專題34 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題34等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 9【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明 12【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 21【分層檢測(cè)】 25【基礎(chǔ)篇】 25【能力篇】 32【培優(yōu)篇】 36考試要求：1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題4．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.5．（2024·上?！じ呖颊骖}）無(wú)窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，記，若對(duì)任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．6．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．7．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．8．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．3．D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.4．①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.5．【分析】當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對(duì)任意的恒成立，故可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，因?yàn)?，故，故，?dāng)時(shí)，，故，此時(shí)為閉區(qū)間，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價(jià)于為閉區(qū)間，而，故對(duì)任意恒成立，故即，故，故對(duì)任意的恒成立，因，故當(dāng)時(shí)，，故即.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時(shí)可利用參變分離來(lái)處理.6．48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.7．【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，即，解?故答案為：8．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡(jiǎn)得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算一、單選題1．（2024·河南·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若對(duì)，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列C．若，則D．若，記是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值為三、填空題5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．參考答案：1．B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以.故選：B．2．B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榕c的等比中項(xiàng)為，所以，所以.故選：B3．BCD【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯(cuò)誤，代入等差比數(shù)列公式可判斷BCD說(shuō)法正確【詳解】等差數(shù)列若為常數(shù)列，則，無(wú)意義，所以等差數(shù)列不一定是等差比數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若公比為的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則不是常數(shù)列，，，即該數(shù)列的公比與公差比相同，B選項(xiàng)正確.若數(shù)列是等差比數(shù)列，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，所以數(shù)列等差比數(shù)列，故D選項(xiàng)正確故選：BCD.4．ABD【分析】根據(jù)常數(shù)列的定義，結(jié)合條件，判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的定義，判斷為常數(shù)，判斷B；根據(jù)數(shù)列的公比，并求數(shù)列的首項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式判斷C；結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，得或（舍），此時(shí)為常數(shù)列，故A正確；B.，，，若時(shí)，此時(shí)，不是等比數(shù)列，若時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；C.若，，所以，故C錯(cuò)誤；D.若，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD5．【分析】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，由，可得，解得，又，即，所以，同理，，，，因?yàn)?，所?故答案為：6．2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.反思提升：1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明一、解答題1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.3．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于給定的正整數(shù)，若對(duì)任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．(1)證明：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．(2)已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，問(wèn)：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實(shí)際問(wèn)題：(1)對(duì)于函數(shù)，分別在點(diǎn)處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項(xiàng)公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題時(shí)，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點(diǎn)處的切線為，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.對(duì)函數(shù)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)需證明）參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，.因?yàn)?，即，所以為?yán)格增數(shù)列，所以時(shí)，有最小值.2．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由分離出，證明恒成立即得證．【詳解】（1）由得又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）的結(jié)論有①②①②得：因?yàn)?，所以恒成?3．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由條件推導(dǎo)，即證明是公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，從而求出，由分組求和即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列中，，，所以，且，所以是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2（2）由(1)可得，即，所以數(shù)列的前項(xiàng)和4．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先求出的公差，然后利用首項(xiàng)即得通項(xiàng)公式；（2）直接利用條件即可證明；（3）寫出的求和式，再分組求和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，故.再由即知，故所求通項(xiàng)公式為.（2）由于，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（3）在（2）最后我們得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，即.所以.分別使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得，.所以.5．(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②存在，，【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合“數(shù)列”的定義即可證明；（2）①根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，再由等比數(shù)列的定義即可證明；②假設(shè)存在，即可得到，然后分為奇數(shù)與為偶數(shù)分別討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以，因此各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．（2）①數(shù)列既是“（2）數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”，因此當(dāng)時(shí)，（ⅰ），當(dāng)時(shí)，（ⅱ），由（ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，（ⅲ），（ⅳ），將（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中，所以是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，在（?。┲?，取，則，所以，在（?。┲?，取，則，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列．②由①及，知所以．易知，所以．所以，．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)，，則，所以，可得，所以，所以，所以存在，使得．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以．若為奇數(shù)，則，（提示：時(shí)，不成立）為偶數(shù)，為個(gè)奇數(shù)之和，也為奇數(shù)，所以．（提示：一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)大于1的奇數(shù)的乘積一定不等于）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不存在正整數(shù)，使得．綜上所述，存在，，，使得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義以及數(shù)列新定義問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解“數(shù)列”的定義，然后結(jié)合數(shù)列的知識(shí)解答.6．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)，在時(shí)的切線方程，由此可求，再利用錯(cuò)位相減法求；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明，由此可得，證明為等比數(shù)列，結(jié)合所給結(jié)論，利用放縮法和等比數(shù)列求和公式證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意則.設(shè)切點(diǎn)為則過(guò)切點(diǎn)的切線為令，整理得，所以.由題意則.設(shè)切點(diǎn)為則過(guò)切點(diǎn)的切線為.令整理得所以.對(duì)于當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)即.所以兩式相減，得所以.（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個(gè)不等實(shí)根,所以不妨設(shè)，則，因?yàn)樗运栽跈M坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為令則即，因?yàn)樗?因?yàn)樗运?令則，又所以，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列..由因?yàn)樗约?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)列求和，證明不等式，第一問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)一步求出，利用錯(cuò)位相減法求和，第二問(wèn)解決的關(guān)鍵在于結(jié)合所給結(jié)論，通過(guò)適當(dāng)放縮，證明結(jié)論.反思提升：1.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n＝1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（

