人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二6.4.2 平面向量的應(yīng)用（含答案及解析）（人教版2019必修第二冊(cè)）

6.4.2平面向量的應(yīng)用考法一證線段垂直【例1】（2023·河南信陽(yáng)）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．

(1)請(qǐng)用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【一隅三反】1．（2023·山東濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．2．（2023北京）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.3．（2024湖南）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.4．（2024河北）如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點(diǎn).求證：.考法二夾角問題【例2-1】（2023廣東深圳）若兩個(gè)非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2024·黑龍江）已知為△的外接圓的圓心，且，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東廣州）在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為.3．（2023·上海）已知是的外心，且，則．考法三求線段長(zhǎng)度【例3-1】（2023·海南）在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.【例3-2】．（2023·廣東廣州）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)求和的長(zhǎng)度；(2)求.【一隅三反】1．（2023·河北滄州）如圖，在中，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng).2．（2023·山東）如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求．3．（2023·重慶）如圖，在中，已知，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn).(1)求線段，的長(zhǎng)；(2)求的余弦值.考法四求幾何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圓的直徑，弦，點(diǎn)在弦上，則的最小值是．【例4-2】（2023·廣東湛江）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為.【一隅三反】1．（2023·安徽）如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為.

2．（2023·廣東深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯．圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍是．

3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，點(diǎn)在邊上，則的最小值為.考法五物理上的應(yīng)用【例5-1】（2023·云南）已知兩個(gè)力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【例5-2】（2023·廣東佛山）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如圖，作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

3．（2023·云南曲靖）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.54．（2023·北京）在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：①越大越費(fèi)力，越小越省力；②的范圍為；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

①③ B．①④ C．②③ D．②④單選題1．（2023·廣東佛山）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·河南洛陽(yáng)）在中，，且，則等于（

）A． B． C． D．或3．（2023·浙江溫州）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．4．（2023·黑龍江）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間為（

）A． B． C． D．5．（2023·天津和平）在平面四邊形中，，則的值是（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．7．（2023上·四川）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·云南）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．多選題9．（2023江西）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變10．（2023湖南）在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．越大越費(fèi)力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．（2023·浙江衢州）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．12（2023·安徽）已知正的邊長(zhǎng)為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（

）A． B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)C． D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)填空題13．（2024·廣東佛山）已知中，，邊上的高與邊上的中線相等，則.14．（2023·河北石家莊）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長(zhǎng)為.15．（2024·安徽）設(shè)點(diǎn)是的中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值是，則中線的長(zhǎng)是.16．（2023·天津西青）在體育課上，同學(xué)們經(jīng)常要在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)（如圖），假設(shè)某同學(xué)所受重力為，兩臂拉力分別為，若，與的夾角為，則以下四個(gè)結(jié)論中：①的最小值為；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩臂夾角越大越省力．在以上四個(gè)結(jié)論中，正確的序號(hào)為．

解答題17．（2024·重慶）在梯形中，為鈍角，，．(1)求；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．18．（2024·吉林長(zhǎng)春）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，求.19．（2024·廣東揭陽(yáng)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．(1)求；(2)若，D為BC的中點(diǎn)，，求a的值．20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，且，．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)不大于，求的長(zhǎng)的最大值．21．（2024·河南新鄉(xiāng)）如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)P，(1)求；(2)求的正弦值.22．（2023·云南玉溪）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且．(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，，且滿足，求邊長(zhǎng)；請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并進(jìn)行解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

6.4.2平面向量的應(yīng)用考法一證線段垂直【例1】（2023·河南信陽(yáng)）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．

(1)請(qǐng)用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），由題意得，所以．（2）由題意，．∵，，∴．∴，∴．【一隅三反】1．（2023·山東濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．2．（2023北京）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.【答案】證明見解析【解析】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.3．（2024湖南）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見解析【解析】設(shè)=，=，=，=，=，則=+，=+，所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，由條件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC.4．（2024河北）如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)椋?，所以，?考法二夾角問題【例2-1】（2023廣東深圳）若兩個(gè)非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意作圖如下，設(shè)，

故向量，因?yàn)?，所以，則四邊形ABCD為矩形，則又因?yàn)椋?，則，故向量與的夾角為的夾角，故為.故選：C.【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.【一隅三反】1．（2024·黑龍江）已知為△的外接圓的圓心，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，且，，，∴∠AOB=90°.

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由可知：，則：，，，則.故選：A.2．（2023·廣東廣州）在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為.【答案】【解析】由已知得即為向量與的夾角.因?yàn)镸、N分別是，邊上的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)椋?,,所以.故答案為：3．（2023·上海）已知是的外心，且，則．【答案】/【解析】，即，設(shè)，兩邊同平方得，解得，同理可得，，，，則，，，.故答案為：.考法三求線段長(zhǎng)度【例3-1】（2023·海南）在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，，，.（2）是邊上的中線，，，.【例3-2】．（2023·廣東廣州）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)求和的長(zhǎng)度；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，（2），.另解：過D作交于，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，.【一隅三反】1．（2023·河北滄州）如圖，在中，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）；，，故，.（2），.2．（2023·山東）如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，，則．．故．（2）因?yàn)椋?．（2023·重慶）如圖，在中，已知，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn).(1)求線段，的長(zhǎng)；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：由題意，，，又，所以，，即，

=，，即；（2）解：，==，

與的夾角即為，.考法四求幾何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圓的直徑，弦，點(diǎn)在弦上，則的最小值是．【答案】/【解析】由題意可得，，要使取得最小值，則要最小，根據(jù)圓的性質(zhì)，只需，此時(shí)為中點(diǎn)，又，則，所以，則的最小值為.故答案為：.【例4-2】（2023·廣東湛江）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為.【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)直線BC方程為，則，解得，所以BC方程為，設(shè)，所以，得.故答案為：.

