（詳解詳析）2024年河南洛陽(yáng)二模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁(yè)（共頁(yè)）2024年河南洛陽(yáng)二?！?shù)學(xué)詳解詳析一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。1.D【解析】∵﹣5＜﹣1＜0

＜5，∴最大的數(shù)是

52.B3.C【解析】54.32萬(wàn)＝543200＝5.432×105.4.D【解析】如圖，∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝35°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝35°+25°＝60°．5.B【解析】A.不是同類項(xiàng)，不能合并，故錯(cuò)誤，不符合題意；B.(3a)2＝9a2，正確，符合題意；C.(a+b)2＝a2+2ab+b2，故錯(cuò)誤，不符合題意；D.a6÷a2＝a4，故錯(cuò)誤，不符合題意．6.C【解析】x?2＜3①3x+1≥2x②，解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥7.C【解析】根據(jù)題意，得b2-4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，解得m≤3.8.D【解析】如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD

=12∠ABC＝30°，∴BO

=3AO，∵

AOB9.D【解析】∵慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，∴快馬追上慢馬時(shí)，慢馬行了（x+12）天．根據(jù)題意得，240x＝150（x+12）．10.A【解析】如圖所示，當(dāng)S＝6時(shí)，DP

=6，∵∠C＝90°，CD

=2，∴CP＝2，即BC＝2，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，6)，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)，∴設(shè)拋物線的解析式為S＝a(t﹣4)2+2（a≠0），∴6＝4a+2，解得，a＝1，∴s＝(t﹣4)2+2．當(dāng)s＝18時(shí)，18＝(t﹣4)2+2，解得t1＝0（不合題意，舍去），t2＝8，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為8，∴AB＝8﹣2＝二、填空題（每小題3分，共15分）11.x≥5【解析】由題意得x﹣5≥0且x≠0，解得x≥5.12.1【解析】a2a+13.1【解析】設(shè)《歌唱祖國(guó)》、《我的祖國(guó)》、《走進(jìn)新時(shí)代》、《十送紅軍》分別對(duì)應(yīng)A、B、C、D，畫樹狀圖如圖所示，可得一共有12種等可能的結(jié)果，其中該班恰好選中前面兩首歌曲的可能有2種，∴該班恰好選中前面兩首歌曲的概率為

21214.2【解析】如圖，連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴∠DCO＝90°，∵∠ACD＝120°，AO=CO，∴∠A＝∠OCA＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC=CDOC=tan60°，CD＝23，∴

23OC=3，解得OC＝2，∴陰影部分的面積＝S△OCD15.1或9【解析】如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在DF上時(shí)，連接AF，∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），∴BF＝EF，設(shè)BF＝EF＝x，則CF＝5﹣x，由旋轉(zhuǎn)得，AE＝AB＝3，∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AD＝5，∴DE=AD2?AE2=4，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，∴(5﹣x)2+32＝(x+4)2，解得x＝1，∴BF＝1；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在FD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，EF＝BF，DE＝4，設(shè)EF＝BF＝a，則DF＝a﹣4，CF＝a﹣5，∴（a﹣5）2+32＝（a﹣4）2，解得a＝9，∴BF＝9，綜上所述，

答案圖①

答案圖②三、解答題（本大題共8小題，共75分）16.解：（1）

|

=3

=3（2）（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）

＝4a2﹣b2﹣a2+3ab

＝3a2﹣b2+3ab．17.解：（1）149，160；【解法提示】（1）乙班10名男生的跳繩成績(jī)按從小到大排序?yàn)?00

132

133

146

146

152

164

173

197

210，∵中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為146和152，∴中位數(shù)a

=146+1522=149，∵甲班10名男生的跳繩成績(jī)中，160出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴（2）甲班成績(jī)較好，∵甲、乙兩班樣本的平均數(shù)相同，但甲班的中位數(shù)均高于乙班，∴甲班成績(jī)較好．（3）

240×答：該校滿分人數(shù)約為132人．18.解：（1）如圖①即為所作；答案圖①（2）證明：如圖②，連接OE，OF，∵OP是⊙O′的直徑，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∵OE、OF為⊙O的半徑，∴PE，PF是⊙O的切線；答案圖②（3）65°或115°；【解法提示】如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧EF上時(shí)，連接DE、DF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF+∠EPF＝180°，∵∠EPF＝50°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF

=12∠EOF＝65°；如圖④，當(dāng)D′在劣弧EF上時(shí)，連接D'E、D'F，∵∠ED′F+∠EDF＝180°，∴∠ED′F＝180°﹣65°＝115°，綜上，∠EDF的度數(shù)為65°或

答案圖③

答案圖④19.解：（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)(3，4)，四邊形OABC是菱形，∴C（5，0），B（8，4），∴

