2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第九章概率與統(tǒng)計第10講離散型隨機變量的均值與方差含解析

PAGE1-第10講離散型隨機變量的均值與方差1.一批排球中正品有m個，次品有n個，m＋n＝10(m≥n)，從這批排球中每次隨機取一個，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品個數(shù).若DX＝2.1，從這批排球中隨機抽取兩個，則至少有一個正品的概率p＝()A.eq\f(44,45)B.eq\f(14,15)C.eq\f(7,9)D.eq\f(13,15)2.(2024年四川)同時拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面對上時，就說這次試驗勝利，則在2次試驗中勝利次數(shù)X的均值是________.3.(2024年上海)賭博有陷阱.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的肯定值的1.4倍作為其獎金(單位：元).若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元).4.(2024年浙江)已知隨機變量ξi滿意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1—pi，i＝1,2.若0<p1<p2<eq\f(1,2)，則()A.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)5.(2024年浙江)設(shè)0<a<1，則隨機變量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時()A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大6.(2024年新課標Ⅲ)某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.37.(2024年寧夏高校附中統(tǒng)測)某人射擊一次擊中目標概率為eq\f(3,5)，經(jīng)過3次射擊，記X表示擊中目標的次數(shù)，則方差D(X)＝()A.eq\f(18,25)B.eq\f(6,25)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,5)8.(2024年浙江)設(shè)0<p<1，隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，()A.D(ξ)減小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大D.D(ξ)先增大后減小

9.(2024年新課標Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.10.某校從參與高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，畫出如圖X9-10-1所示部分頻率分布直方圖.視察圖形的信息，回答下列問題：(1)求第四小組的頻率，補全頻率分布直方圖，并估計該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)；(2)從被抽取的數(shù)學(xué)成果是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率；(3)假設(shè)從全市參與高一年級期末考試的學(xué)生中，隨意抽取4個學(xué)生，設(shè)這四個學(xué)生中數(shù)學(xué)成果為80分以上(包括80分)的人數(shù)為X(以該校學(xué)生的成果的頻率估計概率)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.圖X9-10-1

11.隨著經(jīng)濟的發(fā)展，個人收入的提高.自2024年10月1日起，個人所得稅起征點和稅率調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：個人所得稅稅率表(調(diào)整前)個人所得稅稅率表(調(diào)整后)免征額3500元免征額5000元級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率/%級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率/%1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部分102超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分203超過12000元至25000元的部分20………………(1)假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入/元[3000，5000)[5000，7000)[7000，9000)[9000，11000)[11000，13000)[13000，15000)人數(shù)/人304010875①先從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法學(xué)問宣講員，用a表示抽到作為宣講員的收入在[3000,5000)元的人數(shù)，b表示抽到作為宣講員的收入在[5000,7000)元的人數(shù)，隨機變量Z＝|a－b|，求Z的分布列與數(shù)學(xué)期望；②小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小李算一下調(diào)整后小李的實際收入比調(diào)整前增加了多少？

12.依據(jù)黃河濟南段8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖X9-10-2①所示：依據(jù)濟南的地質(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)難等級的頻率分布條形圖如圖②所示.①②圖X9-10-2(1)以此頻率作為概率，試估計黃河濟南段在8月份發(fā)生1級災(zāi)難的概率；(2)黃河濟南段某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)難影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)難影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)難影響則虧損1000萬元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：方案防控等級費用/萬元方案一無措施0方案二防控1級災(zāi)難40方案三防控1,2級災(zāi)難100試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由.

