（講評用卷）2024年河南鄭州一檢·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南鄭州一檢·數(shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)的相反數(shù)為（）A．-3 B．3C．-13

D．1.A【解析】由圖可得，點A所表示的數(shù)為3，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)的相反數(shù)為-3.2.硯臺與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具．如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺，它的俯視圖是（）A．B．C．D．2.C【解析】從上邊看，可得如圖：．3.中原熟，天下足．處于中原的河南一直是我國重要的糧食大省，最近幾年糧食總產(chǎn)量更是連續(xù)突破1300億斤，為保證國家糧食安全做出了突出貢獻．數(shù)據(jù)“1300億”用科學記數(shù)法表示為（）A．1.3×1011 B．1.3×1010C．0.13×1012 D．0.13×10103.A【解析】1300億＝130000000000＝1.3×1011．4.甲、乙兩個學校統(tǒng)計男女生人數(shù)，分別繪制了扇形統(tǒng)計圖（如圖），下列說法正確的是（）A．甲校的男生人數(shù)比乙校的男生人數(shù)多B．甲、乙兩個學校的人數(shù)一樣多C．乙校的女生人數(shù)比甲校的女生人數(shù)多D．甲校的男女生人數(shù)一樣多4.D【解析】因為甲、乙兩個學校的總人數(shù)沒有告訴，所以通過扇形圖不能判斷甲、乙兩個學校的人數(shù)一樣多，故選項B錯誤；由于甲、乙兩個學校的總人數(shù)不確定，通過扇形圖不能判斷甲校的男生人數(shù)比乙校的男生人數(shù)多，乙校的女生人數(shù)比甲校的女生人數(shù)多，故選項A、C均錯誤；由扇形圖知，甲校男、女生各占總人數(shù)的50%，甲校的男女生人數(shù)一樣多，故選項D正確．5.如圖所示，直線a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，則∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°5.C【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∴∠1=∠DBC＝∠A+∠2＝28°+31°＝59°．6.對任意整數(shù)n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除6.B【解析】∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），∴對任意整數(shù)n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一個因數(shù)，∴對任意整數(shù)n，（2n+1）2﹣25都能被4整除．7.如圖，點A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點，∠ABD＝70°，C為劣弧BD上一點，則∠BCD的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°7.C【解析】∵點A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點，∴AB＝AD，∵∠ABD＝70°，∴∠ADB＝∠ABD=70°，∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠C＝180°﹣∠A＝140°．8.一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形．已知BC＝6

m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（）A．（4+3sin

α）m B．（4+3tan

α）mC．（4

+3sin

α）m D8.B【解析】如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵它是一個軸對稱圖形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD

=12BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC

=ADBD，∴AD＝BD?tanα＝3tanα

m．∴房頂A離地面EF的高度＝AD9.如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，點H、G分別是邊DC、BC上的動點，連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF，則EF的最小值為（）A．2B．3

C．1D．39.D【解析】如解圖，連接AG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵點E、F分別是AH、GH的中點，∴EF是△AGH的中位線，∴EF

=12AG，當AG最小時，EF有最小值，當AG⊥BC時，AG最小，則∠BAG＝30°，此時BG

=12AB＝1，AG

=3BG

=3，∴EF

=12AG

=解圖10.植物研究者在研究某種植物1～5年內的植株高度時，將得到的數(shù)據(jù)用如圖直觀表示．現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)選用函數(shù)模型來描述這種植物在1～5年內的生長規(guī)律．若選擇y＝ax2+bx+c，則a

0，b

0；若選擇函數(shù)y

=ax+b，則a

0，b

A．＜，＞，＜，＞ B．＜，＞，＞，＜ C．＞，＜，＜，＞ D．＞，＞，＜，＜10.A【解析】若選擇y＝ax2+bx+c，由函數(shù)圖象可知，此拋物線的開口向下，對稱軸x

