天津市北辰區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)北辰區(qū)2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)說(shuō)明：本試卷共有選擇、填空、解答三道大題，共計(jì)120分，考試時(shí)間：100分鐘一、選擇題（本大題共9個(gè)小題，每小題4分，共36分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把它選出并填在答題卡上）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的規(guī)則得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不動(dòng)，豎坐標(biāo)變成相反數(shù)，所以坐標(biāo)是.故選：B2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，由，，得到，所以直線的傾斜角為，故選：C.3.在四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】.故選：C.4.過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（）．A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)與直線的位置關(guān)系求出斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：D5.若圓與圓外切，則（）A.32 B.26 C.18 D.【答案】A【解析】【分析】若兩圓相外切，則圓心距等于半徑之和，即可求解.【詳解】由得圓心，，由得，圓心，，因?yàn)閮蓤A向外切，所以，即，可得，解得，故選：A6.已知是空間的一組基底，其中，，．若，，，四點(diǎn)共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算和相等向量的概念計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：C7.若直線與平行，則與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用直線一般方程的平行公式，求解得，再利用平行線的距離公式，即得解【詳解】由題意，直線與平行，故當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線重合，舍去.故此時(shí)與間的距離故選：C8.設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，數(shù)形結(jié)合得到，求出答案.【詳解】，，數(shù)形結(jié)合知，直線的斜率需滿足，即.故選：D9.若圓上僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，分別與圓相交、相離即可得的取值范圍．【詳解】作與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為，較近的一條到原點(diǎn)的距離為，又圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，兩條平行線中與圓心較近的與圓有2個(gè)公共點(diǎn)，與圓心較遠(yuǎn)的直線與圓無(wú)交點(diǎn)即可，如圖，由此可得圓的半徑，故選：B二、填空題．（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．請(qǐng)將正確答案填在答題卡上）10.已知向量，，，則________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)向量的模求出，再有數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得解.【詳解】由，可知，解得，所以，故答案為：611.已知橢圓的焦距是4，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)軸或軸上分類討論．【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得（舍去），綜上所述，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案為：.12.圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長(zhǎng).【詳解】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離，圓的半徑為，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.13.直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為_(kāi)_______．【答案】或【解析】【分析】考慮截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求出直線方程.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，故直線的方程為或.故答案為：或14.如圖，隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，假設(shè)貨車的最大寬度為，那么要正常駛?cè)朐撍淼溃涇嚨南薷邽槎嗌賍_________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出如圖的貨車截面圖矩形，在圓上時(shí)，貨車最高，求出的長(zhǎng)即得．【詳解】如圖，矩形是貨車截面圖，，則，故答案為：．15.已知圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．【答案】或【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，要使圓C的面積最小，則半徑要最小，求出半徑最小時(shí)的值，從而可求得圓的圓心與半徑，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可得解.【詳解】解：由圓，得，當(dāng)時(shí)，圓C的半徑最小為，即面積最小，所以當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，圓的方程為，圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓C相切，所以圓心到直線的距離，解得或.故答案為：或.三、解答題．（本大題共5個(gè)小題，共60分）16.已知圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的值；（3）過(guò)點(diǎn)引圓的切線，求切線的方程．【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及勾股定理求解弦長(zhǎng)；（3）分類討論然后結(jié)合圓心到直線的距離為半徑求解；【小問(wèn)1詳解】由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，所以.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，為過(guò)點(diǎn)的圓C的切線.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，=2，解得，所以.綜上所述：切線的方程為和．17.如圖，平面，，，，，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】點(diǎn)到平面的距離.18.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸長(zhǎng)是焦距的倍．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓相交，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題干條件求出，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，列方程組求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，，得到，由短軸長(zhǎng)是焦距的倍，得，又，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，故該直線為，由，消可得，故，由弦長(zhǎng)公式，.【小問(wèn)3詳解】顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對(duì)稱性，，與題設(shè)矛盾），設(shè)Ax1,y1，B由，消得，由韋達(dá)定理可得：①，，又，則，故②，由①②得，，故，即，化簡(jiǎn)可得，解得.故直線為.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用中位線得出線線平行，可得出面面平行，由面面平行的性質(zhì)證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角的正弦即可；（3）設(shè)，利用向量法求直線與直線所成角即可得解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，又因平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】平面PAC平面，平面平面AC，平面，平面.平面，，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，所以，所以，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，且，所以，所以，解得，所以.20.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與坐標(biāo)軸不垂直，與曲線交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①證明：動(dòng)直線恒過(guò)軸上的某個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求面積的最大值．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)；②【解析】【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組，直接求出，即可求解；（2）①設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)題設(shè)可得，即可求解；②將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，利用①中結(jié)果，通過(guò)換元得到，再利用基本