山東省泰安市高二上學期11月期中考試數(shù)學試題（B卷）（含答案解析）

山東省泰安市高二上學期期中數(shù)學試題2024.11注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目選項的標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.直線在軸上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線的斜截式可直接得解.【詳解】對于直線，它在軸上的截距為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出斜率即可得出傾斜角.【詳解】設直線傾斜角為，由可得，則，由，可知.故選：C3.已知點沿著向量的方向移動到點Q，且，則點Q的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設,，利用求出，得到的坐標，即可求出點的坐標.【詳解】設,，則，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故選：C.4.已知圓，則過點的圓C的切線方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】分切線斜率存在與不存在討論即可.【詳解】，則其圓心坐標為，半徑為2，由于，可知點1,2在圓外，當切線斜率不存在時，此時切線方程為，符合題意，當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則，解得，此時直線方程為，即.綜上所述，切線方程為：或.故選：D.5.已知正方體中，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得和共面的平面的法向量，再逐項計算對應向量與法向量的數(shù)量積即可判斷得解.【詳解】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，如圖，不妨設正方體的棱長為，則，，所以，設和共面的平面的法向量為，則，令，則，對于A，，則，所以與和共面，故A正確；對于B，，則，所以不與和共面，故B錯誤；對于C，，則，所以不與和共面，故C錯誤；對于D，，則，所以不與和共面，故D錯誤；故選：A.6.已知直線與直線關于點對稱，則恒過的定點為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，求出點關于點的對稱點的坐標，即為所求.【詳解】直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點，點關于點的對稱點為，因此，直線恒過的定點.故選：C.7.已知正三棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，D為的中點，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點，以為原點建立空間直角坐標系，表示與平面的法向量，利用公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】取中點，則，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，∴，由圖可知，平面的法向量為.設與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.8.已知點在直線上，若以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用兩圓有公共點得到，進而利用兩點距離公式得到關于的二次不等式，解之即可得解.【詳解】因為點在直線上，所以，即，則，因為圓可化為，所以圓A的圓心為，半徑為，因為以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點，所以，即，即，解得，則，即，則.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，直線，若或，則a的值可能為（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用兩直線平行與垂直的性質(zhì)，分別列式即可得解.【詳解】對于直線，直線，若，則，所以，解得，故B正確；若，則，解得，經(jīng)檢驗，滿足要求，故C正確；由上述解析可知AD錯誤.故選：BC.10.已知圓，則（）A.點在圓內(nèi)B.若點在圓上，則的最大值為C.若圓上恰有三個點到直線的距離為1，則實數(shù)m的值為D.若點P在直線上，點在圓上，，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用點圓位置關系的判定方法可判斷A，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關系，從而列式可判斷B，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題，從而列式可判斷C，利用將軍欽馬問題，結合定點到圓上動點的距離問題可判斷D，從而得解.【詳解】對于A，因，所以點0,2在圓外，故A錯誤；對于B，因為圓，可化為，所以圓心，半徑為，設，則，又點Px,y在圓上，所以直線與圓有交點，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因為圓上恰有三個點到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對于D，設關于直線的對稱點為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當且僅當四點共線，且在線段時，等號成立，則的最小值為.故選：BCD.11.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，三棱錐的體積為定值B.當時，的面積S的最大值為C.當時，有且僅有一個點P，使得D.當時，有且僅有一個點P，使得平面【答案】AC【解析】【分析】確定點的位置，建立空間直角坐標系.等體積轉(zhuǎn)化可得選項A正確；由線面垂直得，分析的最大值可得選項B錯誤；利用計算的值只有一個，可得選項C正確；利用可得選項D錯誤.【詳解】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當時，，此時點到距離為，故，為定值，選項A正確.B.當時，，，當時，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項B錯誤.C.