【一隅三反】1．（2023·安徽）如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為.

【答案】【解析】令，則，，所以，所以時(shí)，的最大值為.故答案為：2．（2023·廣東深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯．圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍是．

【答案】【解析】連接，如圖所示：

．根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，有最小值為，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，故，即的取值范圍是．故答案為：.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，點(diǎn)在邊上，則的最小值為.【答案】/【解析】解法一：由，，得，所以，，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，所以.設(shè)，則，所以，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如圖，分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則.因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.考法五物理上的應(yīng)用【例5-1】（2023·云南）已知兩個(gè)力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【解析】

如圖，，，，，.在中，有，所以，的大小為5N.故選：B.【例5-2】（2023·廣東佛山）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小，則，故，故選：C【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如圖，作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為.【答案】【解析】因?yàn)椋?，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，所以，則，所以.故答案為：.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

【答案】/【解析】由題意知，則因?yàn)?，，即，所?故答案為：3．（2023·云南曲靖）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．4．（2023·北京）在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：①越大越費(fèi)力，越小越省力；②的范圍為；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，故無法抬動(dòng)物體，故②錯(cuò)誤；對(duì)于①，根據(jù)題意，得，所以，解得，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，所以越大越費(fèi)力，越小越省力，故①正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，故④正確.故選：B.單選題1．（2023·廣東佛山）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B2．（2023·河南洛陽(yáng)）在中，，且，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】，故可得；又，又，故為鈍角，．故選：C.3．（2023·浙江溫州）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，?故選：A.4．（2023·黑龍江）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若使得船的航程最短，則船的實(shí)際速度與水流速度垂直，作，，以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示：由題意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間，則.故選：B.5．（2023·天津和平）在平面四邊形中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，則，故以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，由于，故，即，即，則在中，，同理可得，故，故選：C6．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，位于線段的垂直平分線上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由得：，，，如下圖所示，，.故選：D.7．（2023上·四川）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，且，所以．設(shè)與的夾角為，則．因?yàn)?，所以．故選：C．8．（2024·云南）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】如圖，過作交于，作交于，則，又，所以，，所以，即，又是的平分線，所以，而，所以，，，所以，故選：C．多選題9．（2023江西）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變【答案】AC【解析】設(shè)水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，則有，所以，因?yàn)樵龃?，減小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小.故選：AC.10．（2023湖南）在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．越大越費(fèi)力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意，得，所以，解得，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，所以越大越費(fèi)力，越小越省力，故A正確；對(duì)于B，由題意知的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：AD.11．（2023·浙江衢州）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．【答案】AB【解析】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理可得，，整理得到，，，，設(shè)，對(duì)選項(xiàng)A：，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，A正確；對(duì)選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，由正八邊形的對(duì)稱性知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，又，所以，所以，所以的最大值為，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，所以，即投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，又，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB12（2023·安徽）已知正的邊長(zhǎng)為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（

）A． B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)C． D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，法一：設(shè)M為AB的中點(diǎn)，

連接OM，則C，O，M三點(diǎn)共線.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.因?yàn)镺為的中心，故，而，故.又，A正確；法二：記CO的中點(diǎn)為N，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.

由正三角形的性質(zhì)知N在內(nèi)切圓上且MN為內(nèi)切圓圓O的直徑，如圖2，連接PM，PN，從而有，A正確；對(duì)于B，，因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，所以內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)且僅當(dāng)P為OC中點(diǎn)N時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)，滿足；當(dāng)與不重合時(shí)，，由圖象易知與的夾角，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，要使，則，分析可知此時(shí)P恰為線段OB與內(nèi)切圓的公共點(diǎn)，又當(dāng)P與M重合時(shí)，也滿足題意，故這樣的點(diǎn)有2個(gè)，D正確.故選：ABD.填空題13．（2024·廣東佛山）已知中，，邊上的高與邊上的中線相等，則.【答案】【解析】如下圖所示，設(shè)邊上的高為，邊上的中線為，

在中，，所以，由，平方得，代入得，，化簡(jiǎn)得，，解得，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：14．（2023·河北石家莊）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長(zhǎng)為.【答案】【解析】設(shè)D為的中點(diǎn)，則，所以，所以，所以.故答案為：15．（2024·安徽）設(shè)點(diǎn)是的中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值是，則中線的長(zhǎng)是.【答案】3【解析】設(shè)，則因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，即.于是.當(dāng)，即點(diǎn)是中線的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值即因此故答案為：16．（2023·天津西青）在體育課上，同學(xué)們經(jīng)常要在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)（如圖），假設(shè)某同學(xué)所受重力為，兩臂拉力分別為，若，與的夾角為，則以下四個(gè)結(jié)論中：①的最小值為；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩臂夾角越大越省力．在以上四個(gè)結(jié)論中，正確的序號(hào)為．

【答案】①②③【解析】對(duì)于①：由受力分析得，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，又，所以，故?dāng)時(shí)，取得最小值為，故①正確；對(duì)于②:，當(dāng)時(shí)，，，故②正確；對(duì)于③：，，故③正確；.對(duì)于④:，，，，所