《機械優(yōu)化設(shè)計（第7版）》課件全套 孫靖民 第1-8章 優(yōu)化設(shè)計概述 -機械優(yōu)化設(shè)計實例

機械優(yōu)化設(shè)計計劃學(xué)時數(shù)：26學(xué)時使用教材孫靖民.機械優(yōu)化設(shè)計.北京：機械工業(yè)出版社，2003參考書[1]方世杰，綦耀光主編.機械優(yōu)化設(shè)計.北京：機械工業(yè)出版社，2003[2]陳立周，機械優(yōu)化設(shè)計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，1997[3]劉惟信.機械最優(yōu)化設(shè)計.北京：清華大學(xué)出版社，1994課程介紹本課主要內(nèi)容優(yōu)化設(shè)計概述1優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2一維搜索方法3無約束優(yōu)化方法4約束優(yōu)化方法6多目標及離散變量優(yōu)化方法7優(yōu)化設(shè)計實例8線性規(guī)劃5緒論一、優(yōu)化相關(guān)概念二、機械的傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計三、機械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展四、機械優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用概況五、機械優(yōu)化設(shè)計的作用（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程，最優(yōu)化可簡寫為Opt；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小值的過程。例如,在右圖中，求得一維函數(shù)f(x)

最小值的條件為：若ｘ取x*，則f(x)

取得最小值f(x*)。目的是為了在完成某一任務(wù)時所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和趨勢實際問題表達成的函數(shù)類型很多：

確定型、不確定型函數(shù)；線形、非線形（二次、高次、超越）函數(shù)。變量類型也很多：

連續(xù)、離散、隨機變量等等。產(chǎn)生很多的優(yōu)化算法：

無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化：單目標函數(shù)優(yōu)化、多目標函數(shù)優(yōu)化；連續(xù)變量優(yōu)化、離散變量優(yōu)化、隨機變量優(yōu)化。（3）優(yōu)化方法：也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；（4）優(yōu)化設(shè)計：根據(jù)給定的設(shè)計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設(shè)計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設(shè)計方案。（5）機械優(yōu)化設(shè)計：即把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。

獲得設(shè)計方案的過程是一個決策的過程，也是優(yōu)化的過程。

優(yōu)化過程就是求解一個付出最小、獲得效益最大的方案。機械設(shè)計方法傳統(tǒng)設(shè)計方法

基于手工勞動或簡易計算工具。方法低效，一般只能獲得一個可行的設(shè)計方案。傳統(tǒng)機械設(shè)計理論與方法包括疲勞壽命理論、強度理論、振動理論……

常憑經(jīng)驗、試算、校核等方法。現(xiàn)代優(yōu)化方法

基于計算機的應(yīng)用，設(shè)計過程包括：①從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型；②選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。特點：以人機配合或自動搜索方式進行，能從“所有的”的可行方案中找出“最優(yōu)的”的設(shè)計方案。從傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計人工試湊和定性分析的比較過程，被動的重復(fù)分析產(chǎn)品的性能——經(jīng)驗設(shè)計、近似計算、一般的安全壽命可行設(shè)計。設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型優(yōu)化途徑，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)設(shè)計方案方案分析最優(yōu)？否是最優(yōu)的設(shè)計方案圖2:優(yōu)化設(shè)計過程框圖利用電子計算機主動的設(shè)計產(chǎn)品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案——理論設(shè)計、精確計算、優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計的一般過程

1）建立確切反映問題實質(zhì)并適合于優(yōu)化計算的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；

2）選擇恰當?shù)膬?yōu)化方法，編寫計算機語言程序；

3）求得數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。

機械優(yōu)化設(shè)計是使某項機械設(shè)計在規(guī)定的各種設(shè)計限制條件下，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)，使某項或幾項設(shè)計指標獲得最優(yōu)值。工程設(shè)計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設(shè)計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。工程案例1、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進行設(shè)計。根據(jù)給定數(shù)據(jù)，在16小時內(nèi)，進行16000各可行性設(shè)計的選擇，從中選擇一成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)設(shè)計：一組工程師，一年時間，僅僅3個方案，且并非最優(yōu)。2、美國BELL飛機公司利用優(yōu)化方法解決450個設(shè)計變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。一個機翼質(zhì)量減輕35%。3、武漢鋼鐵公司從德國引進的1700薄板軋機，經(jīng)該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。4、美國波音飛機公司對大型機翼用138個設(shè)計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約10%。實踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。優(yōu)化設(shè)計的作用（優(yōu)點）：使傳統(tǒng)機械設(shè)計中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能；使傳統(tǒng)機械設(shè)計中，性能指標的校核可以不再進行；使機械設(shè)計的部分評價，由定性改定量成為可能；大大提高了產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量，從而提高了產(chǎn)品的質(zhì)量；提高生產(chǎn)效率，降低產(chǎn)品開發(fā)周期；

……機械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展1、古典優(yōu)化思想:17世紀，利用微分學(xué)和變分學(xué)的解析解法?！獌H能解決簡單的極值問題2、經(jīng)典優(yōu)化方法：20世紀40年代，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法——可求解包含等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問題。3、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計：

20世紀80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群優(yōu)化算法等。并從狹義優(yōu)化設(shè)計（零部件參數(shù)）轉(zhuǎn)向廣義優(yōu)化設(shè)計（面向產(chǎn)品的全系統(tǒng)、設(shè)計全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設(shè)計從無約束→有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變量→離散變量；確定型→隨機型模型；單目標優(yōu)化→多目標優(yōu)化。歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。直到上世紀40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。