=?b2a＞0，∴a＜0，b＞0；若選擇函數(shù)y

=ax+b，由函數(shù)圖象可知，將反比例函數(shù)y

=ax（a＜0）的圖象從第四象限向上平移b個單位即可得到函數(shù)y

=ax+b的二、填空題(每小題3分，共15分)11.寫出一個大小在2和20之間的整數(shù)是

．11.2（答案不唯一）．【解析】∵

1＜2＜4，16＜20＜25，即

1＜212.魚缸里飼養(yǎng)A、B兩種魚，A種魚的生長溫度x℃的范圍是20≤x≤28，B種魚的生長溫度x℃的范圍是19≤x≤25，那么魚缸里的溫度x℃應該控制在

范圍內．12.20≤x≤25【解析】由題意得

20≤x≤2819≤x≤25，解得20≤x≤25，∴魚缸里的溫度x13.小明筆袋里有兩支紅筆和兩支黑筆（4支筆的款式相同），上課做筆記時，他隨機從筆袋中抽出兩支筆，剛好是一紅一黑的概率是

．13.2【解析】記兩支紅筆為：紅1，紅2，兩支黑筆為：黑1，黑2，畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的情況，其中剛好是一紅一黑的情況有8種，∴P（抽出的筆剛好是一紅一黑）

=814.如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，AB的延長線交直線CD于點E，連接AC、BC．若∠ACD＝60°，AC

=3，則BE的長度是

14.1【解析】如圖，連接OC，∵CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACO＝∠OCD﹣∠ACD＝30°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°，∴∠A＝∠E＝30°，∴AC＝CE

=3在Rt△COE中，CO＝CE?tan30°

=3×∴OE＝2CO＝2，∵OB＝OC＝1，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣1＝1，∴BE的長度是1.15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D，E分別是邊AB、AC的中點，連接DE．將△ADE繞點D按順時針方向旋轉α（0°≤α≤90°），點A、E的對應點分別為點G、F，GF與AC交于點P．當直線GF與△ABC的一邊平行時，CP的長為

．15.12或

【解析】根據(jù)題意，將△ADE繞點D按順時針方向旋轉α（0°≤α≤90°）得到△GDF，即△GDF≌△ADE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5．∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AD

=12AB

=52，AE

=12AC＝2，DE

=12BC

=32，當GF∥AB時，如圖①，∴∠ADG＝∠DGP，∠A＝∠GPA，∵△GDF≌△ADE，∴∠A＝∠DGP，∴△MDA和△MPG均為等腰三角形，且MD＝MA．MP＝MG，∴AP＝AM+MP＝MD+MG＝DG，由△GDF≌△ADE得到DG＝AD

=52，∴AP=

52.

則CP＝AC﹣AP＝4

?52=32；當GF∥BC時，如圖②，∵DE∥BC，∴GF∥DE，∵∠C＝90°，∴∠EPF＝90°，∠AED=∠GFD=90°，∴EP∥DF，∴四邊形DFPE是平行四邊形，∵DE＝DF，∠DFP＝90°，∴?DFPE是正方形，∴EP＝DF＝DE

=32，∵EC

=12AC＝

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.（1）計算：

5?

（2）化簡：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）2．16.解：（1）原式

=15+

＝1

15（2）原式＝2x2﹣2x﹣（x2﹣2x+1）

＝2x2﹣2x﹣x2+2x﹣1

＝x2﹣1．17.中小學午餐配送是鄭州教育的“暖心服務”工程．某校午餐原來由甲公司配送，為了提高飯菜質量，新學期午餐由乙公司配送．學生會為了解用餐學生對甲、乙兩家公司配送飯菜的滿意情況，組織學生對兩家公司的飯菜質量進行分數(shù)評價（滿分為10分）．學生會隨機抽取了10位學生的評價分數(shù)：學生A學生B學生C學生D學生E學生F學生G學生H學生I學生J甲公司76769798109乙公司65878889810學生會同學在進行數(shù)據(jù)分析時首先計算了各公司得分的平均數(shù)：甲公司7.8分；乙公司7.7分．（1）為了能夠更加全面、客觀地對甲、乙兩家公司配送飯菜的滿意情況進行評價，你認為還需要了解中位數(shù)、眾數(shù)、方差等中的哪些統(tǒng)計量？請至少選擇一個你認為合適的統(tǒng)計量進行數(shù)據(jù)分析；（2）你認為用餐學生對哪家公司的飯菜質量更加滿意，為什么？17.解：（1）還需要了解方差，甲公司方差

