人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一2.2 基本不等式（精練）（含答案及解析）

2.2基本不等式（精練）1．（2023·重慶）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A． B．2 C．42（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值23．（2023·江蘇）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．124．（2023·新疆喀什）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．25．（2023春·河南新鄉(xiāng)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．6．（2022秋·廣東深圳）若x，y滿，則（

）A． B． C． D．7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則在①，②，③，④，這四個(gè)不等式中，不正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8．（2023春·江西宜春）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2023春·浙江杭州）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．（2023春·陜西安康）（多選）若，則（

）A． B．C． D．12．（2023北京）（多選）若、，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．13．（2023·河北）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則14．（2023春·云南臨滄）（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7.515．（2022秋·天津和平）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足則ab的最大值為__________.16．（2023·四川成都）已知a＞0，b＞0，且，則的最小值為______．17．（2023春·福建三明）已知實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.18．（2023·浙江）函數(shù)在上的最大值為_______________．19（2023·新疆）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___________．20．（2023春·陜西渭南）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.21．（2023春·上海金山）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為___.22．（2023河南）正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______.23．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）已知，，，則的最大值為____________．24．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．25．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．26．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)?？?00百萬元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：．(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為（百萬元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的收益總和為（百萬元），寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出的最大值，并求出此時(shí)對兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？1．（2023·廣東）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·海南?。┊?dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023上海）（多選）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知,則（

）A． B．C． D．4．（2023·內(nèi)蒙古）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．5．（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為1 B．有最大值4C．的最大值為2 D．的最小值為96．（2023春·廣西防城港·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知，，且，則（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為8．（2023春·遼寧）（多選）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為6 D．的最大值為89．（2023·山東煙臺(tái)）（多選）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為410．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，求證：12．（2023·新疆烏魯木齊）已知是正實(shí)數(shù).(1)若，證明：；(2)證明：.13（2023·全國·高三對口高考）（1）設(shè).若，求的取值范圍；（2）設(shè)，，.若，求的取值范圍.14．（2023·廣東湛江）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（4）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（5）設(shè)，求函數(shù)的值域．（6）①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；②求函數(shù)的最大值；15．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)，安全車距（單位：）正比于車速（單位：）的平方與車身長（單位：）的積，且安全車距不得小于半個(gè)車身長．當(dāng)車速為時(shí)，安全車距為個(gè)車身長．(1)求汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)的安全車距與車速之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)某救災(zāi)車隊(duì)共有10輛同一型號(hào)的貨車，車身長為，當(dāng)速度為多少時(shí)該車隊(duì)通過（第一輛車頭進(jìn)隧道起，到最后一輛車尾離開隧道止，且無其它車插隊(duì)）長度為的隧道用時(shí)最短?