機構(gòu)運動參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計是機械優(yōu)化設(shè)計發(fā)展較早的領(lǐng)域。國內(nèi)近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構(gòu)綜合、機械的通用零部件的設(shè)計、工藝設(shè)計方面都得到應(yīng)用。

在機械設(shè)計方面的應(yīng)用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀60年代后期才得到迅速發(fā)展的。機械優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用概況

優(yōu)化設(shè)計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：1、目前優(yōu)化設(shè)計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進一步研究解決；2、優(yōu)化設(shè)計這門新技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高；3、把優(yōu)化設(shè)計與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來是優(yōu)化設(shè)計發(fā)展的趨勢之一。

優(yōu)化設(shè)計的思想廣泛的應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)和國防等各部門，解決諸如生產(chǎn)規(guī)劃、經(jīng)濟管理、能源利用、產(chǎn)品設(shè)計、工藝過程設(shè)計、控制系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問題，它是促進技術(shù)進步和國民經(jīng)濟發(fā)展的一種有效方法。基礎(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理（2）現(xiàn)代計算技術(shù)

內(nèi)容：（1）將工程實際問題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計是一種現(xiàn)代設(shè)計方法，是很好的設(shè)計工具。本課程的任務(wù)該課程的主要目的和任務(wù)：①了解和基本掌握機械優(yōu)化設(shè)計的基本知識；②擴大視野，并初步具有應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質(zhì)。§第一節(jié)

人字架的優(yōu)化設(shè)計§第二節(jié)

優(yōu)化設(shè)計問題的示例§第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型§第四節(jié)

優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法第一章優(yōu)化設(shè)計概述

機械優(yōu)化設(shè)計問題來源于生產(chǎn)實際?，F(xiàn)在舉典型實例來說明優(yōu)化設(shè)計的基本問題。圖1-1所示的人字架由兩個鋼管構(gòu)成，其頂點受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，許用壓應(yīng)力=420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力不超過許用壓應(yīng)力和失穩(wěn)臨界應(yīng)力的條件下，人字架的高h和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。§第一節(jié)人字架的優(yōu)化設(shè)計一、問題圖1-1人字架的受力人字架的優(yōu)化設(shè)計問題歸結(jié)為：使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強度約束條件穩(wěn)定約束條件鋼管所受的壓力失穩(wěn)的臨界力鋼管所受的壓應(yīng)力二、強度、穩(wěn)定條件圖1-2壓桿的穩(wěn)定鋼管的臨界應(yīng)力強度約束條件可以寫成穩(wěn)定約束條件可以寫成鋼管截面慣性矩鋼管截面面積（r，R為截面內(nèi)外半徑）假定人字架的總質(zhì)量這個優(yōu)化問題是以D和h為設(shè)計變量的二維問題，且只有兩個約束條件，可以用解析法求解。除了解析法外，還可以采用作圖法求解。三、解析法根據(jù)極值必要條件得把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定條件，可以證明：即穩(wěn)定條件得到滿足。所以h*，D*這兩個參數(shù)是滿足強度約束和穩(wěn)定約束，且使結(jié)構(gòu)最輕的最佳參數(shù)。在設(shè)計平面D-h上畫出代表和和的兩條曲線，兩曲線將設(shè)計平面分成兩個部分，其中不帶陰影線的區(qū)域是同時滿足

兩個約束條件的區(qū)域，稱為可行域，然后再畫出一族質(zhì)量等值線四、作圖法C為一系列常數(shù)。

圖1-3人字架優(yōu)化設(shè)計的圖解X*的坐標：D*＝6.43㎝h*＝76㎝m*＝8.47㎏討論：若按解析法求解得用作圖法求解得由討論可知，對于具有不等式約束條件的優(yōu)化問題，判斷哪些約束條件是起作用的，哪些約束條件是不起作用的，這對于求解優(yōu)化問題是很關(guān)鍵的優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。優(yōu)化設(shè)計包括：（1）必須將實際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；（2）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。§第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計問題的示例例1-1

平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。平面四連桿機構(gòu)的設(shè)計主要是根據(jù)運動學(xué)的要求，確定其幾何尺寸，以實現(xiàn)給定的運動規(guī)律。引例圖1-4人字架優(yōu)化設(shè)計的圖解使目標函數(shù)：

為最小相應(yīng)的約束條件：1）曲柄與機架共線位置的傳動角最大傳動角≦1350最小傳動角≧4502）曲柄存在條件3）邊界約束當x1=1.0時，若給定x4，則可求出x2和x3的邊界值，當x4=5.0時：

現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長度不小于5m的無上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。分析：（1）目標：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設(shè)計參數(shù)確定：長x1

、寬x2、高x3；（3）設(shè)計約束條件：（a）體積要求（b）長度要求例1-2貨箱的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標：約束條件：已知：傳動比i，轉(zhuǎn)速n，傳動功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計該齒輪副，使其重量最輕。（1）目標：圓柱齒輪的體積V或重量w最小；（2）設(shè)計參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1（3）設(shè)計約束條件：（a）大、小齒輪滿足彎曲強度要求；（b）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；（c）齒寬系數(shù)要求；（d）最小齒數(shù)要求分析：例1-3直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標：約束條件：建立相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型1.分析優(yōu)化對象2.對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量3.根據(jù)設(shè)計要求確定并構(gòu)建目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)建多目標函數(shù)4.必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。1.設(shè)計變量一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。在設(shè)計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)?！斓谌?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。

由n個設(shè)計變量為坐標所組成的實空間稱作設(shè)計空間。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。按照產(chǎn)品設(shè)計變量的取值特點，設(shè)計變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。圖1-5設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a）二維設(shè)計問題（b）三維設(shè)計問題只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標表示。設(shè)計空間—設(shè)計點的集合（維實歐氏空間）。當設(shè)計點連續(xù)時,為直線;為平面;為立體空間;

為超越空間.

