四川省成都市四川天府新區(qū)華陽中學2024−2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題含答案

四川省成都市四川天府新區(qū)華陽中學2024?2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設向量，若，則（

）A． B． C．1 D．42．在空間坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．3．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．將直線繞點逆時針旋轉90°得到直線，則的方程是（

）A． B．C． D．5．已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．6．已知曲線，點A為曲線C上任意一點，過點A作軸的垂線，垂足為點N，點P為AN上一點，且滿足，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．已知，，，直線l過點B，且與線段AP相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．或8．若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．給出下列命題，其中正確的是（

）A．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B．在空間直角坐標系中，點關于坐標平面對稱點的坐標是C．點P為平面ABC上一點，且，則D．非零向量，若，則為銳角10．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）

A．CC1⊥BDB．C．夾角是60°D．直線與直線的距離是11．“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯省所創(chuàng)詞匯，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離，則下列結論正確的是（

）A．若點，則B．若對于三點，則“”當且僅當“點在線段上”C．若點在圓上，點在直線上，則的最小值是D．若點在圓上，點在直線上，則的最小值是三、填空題（本大題共1小題）12．若向量，，則．四、解答題（本大題共1小題）13．求點到直線（為任意實數(shù)）的距離的最大值．五、填空題（本大題共1小題）14．已知點，直線被圓所截得弦的中點為，則MN的取值范圍是.六、解答題（本大題共5小題）15．的三個頂點，，，求：(1)邊上的高所在直線方程；(2)AC邊上的中線所在直線方程及中線的長度．16．已知圓C過點，點和點.(1)求圓C的標準方程；(2)設點為圓C上任意一點，求代數(shù)式的最值.17．在中，為直角，，點D，E分別在邊AC和邊AB上，且，，如圖甲.將折起到的位置，使，點M在棱上，如圖乙.(1)求證：；(2)若M是的中點，求CM與平面所成角的大小.18．已知圓，直線過點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.19．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比值為常數(shù)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點到的距離是點到的距離的2倍.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點作直線，交軌跡于，兩點，，不在軸上.（i）過點作與直線垂直的直線，交軌跡于，兩點，記四邊形的面積為，求的最大值；（ii）設軌跡與軸正半軸的交點為，直線，相交于點，試證明點在定直線上，求出該直線方程.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以，即，解得.故選：D.2．【答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的特征，可得點關于軸對稱的點坐標是.故選：A.3．【答案】C【詳解】直線的斜率為1，則傾斜角為.故選：C.4．【答案】B【詳解】由題意，，因為直線的斜率為1，則直線的斜率為，又在上，所以在上，所以的方程是，即.故選：B.5．【答案】B【詳解】圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.故選：B6．【答案】C【詳解】設，，則，由，得，則，又A為曲線C上任意一點，則將代入，得，即，即.故選：C.7．【答案】B【分析】畫出圖形，數(shù)形結合得到，求出，得到答案.【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線l的斜率k滿足，即且，所以．故選：B．8．【答案】C【詳解】如圖所示.設與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即.故選C.9．【答案】ABC【詳解】對A，若是空間的一個基底，則，，不共面，假設共面，則存在實數(shù)，，使，，，，不共面，，則，無解，故不共面，也是空間的一個基底，故A正確.選項B：點關于坐標平面的對稱點是，選項B正確.選項C：由空間向量共面的推論可知成立，，則，選項C正確.選項D：，則，，可能為零角或直角或銳角，選項D錯誤.故選：ABC.10．【答案】ABD【詳解】

如圖，設，則對于A，因，則，故A正確；對于B，因，，則，故B正確；對于C，，則，且設夾角為，則，因，則，即C錯誤；對于D,在平行六面體中，易得,則得,故,故點到直線的距離即直線與直線的距離.因，且，則，故D正確.故選：ABD.11．【答案】AD【分析】由定義可以判斷A選項，由數(shù)形結合即可判斷出B選項，CD選項是求點與點的“曼哈頓距離”，由基本不等式轉化成點到點的平面距離，借助數(shù)形結合即可判斷.【詳解】對于A選項：由定義可知，故A正確；對于B選項：設點，，則，顯然，當點在線段上時，，，所以成立，如圖：過點作軸，過點作軸，和相交于點，過點作于點，過點作于點，由圖可知顯然此時點不在線段上，故B錯誤；對于CD選項：因為當時，所以想要最小，點到直線距離最小時取得，所以過原點作直線交圓于，如圖：設，則所以設點，則又因為當，①當時，由；②當時，由又因為；所以的最小值為：.故C錯誤，D正確.故選AD.12．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的加法運算和模長公式求解.【詳解】由題意，，于是.故答案為：13．【答案】【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過點，由此得到P到直線l的最遠距離為，再利用兩點間的距離公式計算可得．【詳解】解：∵直線，∴可將直線方程變形為，∴，解得，由此可得直線系恒過點則P到直線l的最近距離為A，此時直線過P．P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA．∴．14．【答案】【詳解】由于直線恒過定點，圓心，設，則，故，即，化簡可得，故點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，由于在圓外，,故，即，故答案為：

15．【答案】(1)(2)；中線的長度為5.【詳解】（1）設邊上的高所在直線的斜率為，，則，由斜截式知邊上的高所在直線方程為：，即邊上的高所在直線方程為：.（2）的三個頂點，，，故邊上的中點，邊上的中線所在直線方程為，即.邊上的中線的長度.16．【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【詳解】（1）設圓C的標準方程為，則，解得，所以圓C的標準方程為.（2）由（1）知，圓C的圓心，半徑，由，因為表示點Px,y與之間的距離，即，又，所以，，則的最小值為，最大值為.

17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在圖甲中，，則，因此在圖乙中，，又平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知，平面，且，如圖，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，得.設與平面所成角的大小為，則，則，即與平面所成角的大小為.18．【答案】(1)或(2)面積最小值，此時直線的方程為【詳解】（1）解：由圓可得：圓心坐標為，半徑為，分以下兩種情況討論：若直線斜率不存在，則直線方程為，此時點到直線的距離為，故直線與圓相切，符合題意；若直線斜率存在，設直線方程為，即.由直線與圓相切可得：，解得.此時直線的方程為：，綜上直線的方程為：或.（2）解：由題意，設點、，則，，所以，直線的方程為，則，由基本不等式可得，即，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，此時，直線的方程為，即，所以，面積的最小值為，此時，直線的方程為.19．【答案】(1)(2)（i）7（ii）證明見解析，【詳解】（1）設點，由題意可得，即，化簡得，所以點的軌跡