2.2基本不等式（精練）1．（2023·重慶）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A． B．2 C．4【答案】D【解析】，等號(hào)成立條件是，即時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值是4.故選：D.2（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，所以若時(shí)，有最小值為6，無最大值.故選：B.3．（2023·江蘇）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立故最小值為，故選：A4．（2023·新疆喀什）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），得，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：B.5．（2023春·河南新鄉(xiāng)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，變形?由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.6．（2022秋·廣東深圳）若x，y滿，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，而，所以，于是有，故選項(xiàng)AB都不正確；由，故選：C7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則在①，②，③，④，這四個(gè)不等式中，不正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)椋瑢τ冖僦?，由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以①正確；對于②中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以②不正確；對于③中，由不等式，可得，兩邊同除，可得成立，所以③成立；對于④，由，可得，即，所以成立，所以④正確.故選：B.8．（2023春·江西宜春）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題意知，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.9．（2023春·浙江杭州）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得時(shí)等號(hào)成立，所以，所以時(shí)，的最小值是，故選：B10．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，對于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對.故選：AD.11．（2023春·陜西安康）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯(cuò)誤；對D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.12．（2023北京）（多選）若、，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A選項(xiàng)，，故，A對；對于B，取，此時(shí)，B錯(cuò)；對于C，取，此時(shí)，C錯(cuò)；對于D，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對.故選：AD.13．（2023·河北）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，A對；對于B選項(xiàng)，若，，則，所以，，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，若，則，，則，故，D對.故選：ACD.14．（2023春·云南臨滄）（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【答案】BC【解析】由，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，又，結(jié)合選項(xiàng)，可得BC符合題意.故選：.15．（2022秋·天津和平）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足則ab的最大值為__________.【答案】5【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，解得，則的最大值5．故答案為：5．16．（2023·四川成都）已知a＞0，b＞0，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故的最小值為.故答案為：17．（2023春·福建三明）已知實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.【答案】3【解析】,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為3.故答案為：318．（2023·浙江）函數(shù)在上的最大值為_______________．【答案】【解析】因?yàn)?，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值為．故答案為：19（2023·新疆）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.20．（2023春·陜西渭南）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.【答案】8【解析】因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.即的最小值為.故答案為：21．（2023春·上海金山）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為___.【答案】【解析】正數(shù)、滿足，則則，又時(shí)，，則，則的最小值為.故答案為：22．（2023河南）正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______.【答案】1【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，故答案為：123．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┮阎?，，，則的最大值為____________．【答案】【解析】由已知，，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.24．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．【答案】【解析】∵，則，原題意等價(jià)于對任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，解得．故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：．25．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：．26．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)?？?00百萬元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：．(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為（百萬元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的收益總和為（百萬元），寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出的最大值，并求出此時(shí)對兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？【答案】(1)，(2)的最大值為145（百萬元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為60（百萬元），340（百萬元）．【解析】（1）解：由題意可得處理污染項(xiàng)目投放資金為百萬元，則，，．（2）解：由（1）可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．所以的最大值為（百萬元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為（百萬元），（百萬元）．1．（2023·廣東）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，且，由基本不等式可得（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），A正確；由基本不等式知，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），B正確；由題得，由已知，故，所以，故，C正確；由基本不等式可得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2023·海南?。┊?dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.2．（2023上海）（多選）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由，可得，所以A錯(cuò)誤；由且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故成立，所以B正確；當(dāng)，時(shí)，可得，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；同理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋?，不同時(shí)等于1，所以，所以D正確．故選：BD．3．（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知,則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由題知,當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)A,D錯(cuò)誤;根據(jù)算術(shù)平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù),所以,即,由,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,因?yàn)?所以,此時(shí),故,故選項(xiàng)B正確.因?yàn)?所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以,故選項(xiàng)C正確.故選:BC4．（2023·內(nèi)蒙古）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B不正確；因?yàn)?，，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD5．（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為1 B．有最大值4C．的最大值為2 D．的最小值為9【答案】AC【解析】，是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，有最小值4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．6．（2023春·廣西防城港·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因，，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故A正確；因，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故B錯(cuò)誤；因，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C正確；因，，且，則，，則，因?yàn)槿〉鹊臈l件為，即，又取等的條件為，因?yàn)槿〉葪l件不一致，故，故D正確.故選：ACD7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋苫静坏仁降?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B正確；C選項(xiàng)，由基本不等式得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D正確.故選：ABD8．（2023春·遼寧）（多選）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為6 D．的最大值為8【答案】ACD【解析】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確；對于B：由條件可知，所以，解得，由，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對于C：由得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)，故C正確；對于D：由上述條件可知，整理得.令，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選：ACD.9．（2023·山東煙臺(tái)）（多選）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對于C，由得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)2(2)證明見解析【解析】（1）（2）因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，求證：【答案】證明見解析【解析】因?yàn)?，，，，所以?當(dāng)且令當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即.12．（2023·新疆烏魯木齊）已知是正實(shí)數(shù).(1)若，證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)椋?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.（2）因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；上述三式相加可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.13（2023·全國·高三對口高考）（1）設(shè).若，求的取值范圍；（2）設(shè)，，.