設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復(fù)雜。小型設(shè)計問題：一般含有2~10個設(shè)計變量；中性設(shè)計問題：10~50個設(shè)計變量；大型設(shè)計問題：50個以上的設(shè)計變量。目前已能解決200個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。如何選定設(shè)計變量

任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點：（1）抓主要，舍次要。

對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。

例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計常量。

2.約束條件

設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。①根據(jù)約束性質(zhì)分：

性能約束——針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性要求等；

側(cè)面約束（邊界約束）——針對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。③顯式約束和隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。②根據(jù)數(shù)學(xué)表達式的形式分：

等式約束：

不等式約束：圖1-6設(shè)計空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計空間中的約束線(b)三變量設(shè)計空間中的約束面可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間的活動范圍。（對應(yīng)不可行域）

如右下圖所示滿足兩項約束條件的二維設(shè)計問題的可行域D為ABC涵蓋區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。約束條件：圖1-7約束條件規(guī)定的可行域D3.目標函數(shù)

為了對設(shè)計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)。用它可以評價設(shè)計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)。記作：

在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷想f(x)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得的f(x)最好或最滿意的x值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，應(yīng)注意目標函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量。

在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。通常

在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標函數(shù)稱為單目標函數(shù)。當在同一設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。

在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。目前處理多目標設(shè)計問題常用的方法是組合成一個復(fù)合的目標函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即目標函數(shù)的等值線（面）c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空間中，f（x1，x2）=c代表x1-x2設(shè)計平面上的一族曲線。對于具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。

目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值線（面）的方法。目標函數(shù)的等值線（面）的數(shù)學(xué)表達式為：

如上圖表示目標函數(shù)f(x)與兩個設(shè)計變量x1和x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖形形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使各點所組成的連線。等值線等值線的“心”（以二維為例）一個“心”：是單峰函數(shù)的極（?。┲迭c，是全局極（?。┲迭c。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認為極值點在無窮遠處。多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（小）值點只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點和“鞍點”（須正確判別）的值，才能確定極（小）值點。等值（線）面：4.優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是對優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。優(yōu)化設(shè)計問題的一般數(shù)學(xué)表達式為：數(shù)學(xué)模型的分類：(1)按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計變量和參數(shù)的性質(zhì)分：確定型模型隨機型模型設(shè)計變量和參數(shù)取值確定設(shè)計變量和參數(shù)取值隨機(2)按目標函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：a.目標函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計變量的線形函數(shù)稱為線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型一般為：b.若目標函數(shù)是設(shè)計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。其一般表達式為：建立優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析；對設(shè)計問題各參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量；根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)；必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除各組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的分類（1）按有無約束條件分：無約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題（2）按約束條件和目標函數(shù)是否同時為線性分：線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題（居多）（3）按問題規(guī)模的大小分：大型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在50以上中型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在10~50

小型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在10個以下對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題:二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。一、幾何解釋無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點。在設(shè)計空間內(nèi)，目標函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。5.優(yōu)化問題的幾何解釋等值線—等高線等值線－等高線：它是由許多具有相同目標函數(shù)值的設(shè)計點所構(gòu)成的平面曲線目標函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達式為：a）極值點處于多角形的某一頂點上b）極值點處于等值線的中心c）極值點處于約束曲線與等值線的切點上d）極值點處于約束曲線與等值線的切點上e）極值點處于兩個約束曲線的交點上目標函數(shù)等值線是以點(2,0)為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：約束方程所圍成的可行域是D。例1：如下二維非線性規(guī)劃問題圖解法求解例2：解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得到：該切點為對應(yīng)的最優(yōu)值為

由示例可知，對二維最優(yōu)化問題，可采用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值稱為目標函數(shù)的等值面。不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)；等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化的較快，而稀疏的地方變化的比較慢；一般地，在極值點附近，等值面（線）近似呈現(xiàn)為同心橢圓球面族（橢圓族）。等值面具有以下性質(zhì)：求解優(yōu)化問題的基本解法有：

解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。

局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩?！斓谒墓?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法

最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：

1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；3）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機的工作特點相一致。

數(shù)值解法：這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法，其中也可能用到解析解法。

O優(yōu)化設(shè)計的兩類方法：優(yōu)化準則法，數(shù)學(xué)規(guī)劃法圖1-8尋求極值點的搜索過程

1）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點X（0），從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步達到X（1）點；2）得到新點X（1）后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當?shù)牟介L，從X（1）點出發(fā)再跨出一步，達到X（2）點，并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計算，最終達到目標函數(shù)的最優(yōu)點。1.求解步驟數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

即進行反復(fù)數(shù)值計算，尋求目標函數(shù)值不斷下降的可行計算點，知道最后獲得足夠精度的最優(yōu)點。該方法的求優(yōu)過程可歸納為以下步驟：迭代計算機逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖數(shù)值迭代法的迭代格式----第k步迭代計算所得到的點。稱為第k步迭代點，亦第k步設(shè)計方案。其中：----第k步迭代計算的搜索方向。----第k次迭代計算的步長。運用迭代法，每次迭代所得新點的目標函數(shù)值應(yīng)滿足函數(shù)值下降的要求：收斂：數(shù)值迭代法關(guān)鍵要解決的問題：1）怎樣確定搜索方向2）如何確定迭代步長3）如何判斷是否找到最優(yōu)點，以終止迭代2.迭代終止準則（1）點距準則ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)即（2）函數(shù)值下降量準則xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)或--絕對下降量--相對對下降量（3）目標函數(shù)梯度準則采用哪種收斂準則，可視具體問題而定?？扇?/p>