當時，，由得，，故有且僅有一個點P，使得，選項C正確.D.當時，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項D錯誤.故選：AC.【點睛】思路點睛：本題考查空間向量綜合問題，具體思路如下：（1）當時，分析條件可知點到距離為，利用等體積轉(zhuǎn)化可得，計算結果為定值.（2）當時，由平面得，，分析的最大值即可得到結果.（3）當時，計算的坐標，利用只能得到一個得，，故有且僅有一個點P，使得.（4）分析條件可得，要使平面，需，而，故不存在點P，使得平面.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算即可得到結果.【詳解】∵，，∴，∴.故答案為：6.13.已知在長方體中，，，則到平面的距離為______．【答案】1【解析】【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間距離的向量求法計算可得結果.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，可得，設平面的一個法向量為，可得，令，則，即，又，所以到平面距離為.故答案為：114.已知，，點C，D滿足，，則D點的軌跡方程為______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設的坐標，利用平面向量線性運算與模的坐標表示，結合求軌跡的相關點法即可得解.【詳解】依題意，設，又，，則，，，因為，所以，則，故，因為，所以，所以，則，所以D點的軌跡方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與軸交于點，與軸交于點，與交于點．（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線、的方程，求出點的坐標，根據(jù)兩直線平行求出所求直線的斜率，再利用點斜式可得出所求直線的方程；（2）求出點、，可求出AB的值，以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結果.【小問1詳解】由得，即點.因為所求直線與直線平行，所以，所求直線斜率為，故所求直線方程為，即.【小問2詳解】直線與軸交點的坐標為，直線與軸交點的坐標為0,3，則，點到的距離，所以，的面積.16.已知點，，點A關于直線的對稱點為C.（1）求的外接圓的標準方程；（2）若過點的直線被圓E截得的弦長為2，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先利用點關于直線對稱求得點的坐標，再利用待定系數(shù)法求得圓的一般方程，從而配方得解；（2）利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率存在與否，利用點線距離公式列式即可得解.【小問1詳解】依題意，設點，因為點與點關于直線對稱，所以，解得，故，設的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，當直線斜率不存在時，直線方程為，易知滿足題意；當直線斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，此時的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.17.如圖，在三棱錐中，，，M在線段上，且，N為的中點.（1）證明：；（2）求異面直線，所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易知平面，進而可求證；（2）取取的靠近點的三等分點，得到異面直線，所成的角為或其補角，再由余弦定理即可求解.【小問1詳解】證明：連接，如圖，，N為的中點.，，又平面，，平面，由平面，所以；【小問2詳解】取的靠近點的三等分點，連接，如圖，則，異面直線，所成的角為或其補角，由題意，，，，所以，又，,所以，則在中，，即異面直線，所成角的余弦值為.18.已知圓過點，圓心在直線上，且圓與直線相切．（1）求圓的標準方程；（2）若點為直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為、，求四邊形面積的最小值，并求出此時點的坐標．【答案】（1）（2）四邊形面積的最小值為，點的坐標為【解析】【分析】（1）設圓心，根據(jù)題意列關于的方程，解方程，可求出圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）推導出，可得出四邊形面積，分析可知，當時，取最小值，求出方程，聯(lián)立、的方程，求點的坐標，并求出的值，由此可得出四邊形面積的最小值.【小問1詳解】因為圓的圓心在直線上，設圓心為，根據(jù)題意可得，即，解得，故圓心為，該圓的半徑為，因此，圓的標準方程為.【小問2詳解】因為、都與圓相切，由切線長定理可得，又因，，則，且，，所以，四邊形面積，當時，取最小值，則四邊形面積最小，因為直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為y=?x?1，即，由得，即點的坐標為，此時，則四邊形面積的最小值為.19.如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點，點Q在線段上，且.（1）求證：平面；（2）當，時，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，若為內(nèi)的動點，平面，且與平面所成的角最大，試確定點G的位置.【答案】（1）證明見解析（2）（3）點位于中位線靠近的八等分點的第3個點處【解析】【分析】（1）利用中位線定與與平行線的傳遞性，結合線面平行的判定定理即可得證；（2）利用勾股定理與線面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標系，再分別求得平面與平面的法向量，利用空間向量法求面面角的方法即可得解；（3）先利用線面平行的性質(zhì)定理分析得在上，假設，再利用線面角的空間向量法分析得與平面所成的角時的值，從而得解.【小問1詳解】取BD中點，連接PO，是BM的中點，，且，在線段CD上取點，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.【小問2詳解】，則，，取BD中點，則，又平面，平面BCD，以為原點，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】由（2）知為BD中點，為AD中點，連接OM，，點為內(nèi)動點且平面QGM，