū)間上無界的例子。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性（2）單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域為，，任取，且，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的；如果任取，且，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減少的。

如果函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的（或單調(diào)減少的），則稱函數(shù)是區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的性質(zhì)，叫做函數(shù)的單調(diào)性。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

動腦筋想一想？請給出兩個函數(shù)，一個在給定區(qū)間上單調(diào)增加，另一個在給定區(qū)間上單調(diào)減少的例子。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

例1.6用定義判斷函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

（3）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱（即若，必有），設(shè)為，其中，對于任意一個，如果恒有，則稱為偶函數(shù)；如果恒有

，則稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

動腦筋想一想？

請給出兩個函數(shù)，一個在給定區(qū)間上是奇函數(shù)，另一個在給定區(qū)間上是偶函數(shù)的例子。第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

例1.7判斷函數(shù)的奇偶性

。（1）

（2）第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

（4）周期性恒成立，則稱為周期函數(shù)，其中叫做函數(shù)的周期，通常周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期。設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在正數(shù)，使得對于任意的，都有，且第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

動腦筋想一想？1.請給出兩個函數(shù)，一個在定義域內(nèi)是周期函數(shù)，另一個在定義域內(nèi)不是周期函數(shù)的例子。2.周期函數(shù)一定有最小正周期嗎？第一節(jié)函數(shù)的幾種屬性

升學(xué)直通車

1.函數(shù)

的定義域是（

）（A）[-2,2]（B）(-2,2)（C）(-2,2]（D）[-2,2)2.函數(shù)

在定義域內(nèi)是（

）（A）不確定

（B）偶函數(shù)

（C）非奇非偶函數(shù)

（D）奇函數(shù)小結(jié)本次課主要介紹了函數(shù)的概念，包括函數(shù)的定義及定義域求法，反函數(shù)的概念，