2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想方法訓(xùn)練4轉(zhuǎn)化與化歸思想理含解析

思想方法訓(xùn)練4轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法訓(xùn)練第8頁(yè)

一、實(shí)力突破訓(xùn)練1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>2 B.a<-2C.a>2或a<-2 D.-2<a<2答案:C解析:M∩N=?等價(jià)于方程組y=x把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①由題易知一元二次方程①無(wú)實(shí)根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.已知e1,e2是兩個(gè)單位向量,且夾角為π3,則e1+te2與te1+e2的數(shù)量積的最小值為()A.-32 B.-36 C.答案:A解析:∵(e1+te2)·(te1+e2)=te12+(t2+1)e1·e2+te22=t|e1|2+(t2+1)|e1||e2|cosπ3+t|e2|2∴當(dāng)t=-2時(shí),可得最小值為-33.設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0,π4,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為A.-1,-12 BC.[0,1] D.答案:A解析:設(shè)P(x0,y0),傾斜角為α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-12,故選A4.(2024北京,理7)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m改變時(shí),d的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:設(shè)P(x,y),則x=cosθ,y=sinθ,即點(diǎn)P在單位圓上,點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離可轉(zhuǎn)化為圓心(0,0)到直線x-my-2=0的距離加上(或減去)半徑,所以距離最大為d=1+|-2|1+m2=1+21+m2.當(dāng)5.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿意f(1)=3,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),則不等式f(x)<2x+1的解集為()A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:設(shè)F(x)=f(x)-2x-1,則F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是減函數(shù).又F(1)=f(1)-2-1=0,即當(dāng)x>1時(shí),F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集為(1,+∞),故選A.6.已知函數(shù)f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg2))=()A.-5 B.-1 C.3 D.4答案:C解析:因?yàn)閘g(log210)+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lglg10lg2×lg2=lg1=0,所以lg(lg2)=-lg(log設(shè)lg(log210)=t,則lg(lg2)=-t.由條件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

答案:(-13,13)解析:若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,則需圓心(0,0)到直線的距離d滿意0≤d<1.∵d=|c∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),所以f(x2-ax+a)+f(3)>0?f(x2-ax+a)>-f(3)?f(x2-ax+a)>f(-3)?x2-ax+a>-3對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0?-2<a<6,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,6).9.已知函數(shù)f(x)=m2sin2x+3mcos2x-32m+n(m>(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)設(shè)x∈0,π2,f(x)的最小值是1-3,最大值是3,求實(shí)數(shù)m解:(1)f(x)=m2sin2x+3mcos2x-3=m2sin2x+32m(2cos2x-=m12sin2x+3∵m>0,∴由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π即kπ+π12≤x≤kπ+7π12,可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z(2)當(dāng)x∈0,π2時(shí)則-32≤sin2∵f(x)的最小值是1-3,最大值是3,∴f(x)的最大值為m+n=3,最小值為-32m+n=1-3,得m=2,n=110.已知函數(shù)f(x)=23x3-2ax2-3x(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程;(2)已知對(duì)一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥lnx-3a-1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由題意知當(dāng)a=0時(shí),f(x)=23x3-3x所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程為15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,則由題意得2ax2+1≥lnx,即a≥lnx-12x2在x設(shè)g(x)=lnx-12x2,則g'當(dāng)0<x<e32時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x>e32時(shí),g'(所以當(dāng)x=e32時(shí),g(x)取得最大值,且g(x)max=故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1二、思維提升訓(xùn)練11.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又點(diǎn)A(-1,0),則|PF||PAA.12 B.22答案:B解析:明顯點(diǎn)A為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),如圖,過(guò)點(diǎn)P作PB垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)B,則|PB|=|PF|.∴|PF||PA設(shè)過(guò)A的直線AC與拋物線切于點(diǎn)C,則0<∠BAC≤∠PAB≤π2,∴sin∠BAC≤sin∠設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則y02=4x0,又y0解得x0=1,y0∴sin∠BAC=222=22,∴12.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P,使(OP+OF2)·F2P=A.3+1 B.3+12答案:A解析:如圖,取F2P的中點(diǎn)M,則OP+OF2=2OM.即OM·F2又OM為△F2F1P的中位線,∴在△PF1F2中,2a=|PF1|-|PF2|=(3-1)由勾股定理,得2c=2|PF2|.∴e=2313.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿意an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,且a1=1,a2=3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

答案:an=n解析:由題設(shè)可得2bn=an+an+1,an+1=bnbn+1,故an=bn-1bn,代入得2bn=bnbn-1+bnbn+1∵a1=1,a2=3,∴2b1=4,即b1=2.∴b2=a∴{bn}的公差d=b∴bn=2+(即b∴an+1=bnbn+114.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,則m的取值范圍是.

答案:(-4,0)解析:將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)<0的解集的補(bǔ)集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不行能大于等于0,因此m<0.當(dāng)m<0時(shí),f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此時(shí)f(x)<0的解集為{x|x≠-2},滿意題意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此時(shí)f(x)<0的解集為{x|x>2m或x<-m-3},依題意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此時(shí)f(x)<0的解集為{x|x<2m或x>-m-3},依題意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.綜上可知,滿意條件的m的取值范圍是-4<m<0.15.已知函數(shù)f(x)=elnx,g(x)=1ef(x)-(x+1)(e=2.718……)(1)求函數(shù)g(x)的極大值;(2)求證:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n答案:(1)解∵g(x)=1ef(x)-(x+1)=lnx-(x+∴g'(x)=1x-1(x>0)令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單