河北省衡水市饒陽中學2022-2023學年高一下學期期末數學試卷(解析)

高中數學精編資源—2023學年度第二學期期末考試高一年級數學試卷卷面總分:150分考試時間:120分鐘一、單選題(每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知復數滿足(為虛數單位),則在復平面內復數對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數,再根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】因為,所以,所以在復平面內復數對應的點為,位于第二象限.故選:B2.為提高學生學習數學的熱情,實驗中學舉行高二數學競賽,以下數據為參加數學競賽決賽的10人的成績:(單位:分)78,70,72,86,79,80,81,84,56,83,則這10人成績的第80百分位數是()A.83 B.83.5 C.84 D.70【答案】B【解析】【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】將10個數據從小到大排列得,56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,,故其第80百分位數是,故選:B.3.,兩名學生均打算只去甲、乙兩個城市中的一個上大學,且兩人去哪個城市互不影響,若去甲城市的概率為,去甲城市的概率為,則,不去同一城市上大學的概率為()A.0.3 B.0.56 C.0.54 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據條件得到,分別去乙城市的概率,從而求得,去同一城市上大學的概率,即可得到,不去同一城市上大學的概率.【詳解】由題意知:去甲城市的概率為,去甲城市的概率為,即去乙城市的概率為0.4,去乙城市的概率為0.8,所以,去同一城市上大學的概率,所以則,不去同一城市上大學的概率,故選:B.4.在中,D是BC的中點,E是AD的中點,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的線性運算求出結果【詳解】在中,D是BC的中點,E是AD的中點,則．故選:C.5.若扇形的周長為36,要使這個扇形的面積最大,則此時扇形的圓心角的弧度為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據扇形的周長及面積公式,轉化為二次函數求最值,據此利用弧長公式求解.【詳解】設扇形的半徑為,弧長為,則,所以,故當時,取最大值,此時,所以,故選:B6.已知向量,,若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐標表示可得出、的關系式,即可求得的值.【詳解】因為向量,,且,則,若,則,這與矛盾,故,因此,.故選:D.7.已知某圓錐的母線長為2,記其側面積為,體積為,則當取得最大值時,圓錐的底面半徑為()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】設圓錐底面半徑為r,高為h,結合圓錐的側面積和體積公式求得的表達式,結合基本不等式即可求得答案.【詳解】設圓錐底面半徑為r,高為h,由題意知母線長為則,所以,當且僅當,即時,取得等號,故選:C8.已知,,則的值為()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件切化弦,整理得出,然后把展開可求出,從而利用兩角和的余弦公式可求解.【詳解】由于,且,則,整理得,則,整理得,所以.故選:D.二、多選題(每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.如圖,用正方體ABCD一A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法正確的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行【答案】ABC【解析】【分析】根據線線垂直、線線平行等知識確定正確答案.【詳解】由于是的中點,所以三點共線,則是的中點,由于是的中點,所以,C選項正確.根據正方體的性質可知平面,由于平面,所以,所以,A選項正確.由于,所以,B選項正確.由于,與相交,所以與不平行,D選項錯誤.故選:ABC10.已知函數在一個周期內的圖象如圖所示,其中圖象最高點、最低點的橫坐標分別為、,圖象在軸上的交點為.則下列結論正確的是()A.最小正周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調遞增D.為偶函數【答案】BC【解析】【分析】A選項,根據圖象得到,A錯誤;B選項,先根據最小正周期求出,代入特殊點坐標,求出,,得到B正確;C選項,代入檢驗得到在區(qū)間上單調遞增;D選項,求出,利用函數奇偶性定義判斷.【詳解】A選項,設的最小正周期為,由圖象可知,解得,A錯誤;B選項,因為,所以,解得,故,將代入解析式得,因為,所以解得,因為函數經過點,所以,故,的最大值為2,B正確;C選項,,當時,,因為在上單調遞增,故在區(qū)間上單調遞增,C正確;D選項,,由于與不一定相等,故不是偶函數,D錯誤.故選:BC11.下列說法正確的是()A.數據1,2,3,3,4,5的平均數和中位數相同B.數據6,5,4,3,3,3,2,2,1的眾數為3C.有甲、乙、丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調查,如果抽取的甲個體數為9,則樣本容量為30D.甲組數據的方差為4,乙組數據為5,6,9,10,5,則這兩組數據中較穩(wěn)定的是乙組【答案】AB【解析】【分析】利用平均數與中位數的定義可判斷A;利用眾數的定義可判斷B;利用分層抽樣的定義及抽樣比求解判斷C;利用方差的定義及意義可判斷D.【詳解】對于A,平均數為,中位數為,故A正確;對于B,數據的眾數為3,故B正確;對于C,設樣本容量為x,由題知,解得,即樣本容量為18,故C錯誤;對于D,乙組數據的平均數為,方差為,又,所以兩組數據中較穩(wěn)定的是甲組,故D錯誤.故選:AB12.在中,角對邊分別為,下列說法正確的是()A.若,,則等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為,則D.若點滿足,且,則【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦、余弦定理,三角形面積公式及誘導公式,結合各個選項的條件,逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.【詳解】選項A,因為,,由正弦定理得到,又由余弦定理,得到,即,所以,故選項A正確;選項B,因為,所以,即,又,,所以,由正弦定理得,,又由三角形中,大邊對大角,得,又以上過程均可逆,故選項B正確;選項C,因為,整理得,又由正弦定理可得,即,所以,故或,得到或,故選項C錯誤;選項D,如圖,在中,,在中,,兩式相比得,因為,且,所以,,且,所以,故,所以選項D正確.故選:ABD三、填空題(每小題5分,共20分)13.