）A．2 B． C．3 D．2．（23-24高二下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）等比數(shù)列中，則（

）A． B．5 C．10 D．20二、多選題3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大4．（2024·湖北·二模）無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則.6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為里.參考答案：1．A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再解方程組求出，即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，則，解得或，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，所以公比.故選：A.2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)求得公比，即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，故.故選：C.3．BC【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A，然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C，分類討論求解概率通項(xiàng)的最大值判斷D.【詳解】根據(jù)題意，小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是，所以，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，其前進(jìn)幾步是由兩部分組成：先前進(jìn)步，再前進(jìn)1步，其概率為，或者先前進(jìn)步，再前進(jìn)2步，其概率為，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，而，所以，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，所以；綜上，當(dāng)時(shí)，概率最大，即小華一共前進(jìn)2步的概率最大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC4．BC【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用等比數(shù)列單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒(méi)有最小值；，時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時(shí)，因?yàn)?，所以無(wú)最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無(wú)最小值，偶數(shù)項(xiàng)為正無(wú)最大值.故選：BC5．120【分析】在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，結(jié)合所求，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，所以.故答案為：1206．192【分析】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式列方程求出.【詳解】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由題意得，解得，所以該人第一天走的路程為192里.故答案為：192反思提升：(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問(wèn)題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國(guó)，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡(jiǎn)練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來(lái)的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為l的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（

）A． B．2 C．3 D．43．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)之積為，且，則取得最大值時(shí)，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為 B．的前項(xiàng)和為C．的前項(xiàng)積為 D．7．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）記公比為的單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則.9．（23-24高二上·山東青島·期末）數(shù)列是等比數(shù)列，且前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖在計(jì)算機(jī)通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和網(wǎng)絡(luò)維護(hù)等方面有著重要的作用.某樹(shù)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，則到第10層一共有個(gè)節(jié)點(diǎn).（填寫具體數(shù)字）四、解答題11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前n項(xiàng)和．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求、的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求的最大值．12．（23-24高三下·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．參考答案：1．A【分析】由題意知對(duì)折后的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出對(duì)折6次后的腰長(zhǎng)，即可求解.【詳解】由題意可知，對(duì)折后的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，故對(duì)折6次后，得到腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，所以斜邊長(zhǎng)為.故選：A．2．D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算得，從而可得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，又.故選：D3．C【分析】利用等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，解得，所以，故選：C4．A【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，可得等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，可求取得最大值時(shí)的值．【詳解】由，得，，則，由于，得，所以等比數(shù)列是遞減數(shù)列，故，則取得最大值時(shí)．故選：A．5．BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，對(duì)于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.故選：BD.6．AB【分析】對(duì)A，根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對(duì)B，由A可得，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對(duì)C，根據(jù)求解即可；對(duì)D，代入求解即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列的公比為，故A正確對(duì)B，因?yàn)椋缘那绊?xiàng)和為，故B正確；對(duì)C，的前項(xiàng)積為，故C錯(cuò)誤對(duì)D，因?yàn)?，所以的前?xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．故選：AB7．ABC【分析】先求得，進(jìn)而求得，由此求得，進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng)．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，解得或，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，故A正確；所以，解得，所以，故B正確；，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.8．5【分析】結(jié)合推論若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等比數(shù)列即可直接求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以，，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，所?故答案為：5.9．【分析】由作差求出的通項(xiàng)，再由是等比數(shù)列，求出.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，則，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：10．1023【分析】由等比數(shù)列的求和公式即可求得答案.【詳解】由圖可知，每一層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以到第10層節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是.故答案為：1023.11．(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)條件，取倒數(shù)可得，進(jìn)而可證結(jié)論；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，利用的關(guān)系可得；（3）根據(jù)的通項(xiàng)公式，判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得：，所以，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，滿足，所以.（3）由（2）可得，可得，所以，由，可得當(dāng)，2時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，可得為最大值，.12．(1)，(2)4582【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義即可得到公差，代入計(jì)算即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由分組求和代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），①，（），②，得：，∵為等差數(shù)列，∴，，，即，∴，因?yàn)閿?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，即，解得：，所以；（2）由（1）可知，，，且數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列，其中，，此時(shí)，所以數(shù)列中數(shù)列有項(xiàng)，數(shù)列有項(xiàng)，，．【能力篇】一、單選題1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列B．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列D．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列二、多選題2．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，3，第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴(kuò)充，記第次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B．滿足的的最小值為11C． D．三、填空題3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為.四、解答題4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：1．C【分析】A、B、D選項(xiàng)可以通過(guò)特值法排除，C選項(xiàng)直接翻譯得到，用等比中項(xiàng)的方法可判斷C對(duì).【詳解】解：當(dāng)，，時(shí)，,A錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，,，B錯(cuò)誤；若a，b，c成等差數(shù)列，則，所以，故，，構(gòu)成等比數(shù)列，C正確；當(dāng)，，時(shí)，D顯然錯(cuò)誤．故選：C．2．BD【分析】由條件可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，結(jié)合遞推證明數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷A，結(jié)合通項(xiàng)公式判斷B，結(jié)合拓展規(guī)則可得，證明數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)判斷C，利用分組求和法求判斷D.【詳解】數(shù)列1，3第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，根據(jù)拓展規(guī)則可知，，即，又，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即；故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，即，解得，故B項(xiàng)正確；根據(jù)拓展規(guī)則可知，第次“和擴(kuò)充”所新增的數(shù)的和為，所以，，又，數(shù)列是首