上述準則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點的程度，但都有一定的局限性。在實際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時滿足來進行判定。圖1-9優(yōu)化設(shè)計流程機械優(yōu)化設(shè)計第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)85第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§第一節(jié)

多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度§第二節(jié)

多元函數(shù)的泰勒展開§第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件§第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃§第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件§第六節(jié)不等式約束優(yōu)化問題的極值條件861、方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)的定義是：

二元函數(shù)在點處沿某一方向的變化率，其定義為方向?qū)?shù)

§第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度87圖1二維空間中的方向偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)的關(guān)系Ox2x1x10x20x0

x1

x2

sxS

1

288三元函數(shù)

在

點處沿s方向

的方向?qū)?shù)依次類推，即可得到n元函數(shù)在點x0處沿s方向的方向?qū)?shù)

892、二元函數(shù)的梯度令為函數(shù)F(x1，x2)在x0點處的梯度90

當梯度方向和d方向重合時，方向?qū)?shù)值最大，即梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，而梯度的模就是函數(shù)值變化率的最大值。梯度的模：91多元函數(shù)的梯度92多元函數(shù)的梯度的模：函數(shù)的梯度方向與函數(shù)的等值面相垂直，也就是和等值面上過x0的一切曲線相垂直。由于梯度的模因點而異，即函數(shù)在不同點處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。93例1：求二次函數(shù)在點處的梯度。

解：在點處的梯度為：94例2：試求二次函數(shù)在點處的最速下降方向，并求沿這個方向移動一個單位長度后新點的目標函數(shù)值。

解：則函數(shù)在處的最速下降方向為95該方向上的單位向量為新點該點函數(shù)值96常用梯度公式：注意：梯度為向量二次型97在

點處的泰勒展開為：其中1、一元函數(shù)§第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開982、二元函數(shù)其中：二元函數(shù)在點處的泰勒展開式為：99上式寫成矩陣形式：100令上式可寫成稱為函數(shù)在點處的海賽（Hessian）矩陣參見教材例題P30101海賽矩陣是由函數(shù)在點處的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的方陣。由于函數(shù)的二次連續(xù)性，有：所以矩陣為對陣方陣。102海賽矩陣3、多元函數(shù)其中：梯度泰勒展開式103若將函數(shù)的泰勒展開式只取到線性項，即取則是過點和函數(shù)所代表的超曲面相切的切平面。若將函數(shù)的泰勒展開式取到二次項時，則得到二次函數(shù)形式，在線性代數(shù)中將二次齊次函數(shù)稱為二次型。矩陣形式-----對稱矩陣104當對任何非零向量x使則二次型函數(shù)正定，G為正定矩陣。105海賽矩陣的特征：是實對稱矩陣。4、海賽矩陣與正定矩陣正定的充要條件：矩陣G的各階順序主子式為正，即矩陣負定的充要條件：矩陣G的奇數(shù)階主子式主子式偶數(shù)階主子式海賽矩陣的正定性：正定-----為全局極小值點的充分條件負定-----為全局極大值點的充分條件106例3

判定矩陣是否正定？解：該對稱矩陣的三個主子式依次為：故可知矩陣G是正定的。107定理：若二次函數(shù)中Q正定，則它的等值面是同心橢球面族，且中心為證明：作變換，代入二次函數(shù)式中：結(jié)論：Q為正定矩陣的二次型的等值面是以的同心橢球面族。原二次函數(shù)就是以為中心的同心橢球面族，橢圓中心為極小值點。108例4把二次函數(shù)化為矩陣向量形式并檢驗Q是否正定，如正定，試用公式求這個函數(shù)的極小點。解：與題中函數(shù)比較各系數(shù)得：由計算知Q正定，極小點109的梯度和Hesse矩陣。解：因為

則又因為：故Hesse陣為：例5：求目標函數(shù)1101、一元函數(shù)對于可微的一元函數(shù)判斷在處是否取得極值的過程：則為極小點。逐次檢驗其更高階導(dǎo)數(shù)的符號，開始不為零的導(dǎo)數(shù)階數(shù)若為偶次，則為極值點，若為奇次，則為拐點。

則為極大點?！斓谌?jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1112、二元函數(shù)

定理1：若二元可微函數(shù)在處取得極值的必要條件是：即凡滿足上式的點稱為函數(shù)的駐點（零向量）112如下圖所示的二元函數(shù)，在M0點雖有和是個駐點，但它不是極值點。113定理2：若二元可微函數(shù)在的某個鄰域取得極小值的充分條件是要求在該點附近的一切點均滿足：若函數(shù)存在連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，當滿足則泰勒展開式的函數(shù)增量近似式（略三階以上高階微量）為：114令則可見，函數(shù)增量的性態(tài)與A,B,C的值有關(guān)?？梢宰C明，當滿足以下條件時，為極小值（證明略）。此條件反映了函數(shù)在該點的海賽矩陣的各階主子式均大于零（即正定）。115結(jié)論：二元函數(shù)在某點取得極小值的充分條件是要求該點處的海賽矩陣為正定。且