D(∴k＝13．（2）如圖，∵E在AB的垂直平分線上，∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為112將x=112

代入y

=13∴

E(過(guò)A作AH⊥x軸于H，AB的垂直平分線交x軸于F，則S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE

=120.解：小聰說(shuō)法不正確，理由如下，如圖，過(guò)C作CD⊥AB

于D，垂足為D，由題意得，∠CAD＝90°﹣53°＝37°，∠CBD＝45°，AC＝5km，在Rt△ACD中，CD＝AC?sin37°≈5×0.6＝3（km），AD＝AC?cos37°≈5×0.8＝4（km），在Rt△BCD中，BD＝CD＝3km，AB＝AD+BD＝7km，∴北岸健康步道的長(zhǎng)度為

12×73π×3

=72π

≈7∵11＞10，∴小聰?shù)恼f(shuō)法不正確．21.解：（1）設(shè)A飾品每件的進(jìn)價(jià)是a元，B飾品每件的進(jìn)價(jià)是b元．根據(jù)題意，得

9a解得

a∴A飾品每件的進(jìn)價(jià)是20元，B飾品每件的進(jìn)價(jià)是25元．（2）①購(gòu)進(jìn)B種飾品的數(shù)量是（400﹣x）件．根據(jù)題意，得150≤x≤300．當(dāng)150≤x≤250時(shí)，y＝（30﹣20）x+（30﹣25）（400﹣x）＝5x+2000；當(dāng)250＜x≤300時(shí)，y＝（30﹣20）×250+（30﹣20﹣3）（x﹣250）+（30﹣25）（400﹣x）＝2x+2750；∴y

=5②當(dāng)150≤x≤250時(shí)，y＝5x+2000，∵5＞0，∴y隨x的增大而增大，∵150≤x≤250，∴當(dāng)x＝250時(shí)，y值最大，y最大＝5×250+2000＝3250；當(dāng)250＜x≤300時(shí)，y＝2x+2750，∵2＞0，∴y隨x的增大而增大，∵250＜x≤300，∴當(dāng)x＝300時(shí)，y值最大，y最大＝2×300+2750＝3350；∵3350＞3250，∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種飾品300件、B種飾品100件時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)是3350元．22.解：（1）（3，3）；【解法提示】（1）∵點(diǎn)G（﹣3，﹣3）是反比例函數(shù)

y1=kx圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴﹣3

=k?3，解得k＝9，∴反比例函數(shù)為y1

=9x，令y1＝x，則x

=9x，解得x＝3或x＝﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，∴該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y

=?12x2+x

+92=?1∴拋物線的頂點(diǎn)C（1，5），在y

=?12x2+x

+92中，令y＝x得x

=?1解得x＝3或x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）﹣1＜m＜2；【解法提示】在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，解得x＝m或x＝m+1，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象的“夢(mèng)之點(diǎn)”為（m，m）或（m+1，m+1），∵0＜x＜2，∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，∴當(dāng)﹣1＜m＜2時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”.23.解：（1）①CG＝CB＝CD，②（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③

23a【解法提示】（1）根據(jù)證明過(guò)程得：①CG＝CB＝CD，②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，即（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③解方程得x

=23a，即DH

=（2）結(jié)論正確；理由：∵先將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開鋪平，折痕為EF，∴E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴BE

=12∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BEG∽△DCG，∴

BG∴

BG∵M(jìn)N∥AD，∴

BM∴點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)；【拓展提升】設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，如圖①，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝OC

=12AC＝4，OB＝OD

=12BD＝3，AC⊥BD，AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠ABD在Rt△AOB中，AB

=OA∴AD＝AB＝5，分兩種情況：①當(dāng)BE

=13BD＝2時(shí)，則DE＝如圖②，連接

AD'，AE，D′E，D'E與AB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作

AG⊥D′E

于點(diǎn)G，由對(duì)稱性可知，D′E＝DE＝4，AD′＝AD＝5，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠AED＝∠AEF，∵∠AD′F＝∠EBF，∠AFD'＝∠EFB，∴△AFD′∽△EFB，∴

EF設(shè)EF＝2x，則AF＝5x，在△AEO和△AEG中，

∠∴△AEO≌△AEG（AAS），∴OE＝EG＝1，∴GF＝2x﹣1，AG＝AO＝4，在Rt△AGF中，AF2＝AG2+GF2，即（5x）2＝42+（2x﹣1）2，解得x1＝﹣1

（舍），x2

=17∴EF＝2x

=34∴D′F＝D′E﹣EF＝4

?34②如圖③，當(dāng)DE

=13BD＝2時(shí)，連接AD′，AE，AD'與BD交點(diǎn)G，延長(zhǎng)ED′交BC于由對(duì)稱性可知，D′E＝DE＝2，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠EGD'＝∠AGB，∴△EGD'∽△AGB，∴