第10講離散型隨機變量的均值與方差1．B解析：依題意可得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(n,10)))，則DX＝10×eq\f(n,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,10)))＝2.1，又m≥n，則n≤5，從而n＝3，則p＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,15).2.eq\f(3,2)解析：同時拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，可能的結(jié)果有正正，正反，反正，反反，∴在1次試驗中勝利次數(shù)ξ的取值為0,1,2，其中P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)，在1次試驗中勝利的概率為P(ξ≥1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴在2次試驗中勝利次數(shù)X的概率為P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16)，E(X)＝1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).3．0.2解析：賭金的分布列為ξ112345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)∴E(ξ1)＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3.獎金的分布列為ξ21.42.84.25.6Peq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)eq\f(3,C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)eq\f(2,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)∴E(ξ2)＝1.4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)×1＋\f(3,10)×2＋\f(1,5)×3＋\f(1,10)×4))＝2.8.E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.4．A解析：∵E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，∴E(ξ1)<E(ξ2)．∵D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，∴D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)<0.故選A.5．D解析：方法1：由分布列得E(X)＝eq\f(1＋a,3)，則D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－0))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－a))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－1))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,6)，則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大．方法2：則D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝0＋eq\f(a2,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(a＋12,9)＝eq\f(2a2－2a＋2,9)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).故選D.6．B解析：D(X)＝10p(1－p)＝2.4,25p2－25p＋6＝0，p＝eq\f(2,5)或p＝eq\f(3,5).P(X＝4)<P(X＝6)?Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，(1－p)2<p2,1－p<p，即p>eq\f(1,2).∴p＝eq\f(3,5).7．A解析：某人射擊一次擊中目標概率為eq\f(3,5)，經(jīng)過3次射擊，記X表示擊中目標的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).∴D(X)＝3×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(18,25).故選A.8．D解析：E(ξ)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝p＋eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－p－\f(1,2)))2×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－p－\f(1,2)))2×eq\f(p,2)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)，∵eq\f(1,2)∈(0,1)，∴D(ξ)先增大后減?。蔬xD.9．解：(1)設(shè)A表示事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)設(shè)B表示事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率為eq\f(3,11).(3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為：X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.10．解：(1)∵各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3.直方圖如圖D271所示．中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.1,0.3)≈73，估計這次考試的中位數(shù)是73分．圖D271(2)[70,80)，[80,90)，[90,100]的人數(shù)是18,15,3，∴從成果是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，他們在同一分數(shù)段的概率：P＝eq\f(C\o\al(2,18)＋C\o\al(2,15)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,36))＝eq\f(29,70).(3)∵X～B(4,0.3)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)0.3k·0.74－k(k＝0,1,2,3,4)，∴其分布列為：X01234P(X＝k)0.24010.41160.26460.07560.0081數(shù)學(xué)期望為E(X)＝np＝4×0.3＝1.2.11．解：(1)調(diào)整前y關(guān)于x的表達式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤3500，,x－3500×0.03，x∈3500，5000]，,45＋x－5000×0.1，x∈5000，8000].))調(diào)整后y關(guān)于x的表達式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤5000，,x－5000×0.03，x∈5000，8000].))(2)①由頻率分布表可知從[3000,5000)及[5000,7000)的人群中抽取7人，其中[3000,5000)中占3人，[5000,7000)的人中占4人．再從這7人中選4人，∴Z的取值可能為0,2,4. P(Z＝0)＝P(a＝2，b＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(Z＝2)＝P(a＝1，b＝3)＋P(a＝3，b＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(16,35)，P(Z＝4)＝P(a＝0，b＝4)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(4,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35).∴其分布列為Z024Peq\f(18,35)eq\f(16,35)eq\f(1,35)∴E(Z)＝0×eq\f(18,35)＋2×eq\f(16,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(36,35).②小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元，按調(diào)整前起征點應(yīng)納個稅為1500×0.03＋2500×0.1＝295(元)，按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅為2500×0.03＝75(元).比較兩個納稅方案可知，按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅少交220元，即個人的實際收入增加了220元，∴小李的實際收入增加了220元．12．解：(1)依據(jù)甲圖，記黃河濟南段8月份“水位小于40米”為事務(wù)A1，“水位在40米至50米之間”為事務(wù)A2，“水位大于50米”為事務(wù)A3，它們發(fā)生的概率分別為：P(A1)＝(0.02＋0.05＋0.06)×5＝0.65，P(A2)＝(0.04＋0.02)×5＝0.30，P(A3)＝0.01×5＝0.05.記黃河濟南段8月份