對于二元函數(shù)在處取得極值的充分必要條件是：參見教材例題P32

1163、多元函數(shù)對于多元函數(shù)若在處取得極值，則必要條件：充分條件：正定或負定117當極值點x*能使f(x*)在整個可行域中為最小值時，即在整個可行域中對任一x都f(x)>=f(x*),則x*為全域最優(yōu)點（全域極小點）。若f(x*)為局部可行域中的極小值而非整個可行域的最小值時，則稱x*為局部最優(yōu)點或相對最優(yōu)點。優(yōu)化的目標是全域最優(yōu)點。為了判斷某個極值點是否為全域最優(yōu)點，研究函數(shù)的凸性是必要的?！斓谒墓?jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃118函數(shù)的凸性表現(xiàn)為單峰性。對于具有凸性特點的函數(shù)來說，其極值點只有一個，因而該點既是局部最優(yōu)亦是全域最優(yōu)點。為了研究函數(shù)的凸性，下面引入凸集的概念：1191、凸集如果對一切及一切滿足的實數(shù)，點則稱集合為凸集，否則稱為非凸集。yx2x1若y是x1和x2連線上的點，則有整理后即得圖2-8

二維空間的凸集與非凸集120凸集的性質(zhì)：若D為凸集，為一個實數(shù)，則集合仍是凸集；若D和F均為凸集，則其和（或并）仍是凸集；任何一組凸集的積（或交）仍是凸集。圖2-9凸集的性質(zhì)1212、凸函數(shù)具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值亦即全域最優(yōu)值的函數(shù)，稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。其數(shù)學(xué)定義是：設(shè)f(x)為定義在n維歐式空間中的一個凸集D上的函數(shù)，如果對于任何實數(shù)以及對D中任意兩點x1，x2恒有：則為D上的凸函數(shù)，若不滿足上式，則為凹函數(shù)。如式中的等號去掉，則稱其為嚴格凸函數(shù)。122凸函數(shù)的幾何意義：在函數(shù)曲線上取任意兩點連成一直線段，則該線段上任一點的縱坐標值必大于或等于該點處的原函數(shù)值。123凸函數(shù)的性質(zhì)1）若f(x)為定義在凸集D上的一個凸函數(shù)，對于任意實數(shù)a>0，則af(x)也是凸集D上的凸函數(shù)；2）定義在凸集D上的兩個凸函數(shù)f1(x),f2(x)，其和f1(x)+f2(x)亦為該凸集上的一個凸函數(shù)；3）若f1(x),f2(x)為定義在凸集D上的兩個凸函數(shù)，為兩個任意正數(shù)，則仍為D上的凸函數(shù)。1243、凸性條件（1）根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的梯度）來判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對凸集R內(nèi)任意不同兩點、，下面不等式恒成立。125（2）根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（海賽矩陣)來判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件為：海賽矩陣在R上處處半正定。對于嚴格的凸函數(shù)，其充要條件為海賽矩陣為正定。當海賽矩陣G的主子式:det(G)＞0時，矩陣正定

det(G)≥0時，矩陣半正定

det(G)＜0時，矩陣負定

det(G)≤0時，矩陣半負定G(x*)正定，是x*為全局極小值點的充分條件；G(x*)半正定,是x*為局部極小值點的充分條件；G(x*)負定，是x*為全局極大值點的充分條件；G(x*)半負定,是x*為局部極大值點的充分條件。說明：1264、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題

若、都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。127凸規(guī)劃的性質(zhì)：2）可行域為凸集。3）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。1）若給定一點，則集合為凸集。128不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實際應(yīng)用中，要證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時甚至比求解優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設(shè)計的求解中，就不必花精力進行求證，而通常是從幾個初始點出發(fā)，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標函數(shù)值最好的解。注意：129等式約束優(yōu)化問題：求解等式約束化問題的理論基礎(chǔ)是導(dǎo)出極值存在的條件。

對這一問題在數(shù)學(xué)上有兩種處理方法：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法）?！斓谖骞?jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件1301、消元法（降維法）1311322、拉格朗日乘子法（升維法）思想:通過增加變量將等式約束化問題變成無約束化問題。所以又稱作升維法。

引入拉格朗日乘子，并構(gòu)成一個新的目標函數(shù)拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子新目標函數(shù)的極值的必要條件：133134庫恩—塔克條件（K-T條件）不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件是著名的庫恩—塔克（Kuhn-Tucker）條件,它是非線性優(yōu)化問題的重要理論。為了便于理解庫恩—塔克條件，首先分析一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件?！斓诹?jié)不等式約束優(yōu)化問題的極值條件1351、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件一元函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的極值問題，可表示為：求解思想:引入松弛變量使不等式約束變成等式約束，再利用拉格朗日乘子法求解等式約束的極值問題。136這樣可以轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)：是對應(yīng)于不等式約束的拉格朗日乘子，其值均為非負的。設(shè)為松弛變量，則上兩個不等式可寫為如下兩個等式：137對于一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件，可完整的表示為：結(jié)論：138從以上分析可以看出，對應(yīng)于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標集合。一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：極值條件中只考慮起作用的約束和相應(yīng)的乘子。1392、庫恩—塔克條件

庫恩—塔克條件（K-T條件）可表述為：對于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題：140庫恩—塔克條件表明：如點是函數(shù)的極值點，要么（此時）或者目標函數(shù)的負梯度等于起作用約束梯度的非負線性組合（此時）。141庫恩—塔克條件的幾何意義：在約束極小值點處，函數(shù)的負梯度一定能表示成起作用約束在該點梯度（法向量）的非負線性組合。142143Ox1x2極值點處于等值線的中心極值點處于兩個約束曲線的交點上x﹡g1

