人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一5.3 誘導(dǎo)公式（精講）（含答案及解析）

5.3誘導(dǎo)公式（精講）誘導(dǎo)公式公式終邊關(guān)系圖示公式公式二角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關(guān)于eq\a\vs4\al(y)軸對(duì)稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”：①“變”與“不變”是針對(duì)互余關(guān)系的函數(shù)名而言的，正弦變余弦、余弦變正弦．②“奇”“偶”是對(duì)k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中的整數(shù)k來(lái)講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中，將α看成銳角時(shí)，k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四一．利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.二．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).三．誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為小；②看角與角間的聯(lián)系，可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過(guò)分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形，平方和差、立方和差公式．考點(diǎn)一給角求值問(wèn)題【例1】（2023·廣東肇慶）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．（4）；（5）.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）的值是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校?求下列各值.(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)．考點(diǎn)二化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且為第二象限角，試求的值．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且為第三象限角．求的值．2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－3．（2023春·陜西西安）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三給值(或式)求值問(wèn)題【例3-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）若=，則等于（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023秋·浙江嘉興）已知，且，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東德州）已知，則等于．3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知，則的值為；考點(diǎn)四利用誘導(dǎo)公式證明恒等式【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）求證：．【一隅三反】1．（2023云南）求證：.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求證：．3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）求證：＝．4．（2023北京）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.

5.3誘導(dǎo)公式（精講）誘導(dǎo)公式公式終邊關(guān)系圖示公式公式二角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關(guān)于eq\a\vs4\al(y)軸對(duì)稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”：①“變”與“不變”是針對(duì)互余關(guān)系的函數(shù)名而言的，正弦變余弦、余弦變正弦．②“奇”“偶”是對(duì)k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中的整數(shù)k來(lái)講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中，將α看成銳角時(shí)，k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四一．利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.二．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).三．誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為小；②看角與角間的聯(lián)系，可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過(guò)分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形，平方和差、立方和差公式．考點(diǎn)一給角求值問(wèn)題【例1】（2023·廣東肇慶）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．（4）；（5）.【答案】(1)(2)(3)（4）；（5）【解析】（1）．（2）．（3）（4）.（5）原式.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.2．（2022秋·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函數(shù)的定義可得，則.故選：D3．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）.求下列各值.(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)1【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.（5）．（6）.（7）．考點(diǎn)二化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且為第二象限角，試求的值．【答案】【解析】由題意得，解得，因?yàn)闉榈诙笙藿牵傻?，所以，所以，所?【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且為第三象限角．求的值．【答案】【解析】.2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【解析】因?yàn)?，且為第二象限角，所以，則故選:C.3．（2023春·陜西西安）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

又因?yàn)?，，，故原?;又過(guò)定點(diǎn),所以，代入原式得原式=.故選：考點(diǎn)三給值(或式)求值問(wèn)題【例3-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，則.故選：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）若=，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉興）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，所以故選：D【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?故選：B.2．（2023秋·山東德州）已知，則等于．【答案】/【解析】.故答案為：3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知，則的值為；【答案】【解析】，，，，.故答案為：.考點(diǎn)四利用誘導(dǎo)公式證明恒等式【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：左邊=右邊，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：左邊==右邊所以原等式成立2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】左邊==–tanα=右邊，∴等