已知點在角的終邊上,則______.【答案】【解析】【分析】首先求,再由齊次式化簡求值.【詳解】由題意可知,∴.故答案為:.14.已知向量,,,則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】由可得,,后由向量夾角的坐標表示可得答案.【詳解】,則,則,又,則故答案為:.15.在四棱錐中,所有側棱長都為,底面是邊長為的正方形,O是P在平面ABCD內的射影,M是PC的中點,則異面直線OP與BM所成角為___________【答案】【解析】【分析】取的中點為,連接,利用中位線性質得,則異面直線夾角轉化為求,再利用勾股定理求出相關線段長,最后求出即可得到答案.【詳解】由題意可知底面是邊長為的正方形,所有側棱長都為則四棱錐為正四棱錐,為正方形的中心,取的中點為,連接,又因為M是PC的中點,則,則即為所求,因為平面,所以平面,則,,則,因為,所以.故答案為:.16.中國最高的摩天輪是“南昌之星”,它的最高點離地面160米,直徑為156米,并以每30分鐘一周的速度勻速旋轉,若摩天輪某座艙A經過最低點開始計時,則10分鐘后A離地面的高度為________米.【答案】121【解析】【分析】設座艙A與地面的高度與時間t的關系為∶,求出各參數,可得函數解析式,將代入,即可求得答案.【詳解】設座艙A與地面的高度與時間t的關系為∶,由題意可知,,,即,又:,即,由于,故,故,所以(米),故答案為:121四、解答題(共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.在中,,,.(1)求的面積;(2)求c及的值.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)利用平方關系求得,應用三角形面積公式求的面積;(2)余弦公式求c,再應用正弦定理求.【小問1詳解】由且,則,所以.【小問2詳解】由,則,而,則.18.如圖,正三棱柱中,,,點為的中點．(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過直線與直線平行證直線與面平行.(2)通過等體積轉化進行求解.【小問1詳解】解:連接,與相交于,連接,則是的中點,又為的中點,所以,平面,平面,所以平面;【小問2詳解】取的中點,連,則,且,又面,,且,∴面,,.19.全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調查工作,2023年2月14日24日在網上進行問卷調查,該調查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據,居民可根據自身實際感受,對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現隨機抽取了100名居民的問卷進行評分統計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數據分組依次為:(1)求的值以及這100名居民問卷評分的中位數;(2)若根據各組的頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進行專項調查,求這2人中恰有1人的評分在內的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由各組數據頻率之和為1可得a,由頻率分布直方圖計算中位數公式可得答案;(2)由(1)結合頻率分布直方圖可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列舉法可知總情況數與2人中恰有1人的評分在[70,75)內的情況數,即可得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖,;注意到前3個矩形對應頻率之和為:,前4個矩形對應頻率之和為:,則中位數在之間,設為x,則,即中位數為.【小問2詳解】評分在[65,70),[70,75)對應頻率為:,則抽取6人中,[65,70)中的有2人,設為,[70,75)中的有4人,設為.則從6人中選取2人的情況為:,共15種,恰有1人在[70,75)中的有8種情況,故相應概率為:.20.已知向量,函數.(1)求函數的最大值及相應自變量的取值集合;(2)在中,角的對邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】(1),此時自變量的取值集合為(2)【解析】【分析】(1)根據題意,由向量數量積的坐標運算即可得到解析式,再由輔助角公式化簡,由正弦型函數的最值即可得到結果;(2)根據題意,結合(1)中解析式可得,再由余弦定理以及基本不等式即可得到結果.【小問1詳解】由題知,,當,即時,最大,且最大值為,即,此時自變量的取值集合為.【小問2詳解】由(1)知,,則,因為在中,,所以,所以,所以,又由余弦定理及,得:,即,所以,即(當且僅當時等號成立).所以.21.世界范圍內新能源汽車的發(fā)展日新月異,電動汽車主要分三類:純電動汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這3類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段,并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開,以新能源汽車替代汽(柴)油車,中國正在大力實施一項將重新塑造全球汽車行業(yè)的計劃.2022年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產設備,通過市場分析,全年需投入固定成本2000萬元,每生產(百輛),需另投入成本(萬元),且;已知每輛車售價5萬元,由市場調研知,全年內生產的車輛當年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤(萬元)關于年產量(百輛)的函數關系式;(2)2022年產量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1);(2)100(百輛),2300萬元.【解析】【分析】(1)根據利潤收入-總成本,即可求得(萬元)關于年產量(百輛)的函數關系式;(2)分段求得函數的最大值,比較大小可得答案.【小問1詳解】由題意知利潤收入-總成本,所以利潤,故2022年的利潤(萬元)關于年產量x(百輛)的函數關系式為.【小問2詳解】當時,,故當時,;當時,,當且僅當,即時取得等號;綜上所述,當產量為100(百輛)時,取得最大利潤,最大利潤為2300萬元．22.已知梯形中,,,E為線段上一點(不在端點),沿線段將折成,使得平面平面.(1)當點E為CD的中點時,證明:平面平面;(2)若與平面所成角的正弦值為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先根據線面垂直的判定得出平面即可;(2)過作交于點,連,再根據與平面所成角的正弦值為得出圖形中的各邊關系,進而證明平面,求銳二面角的余弦值時,方法一,可根據面積的比值計算;方法二,可分別取的中點,連接,根據平面平面,過作交于點,連,再證明為二面角