(x)＝0g2

(x)＝0g3

(x)＝0Ox1x2x﹡g1(x)＝0g2(x)＝0起作用約束：144從圖中可以看出，處在和即線性組合的系數(shù)為正，是在取得極值的必要條件。角錐之內(nèi)，x1x2Og2(x)=0g1(x)=0F(x)=C

g2(xk)

g1(xk)－

F(xk)xk可行域點xk處的切平面x1x2Og2(x)=0g1(x)=0F(x)=C

g2(xk)

g1(xk)－

F(xk)xk可行域點xk處的切平面(a)(b)145同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題：庫恩—塔克條件（K-T條件）：146庫恩—塔克條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件，可用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。對于目標函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況，符合K-T條件的點一定是全局最優(yōu)點。這種情況K-T條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。147例庫恩—塔克（K-T）條件應(yīng)用舉例判斷是否為約束最優(yōu)點？

K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。148解：（1）當前點為可行點，因滿足約束條件（2）在起作用約束為，因（3）求各函數(shù)梯度：149（4）求拉格朗日乘子由于拉格朗日乘子均為非負，說明是一個局部最優(yōu)點，因為它滿足K-T條件。150圖13應(yīng)用庫恩-塔克條件尋找約束極值點151END機械優(yōu)化設(shè)計第三章一維搜索方法×第一節(jié)

概述§第二節(jié)

搜索區(qū)間的確定與區(qū)間消去法原理§第三節(jié)

一維搜索的試探方法§第四節(jié)

一維搜索的插值方法§

第三章一維搜索方法

當采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法尋求多元函數(shù)的極值點時，一般要進行一系列如下格式的迭代計算：當方向給定，求最佳步長就是求一元函數(shù)的極值問題。這一過程被稱為一維搜索。

§第一節(jié)一維搜索的概念求多元函數(shù)極值點，需要進行一系列的一維搜索?？梢娨痪S搜索是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。求解一元函數(shù)的極小點，可采用解析解法，即利用一元函數(shù)的極值條件求在用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求時，所用的函數(shù)是僅以步長因子為變量的一元函數(shù)，而不是以設(shè)計點x為變量的多元函數(shù)。為了直接利用的函數(shù)式求解最佳步長因子?？砂鸦蛩暮唽懶问竭M行泰勒展開，取到二階項，即將上式對進行微分并令其等于零，給出極值點應(yīng)滿足的條件從而求得這里是直接利用函數(shù)而不需要把它化成步長因子。的函數(shù)。不過，此時需要計算點處的梯度 和海賽矩陣。解析解法的缺點——需要進行求導(dǎo)計算。對于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜、求導(dǎo)困難或無法求導(dǎo)的情況，使用解析法將是非常不便的。因此，在優(yōu)化設(shè)計中，求解最佳步長因子主要采用數(shù)值解法，利用計算機通過反復(fù)迭代計算求得最佳步長因子的近似值。數(shù)值解法的基本思路是：首先確定所在的搜索區(qū)間，然后根據(jù)區(qū)間消去法原理不斷縮小此區(qū)間，從而獲得的數(shù)值近似解。一維搜索是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。*一維搜索方法解析法高等數(shù)學(xué)已學(xué)過，即利用一維函數(shù)的極值條件：

一維搜索也稱直線搜索。這種方法不僅對于解決一維最優(yōu)化本身具有實際意義，而且也是解多維最優(yōu)化問題的重要支柱。求一維搜索方法數(shù)值解法分類1.解析法：

步驟:①f(X(k)+αS(k))沿S(k)

方向在x(k)

點進行泰勒展開；②取二次近似：

對α求導(dǎo)，令其為零。

④求得最優(yōu)步長數(shù)值解法基本思路：

先確定所在的搜索區(qū)間，然后根據(jù)區(qū)間消去法原理不斷縮小此區(qū)間，從而獲得的數(shù)值近似解。解析解法對于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜、求導(dǎo)困難等情況難以實現(xiàn)。在實際優(yōu)化設(shè)計中，數(shù)值解法的應(yīng)用更為有效，且適合計算機的運算特點。

一維搜索也稱直線搜索。這種方法不僅對于解決一維最優(yōu)化問題具有實際意義，而且也是求解多維最優(yōu)化問題的重要支柱。一維搜索一般分為兩大步驟：(1)確定初始搜索區(qū)間[a，b]，該區(qū)間應(yīng)是包括一維函數(shù)極小點在內(nèi)的單谷區(qū)間。(2)在單谷區(qū)間[a,b]內(nèi)通過縮小區(qū)間尋找極小點。1、確定搜索區(qū)間的外推法在給定區(qū)間內(nèi)僅有一個谷值（或有唯一的極小點）的函數(shù)稱為單谷函數(shù)，其區(qū)間稱為單谷區(qū)間。函數(shù)值：“大—小—大”圖形：“高—低—高”單谷區(qū)間中一定能求得一個極小點?！斓诙?jié)搜索區(qū)間的確定與區(qū)間消去法原理從開始，以初始步長向前試探。如果函數(shù)值上升，則步長變號，即改變試探方向。如果函數(shù)值下降，則維持原來的試探方向，并將步長加倍。區(qū)間的始點、中間點依次沿試探方向移動一步。此過程一直進行到函數(shù)值再次上升時為止，即可找到搜索區(qū)間的終點。最后得到的三點即為搜索區(qū)間的始點、中間三點和終點，形成函數(shù)值的“高－低－高”趨勢。單谷區(qū)間f(x)0α1α3α0f(x)α3α1說明：單谷區(qū)間內(nèi)，函數(shù)可以有不可微點，也可以是不連續(xù)函數(shù)；外推方法基本思想：對任選一個初始點及初始步長，通過比較這兩點函數(shù)值的大小，確定第三點位置，比較這三點的函數(shù)值大小，確定是否為“高—低—高”形態(tài)。步驟：