=110[（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（10﹣7.8）2+（9﹣7.8）2]＝乙公司方差

=110[（6﹣7.7）2+（5﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（7﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（9﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（10﹣7.7）2]＝∵1.76＜1.81，∴甲公司配送飯菜的滿意情況波動更小；（2）∵7.8＞7.7，∴用餐學生對甲公司的飯菜質量更加滿意（言之有理即可）．18.如圖，正比例函數(shù)y＝k1x的圖象與反比例函數(shù)

y=k2x的圖象的一個交點是（（1）求出這兩個函數(shù)的表達式，并直接寫出這兩個函數(shù)圖象的另一個交點坐標；（2）寫出使反比例函數(shù)大于正比例函數(shù)的x的取值范圍；（3）點A（2，y1）在正比例函數(shù)的圖象上，點B（2，y2），點C（﹣2，y3），點D（﹣3，y4）都在反比例函數(shù)y

=k2x的圖象上，比較y、y2、y3、y4的大小關系，并用“＜18.解：（1）∵正比例函數(shù)y＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象的一個交點是（∴3＝k1，3

=k∴k1＝3，k2＝3，∴正比例函數(shù)的表達式為y＝3x，反比例函數(shù)的表達式為y

=3∵正比例函數(shù)y＝k1x的圖象與反比例函數(shù)

y=k2x的圖象的一個交點是（∴這兩個函數(shù)的圖象的另一個交點坐標為（﹣1，﹣3）；（2）由圖象可知，使反比例函數(shù)大于正比例函數(shù)的x的取值范圍是x＜﹣1或0＜x＜1；（3）觀察圖象可知，y1、y2、y3、y4的大小關系為y3＜y4＜y2＜y1．19.請你完成命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明．（提示：證明命題應首先依據(jù)命題畫出幾何圖形，再寫出“已知”“求證”，最后寫出證明過程．）19.已知：△ABC中，AB＝AC，BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線．求證：BF＝CE，即等腰三角形的兩底角的平分線相等．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE，即等腰三角形兩底角的平分線相等．20.2024年植樹節(jié)來臨之際，某學校計劃采購一批樹苗，參加“保護黃河，遠離霧霾”植樹節(jié)活動．已知每棵甲種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元，用400元購買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用300元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）學校決定購買甲、乙兩種樹苗共100棵，實際購買時，甲種樹苗的售價打九折，乙種樹苗的售價不變．學校用于購買兩種樹苗的總費用不超過3200元，最多可購買多少棵甲種樹苗？20.解：（1）設甲種樹苗每棵的價格是x元，則乙種樹苗每棵的價格是（x﹣10）元，根據(jù)題意得

400x解得x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，也符合題意，∴x﹣10＝40﹣10＝30，∴甲種樹苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；（2）設購買m棵甲種樹苗，根據(jù)題意得：40×0.9m+30（100﹣m）≤3200，解得m≤33

13∵m為整數(shù)，∴m最大取33，∴最多可購買33棵甲種樹苗．21.如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC沿直線BC平移到△DCE的位置，連接BD，交AC于點O．（1）線段BD與AC的數(shù)量關系是BD∶AC＝

；（2）判斷BD與AC的位置關系，并說明理由；（3）請在圖中連接AD，則四邊形ABCD一定是菱形嗎？為什么？21.解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵將△ABC沿直線BC平移到△DCE的位置，∴△ABC≌△DCE，△DCE是等邊三角形，∴DC＝CE＝DE，∠CDE＝∠DCE＝∠E＝60°，∴CB＝CD＝AC＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠BDE＝∠CDB+∠CDE＝90°，∴BD

