云南省昆明市官渡區(qū)尚品書(shū)院學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2尚品書(shū)院2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中高二數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若直線l的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實(shí)數(shù)x的值是A.1 B.5 C.﹣1 D.﹣5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平面垂直時(shí)直線的方向量與平面的法向量共線，利用共線時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)橹本€平面，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系求解參數(shù)，其中涉及到空間向量的共線計(jì)算，難度一般.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若則有，若則有.2.在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C. D.【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量與線面關(guān)系即可判斷.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，，，，，，因?yàn)椋耘c不垂直，A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?/平面，且平面，所以平面，B正確；，，，，，因?yàn)椋?，C正確；，，，，所以，D正確.故選：A.3.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線：，則C.點(diǎn)到直線的距離是D.過(guò)與直線平行的直線方程是【答案】D【解析】【分析】求解直線的傾斜角判斷A，B；點(diǎn)到直線的距離判斷C；求解直線方程判斷D.【詳解】對(duì)于，直線的斜率為，傾斜角為，A錯(cuò)誤；對(duì)于，直線的傾斜角為的傾斜角為，兩直線不垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于，點(diǎn)到直線的距離為，C錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)與直線平行的直線方程為，因?yàn)樗^(guò)，所以過(guò)與直線平行的直線方程是，D正確，故選：D．4.直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用截距式的幾何意義得到，，從而求得該圓的圓心與半徑，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)橹本€在x，y軸上的截距分別為4，2，則，，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，故以線段AB為直徑的圓的方程為，即故選：B.5.已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，求出過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線的斜率，即可求出的取值范圍.【詳解】圓的方程為，即，圓心為，半徑，則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程，顯然，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即．則，解得，所以的取值范圍為．故選：C．6.若橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，直接求的周長(zhǎng).【詳解】由橢圓方程可知根據(jù)橢圓的定義可知，，的周長(zhǎng)為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義，重點(diǎn)考查理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則的面積是（）A. B. C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓定義可求出的三邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面積，由對(duì)稱(chēng)性可知的面積.【詳解】解：由題意可得，，則，.因?yàn)椋?，，所以，則，故的面積是，由對(duì)稱(chēng)性可知的面積是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓定義、考查了余弦定理三角形面積公式及圖形的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題.8.已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓交于M點(diǎn),且滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是A. B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意知，直線y=(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1（-c，0），且傾斜角為60°，從而知∠MF2F1=30°，設(shè)|MF1|=x，利用橢圓的定義即可求得其離心率．【詳解】∵橢圓的方程為，作圖如右圖：

∵橢圓的焦距為2c，

∴直線y=(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1（-c，0），又直線y=(x+c)與橢圓交于M點(diǎn)，