1）選定初始點a1，初始步長h=h0，計算y1=f(a1)和y2=f(a1+h)2）比較y1和y2；a）如果y1>y2，向右前進，加大步長h=2h0，轉(zhuǎn)（3）向前；b）如果y1<y2，向左后退，h=-2h0，將a1和a2,y1和y2的值互換。轉(zhuǎn)（3）向后探測；c）如果y1=y2，極小點在a1和a1+h之間。3）產(chǎn)生新的探測點a3=a2+h，y3=f(a3)；4）比較函數(shù)值y2和y3：a）如果y2>y3

，加大步長h=2h，a1=a2,a2=a3,轉(zhuǎn)（3）繼續(xù)探測；b）如果y2<y3，則初始區(qū)間得到：a=min[a1,a3],b=max[a1,a3]，函數(shù)最小值所在區(qū)間為[a,b]。右圖表示沿的正向試探。每走一步都將區(qū)間的始點、中間點沿試探方向移動一步（進行換名）。經(jīng)過三步最后確定搜索間，并且得到區(qū)間始點、中間點和終點所對應(yīng)的函數(shù)值。y1y3→y2y2→y1a3→a2a2→a1a1Oaa3h0h02h0圖3-2正向搜索的外推法右圖所表示的情況是：開始是沿的正方向試探，但由于函數(shù)值上升而改變了試探方向，最后得到始點，中間點和終點及它們的對應(yīng)函數(shù)值，從而形成單谷區(qū)間為一維搜索區(qū)間。y1←y2a2←a3a1←a2←a1Oaa32h0h0h0y3y1←y2←y1y2←y3a1←a2圖3-3反向搜索的外推法khx1x2x30h0初始點初始點+h012h0初始點初始點+h0初始點+3h024h0初始點+h0初始點+3h0初始點+7h038h0初始點+3h0初始點+7h0初始點+15h0前進搜索步驟表khx1x2x30h0初始點初始點+h012h0初始點+h0初始點初始點-2h024h0初始點初始點-2h0初始點-6h038h0初始點-2h0初始點-6h0初始點-14h0后退搜索步驟表khx1y1x2y2x3y300.10.2090.18.2030.36.68110.40.18.2030.36.6810.74.42920.80.36.6810.74.4291.57.125khx1y1x2y2x3y300.1-0.21.812.0961.914.3771.914.3771.812.0961.68.4881-0.41.812.0961.68.4881.24.5842-0.81.68.4881.24.5840.45.9922、區(qū)間消去法原理基本思想：

，搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點的數(shù)值近似解。在搜索區(qū)間內(nèi)任取兩點且計算其函數(shù)值得如下于是將有下列三種可能情形：(1)f（a1）<f（b1）,則極小點必在區(qū)間[a，b1]內(nèi);(2)f（a1）>f（b1）,則極小點必在區(qū)間[α1，b]內(nèi);(3)f（a1）=f（b1）,則極小點必在區(qū)間[α1，b1]內(nèi)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a1a1a1b1baababb1b1根據(jù)以上所述，只要在區(qū)間[a,b]內(nèi)取兩個點，算出它們的函數(shù)值并加以比較，就可以把搜索區(qū)間[a,b]縮短成[a,b1]，[α1，b]

或

[α1，b1]。對于第一種情況，我們已算出區(qū)間[a,b1]內(nèi)α1點的函數(shù)值，如果要把搜索區(qū)間[a,b1]進一步縮短，只需在其內(nèi)再取一點算出函數(shù)值并與f（α1）加以比較，即可達到目的。對于第二種情況，同樣只需再計算一點函數(shù)值就可以把搜索區(qū)間繼續(xù)縮短。第三種情形與前面兩種情形不同，因為在區(qū)間

[α1，b1]內(nèi)缺少已算出的函數(shù)值。要想把區(qū)間[α1，b1]進一步縮短，需在其內(nèi)部取兩個點（而不是一個點）計算出相應(yīng)的函數(shù)值再加以比較才行。如果經(jīng)常發(fā)生這種情形，為了縮短搜索區(qū)間，需要多計算一倍數(shù)量的函數(shù)值，這就增加了計算工作量。程序設(shè)計技巧為了避免多計算函數(shù)值，我們把第三種情形合并到前面兩種情形中去。例如，可以把前面三種情形改為下列兩種情形：從上述的分析中可知，為了每次縮短區(qū)間，只需要在區(qū)間內(nèi)再插入一點并計算其函數(shù)值。如此反復(fù)進行下去，當搜索區(qū)間長度足夠小時，可用區(qū)間內(nèi)的某點作為極小點的近似值。①若則取為縮短后的搜索區(qū)間。②若則取為縮短后的搜索區(qū)間。3、一維搜索方法分類

根據(jù)插入點位置的確定方法，可以把一維搜索法分成兩大類：試探法：即按照某種規(guī)律來確定區(qū)間內(nèi)插入點的位置，此點位置的確定僅僅按照區(qū)間縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系。如黃金分割法，裴波納契法等。裴波納契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144

插值法（函數(shù)逼近法）：通過構(gòu)造插值函數(shù)來逼近原函數(shù)，用插值函數(shù)的極小點作為區(qū)間的插入點，如牛頓法（切線法）、二次插值法（拋物線法）、三次插值法等。概述在實際計算中，最常用的一維搜索試探方法是黃金分割法，又稱作0.618法。我們可以通過學(xué)習黃金分割法來了解一維搜索試探方法的基本思想。在搜索區(qū)間[a,b]內(nèi)適當插入兩點α1、α2，并計算其函數(shù)值。α1、α2將區(qū)間分成三段。應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點的數(shù)值近似解?！斓谌?jié)一維搜索的試探方法——黃金分割法黃金分割法黃金分割法是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法。適用于[a,b]區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對函數(shù)除要求“單谷”外不作其它要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當廣。黃金分割法對插入點的要求：

