2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時均值不等式的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE第2課時均值不等式的應(yīng)用關(guān)鍵實(shí)力·攻重難類型用均值不等式證明不等式┃┃典例剖析__■1．無附加條件的不等式的證明典例1已知a，b，c>0，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.思路探究：由條件中a，b，c>0及待證不等式的結(jié)構(gòu)特征知，先用均值不等式證eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，再進(jìn)行證明即可．解析：∵a，b，c>0，∴利用均值不等式可得eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．歸納提升：利用均值不等式證明不等式的留意點(diǎn)：(1)多次運(yùn)用均值不等式時，要留意等號能否成立．(2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時留意運(yùn)用．(3)對不能干脆運(yùn)用均值不等式的證明可重新組合，達(dá)到運(yùn)用均值不等式的條件．2．有附加條件的不等式的證明典例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9.思路探究：本題的關(guān)鍵是把分子的“1”換成a＋b，由均值不等式即可證明．解析：方法一：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a).同理1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b).故(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝(2＋eq\f(b,a))(2＋eq\f(a,b))＝5＋2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥5＋4＝9.所以(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時取等號．方法二：(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(2,ab)，因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,ab)≥4，eq\f(2,ab)≥8.因此(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥1＋8＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．歸納提升：利用均值不等式證明不等式的兩種題型(1)無附加條件的不等式的證明．其解題思路：視察待證不等式的結(jié)構(gòu)形式，若不能干脆運(yùn)用均值不等式，則結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到運(yùn)用均值不等式的條件．(2)有附加條件的不等式的證明．視察已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用已知條件，條件的奇妙代換是一種較為重要的變形．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■1．已知x>0，y>0，z>0，求證：(eq\f(y,x)＋eq\f(z,x))(eq\f(x,y)＋eq\f(z,y))(eq\f(x,z)＋eq\f(y,z))≥8.證明：∵x>0，y>0，z>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)>0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)>0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)>0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號同時成立．∴(eq\f(y,x)＋eq\f(z,x))(eq\f(x,y)＋eq\f(z,y))(eq\f(x,z)＋eq\f(y,z))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時等號成立．類型利用均值不等式解決實(shí)際問題┃┃典例剖析__■典例3如圖所示，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原來的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時，(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時思路探究：設(shè)每間虎籠長為xm，寬為ym，則問題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問題(2)是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，因此可用均值不等式來解決．解析：設(shè)每間虎籠長為xm，寬為ym，每間虎籠的面積為Sm2.(1)由條件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，S＝xy.方法一：由2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，得2eq\r(6xy)≤18，解得xy≤eq\f(27,2)，S≤eq\f(27,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝3.))故每間虎籠長為eq\f(9,2)m，寬為3m時，可使每間虎籠面積最大．方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝(9－eq\f(3,2)y)y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤eq\f(3,2)·[eq\f(6－y＋y,2)]2＝eq\f(27,2).當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時，等號成立，此時x＝4.5，故每間虎籠長為4.5m，寬為3(2)由條件知S＝xy＝24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為lm，則l＝4x＋6y.方法一：∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當(dāng)且僅2x＝3y時等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每間虎籠長為6m，寬為4方法二：由xy＝24，得x＝eq\f(24,y).∴l(xiāng)＝4x＋6y＝eq\f(96,y)＋6y＝6(eq\f(16,y)＋y)≥6×2eq\r(\f(16,y)·y)＝48.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,y)＝y(tǒng)，即y＝4時，等號成立，此時x＝6.故每間虎籠長為6m，寬為4歸納提升：求實(shí)際問題中最值的一般思路1．讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式．2．把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題．3．在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解．4．正確地寫出答案．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■2．某公司安排建一面長為a米的玻璃幕墻，先等距安裝x根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃．一根立柱的造價為6400元，一塊長為m米的玻璃造價為(50m＋100m2)元．假設(shè)全部立柱的粗細(xì)都忽視不計(jì)，且不考慮其他因素，記總造價為y元(總造價＝立柱造價(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a＝56時，怎樣設(shè)計(jì)能使總造價最低？解析：(1)依題意可知eq\f(a,m)＝x－1，所以m＝eq\f(a,x－1)，y＝6400x＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(50a,x－1)＋100\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x－1)))2))(x－1)＝6400x＋50a＋eq\f(100a2,x－1)(x∈N，且x≥2)．(2)y＝6400x＋50a＋eq\f(100a2,x－1)＝100eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(64x－1＋\f(a2,x－1)))＋50a＋6400.∵x∈N，且x≥2，∴x－1>0.∴y≥200eq\r(64x－1·\f(a2,x－1))＋50a＋6400＝1650a＋6400，當(dāng)且僅當(dāng)64(x－1)＝eq\f(a2,x－1)，即x＝eq\f(a,8)＋1時，等號成立．又∵a＝56，∴當(dāng)x＝8時，ymin＝98800.所以，安裝8根立柱時，總造價最低．易混易錯警示忽視等號成立的條件┃┃典例剖析__■典例4求函數(shù)y＝x(1－x)，x∈[eq\f(2,3)，1)的最大值．錯因探究：由eq\f(2,3)≤x<1，易知1－x>0，從而錯解為y＝x(1－x)≤[eq\f(x＋1－x,2)]2＝eq\f(1,4).而x＝1－x在x＝eq\f(1,2)時才能取“＝”，但eq\f(2,3)≤x<1，因而不等式取不到等號，從而最大值為eq\f(1,4)是錯誤的．解析：y＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，當(dāng)x＝eq\f(2,3)時，ymax＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(2,9).誤區(qū)警示：利用均值不等式求最值時，等號必需取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．學(xué)科核心素養(yǎng)與不等式有關(guān)的恒成立問題┃┃典例剖析__■不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍．對于求不等式成立時參數(shù)的范圍問題，在可能的狀況下把參數(shù)分別出來，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上詳細(xì)的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決．常見求解策略是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，即y≥m恒成立?ymin≥m；y≤m恒成立?ymax≤m.但要留意分別參數(shù)法不是萬能的，假如分別參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為困難，性質(zhì)很難探討，就不要運(yùn)用分別參數(shù)法．典例5已知函數(shù)y＝－eq\f(1,a)＋eq\f(2,x)，若y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(－∞，0)∪[eq\f(1,4)，＋∞)__.解析：∵y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－eq\f(1,a)＋eq\f(2,x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴eq\f(1,a)≤2(x＋eq\f(1,x))在(0，＋∞)上恒成立．當(dāng)a<0時，不等式恒成立；當(dāng)a>0時，∵2(x＋eq\f(1,x))≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立，∴0<eq\f(1,a)≤4，解得a≥eq\f(1,4).∴a<0或a≥eq\f(1,4).課堂檢測·固雙基1．若實(shí)數(shù)a，b滿意ab>0，則a2＋4b2＋eq\f(1,ab)的最小值為(C)A．8 B．6C．4 D．2解析：干脆利用關(guān)系式的恒等變換和均值不等式求出結(jié)果．實(shí)數(shù)a，b滿意ab>0，則a2＋4b2＋eq\f(1,ab)≥4ab＋eq\f(1,ab)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，且ab＝eq\f(1,2)時，等號成立，故選C．2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(D)A．eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C．eq\r(ab)≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥8解析：4＝a＋b≥2eq\r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立)，即eq\r(ab)≤2，ab≤4，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，A，C不成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.3．若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是__25_m2解析：設(shè)矩形的一邊為xm，則另一邊為eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x