=3DE∴BD

=3AC∴BD∶AC

=3∶1（2）BD⊥AC，理由如下：由（1）知∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB＝90°，∴BD⊥AC；（3）四邊形ABCD一定是菱形，理由如下：如圖，連接AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵將△ABC沿直線BC平移到△DCE的位置，∴AB＝CD，∠DCE＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，AC＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝CD＝AC，∴AB＝BC＝AC＝AD＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．22.“詩圣”杜甫出生在鄭州鞏義市筆架山下的窯洞里，窯洞是黃土高原、黃河中游特有的民居形式．如圖，某窯洞口的截平面下部為矩形EFGH，上部為拋物線．已知下部矩形的長為4米，寬為2米，窯洞口的最高點P離地面EF的距離為4米．（1）請在圖中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢懗鯬點的坐標

；（2）求（1）中所建坐標系中拋物線的表達式；（3）若在窯洞口的上部安裝一個矩形窗戶ABCD（窗戶的邊框忽略不計），使得點A、B在下部矩形的邊上，點C、D在拋物線上，且AB＝2BC，那么這個窗戶的寬BC為多少米？22.解：（1）以H為原點，HG所在直線為x軸，EH所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖：∵窯洞口的最高點P離地面EF的距離為4米，矩形的長EF為4米，寬GF為2米，∴P點的坐標為（2，2）；（2）根據(jù)題意，拋物線頂點為（2，2），且經(jīng)過點（0，0），設拋物線的表達式為y＝a（x﹣2）2+2，將（0，0）代入得0＝4a+2，解得a

=?∴y

=?12（x﹣2）2+2

=?1∴拋物線的表達式為y

=?12x2（3）設D（m，

?12m2+2m），則AD

=?12m2+2m＝BC，由圖可知，0∵AB＝2BC，∴AB＝2（

?12m2+2m）＝﹣m2+4∵m+（﹣m2+4m）＝﹣m2+5m，∴C（﹣m2+5m，

?12m2+2把C（﹣m2+5m，

?12m2+2m）代入y

=?12x2+2x得

?12m2+2m

=?12（﹣m2+5m∴m2﹣4m＝（﹣m2+5m）2﹣4（﹣m2+5m），∴m（m﹣4）＝m（m﹣5）（m﹣1）（m﹣4），∴m（m﹣4）[1﹣（m﹣5）（m﹣1）]＝0，∴m（m﹣4）（﹣m2+6m﹣4）＝0，∴m＝0或m﹣4＝0或﹣m2+6m﹣4＝0，解得m＝0（不符合題意，舍去）或m＝4（不符合題意，舍去）或m＝3

?5或m＝3

+5（不符合∴D（3

?5，﹣1

+∴BC＝AD＝﹣1

+5∴窗戶的寬BC為（﹣1

+523.數(shù)學社團活動課上，同學們研究一個問題：任意給定一個矩形，是否存在一個新矩形，它的周長和面積分別是原矩形周長和面積的

12【階段一】同學們認為可以先研究給定矩形為正方形的情況，即是否存在一個正方形，其周長和面積都為原正方形周長和面積的

12思路一：設給定的正方形的邊長為a，則其周長為4a，面積為a2．若新正方形的周長是原正方形周長的

12，則新正方形的邊長為

12a，此時新正方形的面積是①思路二：正方形是相似圖形，周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方，如果新正方形的面積是原正方形面積的

12，則新正方形與原正方形相似比為1：

2，此時新正方形周長應是原正方形周長的②

結論：③

（“存在”或“不存在”）一個新正方形，其周長和面積都為給定正方形周長和面積的

12拓展：除正方形外，上面的結論對哪種圖形也成立？請寫出一種圖形．④

【階段二】同學們對矩形（不包括正方形）的情況進行探究．活動一：從特殊的矩形入手，如果已知矩形的長和寬分別為4和2，是否存在一個新矩形，它的周長和面積分別是原矩形周長和面積的

12分析：設新矩形長和寬分別為x，y，根據(jù)題意，得

x+思路一：消去未知數(shù)y，得到關于x的方程，根據(jù)方程的解的情況解決問題．思路二：借助一次函數(shù)l1：y＝﹣x+3與反比例函數(shù)l2：y

=4