1）要求插入點α1、α2的位置相對于區(qū)間[a,b]兩端點具有對稱性，即

其中為待定常數(shù)。2）黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。即每次縮小所得的新區(qū)間長度與縮小前區(qū)間長度之比（即：區(qū)間收縮率）為定值。設(shè)原區(qū)間[a,b]長度為1如下圖所示，保留下來的區(qū)間[a,α2]長度為，區(qū)間縮短率為。為了保持相同的比例分布，新插入點α3應(yīng)在位置上，α1在原區(qū)間的位置應(yīng)相當于在保留區(qū)間的位置。故有取方程正數(shù)解，得α1、α2將區(qū)間分成三段黃金分割法要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。兩內(nèi)分點值:結(jié)論：所謂黃金分割是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值即。黃金分割法的搜索過程（1）給出初始搜索區(qū)間及收斂精度，將賦以

（2）按坐標點計算公式計算并計算其對應(yīng)的函數(shù)值

（3）根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標點計算公式，進行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計算一個新的試驗點及其函數(shù)值。（4）檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足返回到步驟（2）。（5）如果條件滿足，則取最后兩試驗點的平均值作為極小點的數(shù)值近似解?？s短區(qū)間的總次數(shù)（迭代次數(shù)）:黃金分割法程序框圖給定否否是是止也可采用迭代次數(shù)是否大于或等于k作終止準則。舉例對函數(shù)，當給定搜索區(qū)間時，試用黃金分割法求極小點。迭代序號aα1α2bf1比較f20-30.0561.94450.115<7.6671-3-1.1110.0561.944-0.987<0.1152-3-1.832-1.1110.056-0.306>-0.9873-1.832-1.111-0.6650.056-0.987<-0.8884-1.832-1.386-1.111-0.665-0.851>-0.9875-1.386-1.111-0.940-0.665例3-1用黃金分割法求函數(shù)f(x)=3x3-4x+2的極小點，給定x0=0,h=1,ε=0.2。解：1）確定初始區(qū)間a1=x0=0,f1=f(a1)=2a2=x0+h=0+1=1,f2=f(a2)=1由于f1>f2,應(yīng)加大步長繼續(xù)向前探測。a3=x0+2h=0+2=2,f3=f(a3)=18由于f2<f3,可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即[a,b]=[a1,a3]=[0,2]2）用黃金分割法縮小區(qū)間

第一次縮小區(qū)間：

a1=0+0.382×(2-0)=0.764,f1=0.282a2=0+0.618×(2-0)=1.236,f2=2.72

f1<f2,新區(qū)間[a,b]=[a,a2]=[0,1.236],b-a>0.2第二次縮小區(qū)間：令x2=x1=0.764,f2=f1=0.282

x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472,f1=0.317由于f1>f2,故新區(qū)間[a,b]=[x1,b]=[0.472,1.236]因為b-a=1.236-0.472=0.764>0.2,應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。

第三次縮小區(qū)間：令x1=x2=0.764,f1=f2=0.282

x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944,f2=0.747由于f1<f2,故新區(qū)間[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.944]因為b-a=0.944-0.472=0.472>0.2,應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。

第四次縮小區(qū)間：令x2=x1=0.764,f2=f1=0.282

x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652,f1=0.223由于f1<f2,故新區(qū)間[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.764]因為b-a=0.764-0.472=0.292>0.2,應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。第五次縮小區(qū)間：令x2=x1=0.652,f2=f1=0.223

x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584,f1=0.262由于f1>f2,故新區(qū)間[a,b]=[x1,b]=[0.584,0.764]因為b-a=0.764-0.584=0.18<0.2,停止迭代。極小點與極小值：x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674,f(x*)=0.222§第四節(jié)一維搜索的插值方法概述一維搜索問題是在某一確定區(qū)間內(nèi)尋求一元函數(shù)的極小點的位置，在某些情況下，如果沒有函數(shù)表達式，但能夠給出若干試驗點處的函數(shù)值，就可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值法建立函數(shù)的某種近似表達式，進而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)極小點的近似值。這種方法稱作插值法，又稱作函數(shù)逼近法。試探法（如黃金分割法）與插值法的比較：不同點：表現(xiàn)在試驗點（插入點）位置的確定方法不同。多項式是函數(shù)逼近的一種常用工具。在搜索區(qū)間內(nèi)可以利用若干試驗點處的函數(shù)值來構(gòu)造低次多項式，用它作為函數(shù)的近似表達式，并用這個多項式的極小點作為原函數(shù)極小點的近似。常用的插值多項式為二次多項式。牛頓法（切線法）利用一點的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)值和二階導(dǎo)數(shù)值來構(gòu)造二次函數(shù)。二次插值法（拋物線法）

利用三個點的函數(shù)值形成一個拋物線來構(gòu)造二次函數(shù)。

1、牛頓法（切線法）對于一維搜索函數(shù)，假定已經(jīng)給出極小點的一個較好的近似點，在點附近用一個二次函數(shù)來逼近函數(shù)然后以該二次函數(shù)的極小點作為極小點的一個新的近似點。根據(jù)極值必要條件：牛頓法的幾何解釋：在上圖中，在處用一拋物線代替曲線，相當于用一斜線代替。這樣各個近似點是通過對作切線求得與