∴傾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，

∴∠MF2F1=30°，

∴∠F1MF2=90°．

設(shè)|MF1|=x，則，|F1F2|=2c=2x，故x=c．

∴，

又|MF1|+|MF2|=2a，

∴2a=（+1）c，

∴該橢圓的離心率故選B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查直線與橢圓的位置關(guān)系，突出橢圓定義的考查，理解得到直線y=(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1（-c，0）是關(guān)鍵，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B.直線平面C.直線與平面所成角的正切值為 D.點(diǎn)到平面的距離是【答案】ABD【解析】【分析】依題意可得到為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，即可判斷A；利用線面平行的判定定理證明B；用線面角的定義可知為所求角，進(jìn)而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D．【詳解】解：對(duì)于A，，，，為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以與平面所成的角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD10.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.點(diǎn)到直線的距離是2C.若直線，則D.過(guò)與直線平行的直線方程是【答案】BD【解析】【分析】將直線方程的一般式化為斜截式可判斷A；利用點(diǎn)線距離公式可判斷B；利用兩直線的位置關(guān)系可判斷C；利用待定系數(shù)法，結(jié)合平行直線的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線，即，則其斜率，則其傾斜角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；對(duì)于C，直線，即，其斜率，而，故直線m與直線l不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，設(shè)所求直線的方程為，將代入，得，故，則所求直線為，故D正確.故選：BD.11.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標(biāo)，以及半徑和，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據(jù)大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關(guān)系是外離，又為圓上的點(diǎn)，為圓上的點(diǎn)，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無(wú)相交弦，D錯(cuò)誤.故答案為：ABC12.過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，則（）A.橢圓方程為B.橢圓方程C.過(guò)焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為的弦有條D.過(guò)焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為的弦只有一條【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意和橢圓的性質(zhì)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可判斷AB；設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用代數(shù)法求出弦長(zhǎng)即可判斷C；結(jié)合橢圓長(zhǎng)軸的定義即可判斷D.【詳解】因?yàn)檫^(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，所以，且，得，則，解得因此橢圓的方程為，因此A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為的弦所在直線的斜率顯然存在，且不為，所以設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交于，，則．由，得，，，，則，由，得，即，即直線的方程為，因此C正確；因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，而，所以過(guò)焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為的弦不存在，因此D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先將表示為，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合長(zhǎng)度和角度求解出，則結(jié)果可求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以長(zhǎng)為，故答案為：.14.若直線被圓截得線段的長(zhǎng)為4，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____________．【答案】7【解析】【分析】把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】把圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：，可得，即，所以圓心，半徑，又直線：，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€：被圓：截得線段的長(zhǎng)為4，根據(jù)勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案：7.15.直線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程可知直線恒過(guò)點(diǎn)，畫(huà)出圖象，先求出切線時(shí)，利用圓心到直線距離為半徑可求出，再結(jié)合圖形求出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，實(shí)數(shù)的取值，即可的的取值范圍．【詳解】解：如圖，由題知曲線即，表示以為圓心，2為半徑的半圓，該半圓位于直線上方，直線恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)橹本€與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，由圓心到直線的距離等于半徑得，解得，由圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的斜率不存在，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題16.已知、是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由得，，所以，，所以，設(shè)，，所以，所以，因?yàn)椋运?，所以，所以面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求解是解題關(guān)鍵.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，，底面ABCD，，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，．利用三角形的中位線定理和菱形的性質(zhì)可得，，利用面面平行的判定定理得到平面平面，進(jìn)而得到平面．（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．作于，連接，在中求出即可．【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，．由M為OA的中點(diǎn)，，而，,平面，故平面，又N為BC的中點(diǎn)，，平面，故平面，而平面MNE,平面平面，平面．【小問(wèn)2詳解】，或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．作于，連接，平面，平面，故,又平面OAP,故平面OAP，而平面OAP，，，，而,故，，則，與所成角的大小為．18.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離；【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC，AB，AA1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再借助空間向量即可得證.(2)在(1)的坐標(biāo)系中，求出平面與平面的法向量即可計(jì)算得解.(3)利用(2)的結(jié)論借助空間向量即可求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在四棱柱中，因側(cè)棱底面，，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC，AB，AA1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，，即，顯然是平面的一個(gè)法向量，于是得：，因此，平面，而平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由(1)可知，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，于是得，所以二面角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知，平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知兩直線和的交點(diǎn)為．（1）直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）圓過(guò)點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）聯(lián)立求出，根據(jù)平行關(guān)系，設(shè)出直線為，代入點(diǎn)，得到，求出答案；（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將與代入，得到方程組，并根據(jù)相切關(guān)系得到關(guān)于斜率的方程，聯(lián)立求出，求出答案.小問(wèn)1詳解】直線與直線平行，故設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，解得．直線和的交點(diǎn)．又直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，即直線的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的斜率為，故直線的斜率為1，由題意可得解得故所求圓的方程為．化為一般式：．20.已知關(guān)于、的方程．（1）若方程表示圓，求的取值范圍；（2）若圓與圓外切，求的值；（3）若圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二次方程表示圓可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，利用兩圓外切可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；（3）求出圓的圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】解：由已知可得，解得.【小問(wèn)2詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，該圓圓心為，半徑為，由于兩圓外切，則，解得.【小問(wèn)3詳解】解：圓的圓心到直線的距離，由勾股定理可得，解得.21.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A、B