專題48 雙曲線原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題48雙曲線（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】雙曲線的定義及應(yīng)用 4【考點2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 5【考點3】雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 6【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識梳理知識梳理1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；(3)若a>c，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b21.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a).2.離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).4.若漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.6.若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq\f(b2,tan\f(θ,2)).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．6．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．考點突破考點突破【考點1】雙曲線的定義及應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標(biāo)原點作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線二、多選題3．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點，分別為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點為雙曲線上一點，則（）A．若，則B．若的面積為，則C．若線段的中點在y軸上，則D．內(nèi)切圓的圓心到軸的距離為14．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點分別為，，則（

）A．C的方程為B．C的離心率為2C．若點為雙曲線C上支上的任意一點，，則的最小值為D．若點為雙曲線C上支上的一點，則的內(nèi)切圓面積為三、填空題5．（2024·云南昆明·一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是右支上一點，線段與的左支交于點．若為正三角形，則的離心率為．6．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為.反思提升：在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.【考點2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，），的左、右焦點分別為，，為上一點，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．若，且軸，則的方程為B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為C．若點在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為D．若，則的離心率的取值范圍是4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）過雙曲線的左焦點的直線交的左?右支分別于兩點，交直線于點，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，已知，，，，若C，D兩點關(guān)于y軸對稱，則．6．（2023·廣東韶關(guān)·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一、三象限的交點分別為，設(shè)四邊形的周長為，面積為S，則.反思提升：1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解.2.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).【考點3】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、單選題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）過雙曲線的右焦點F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點，若，則該雙曲線的焦距為（

）A．2 B．3 C． D．42．（21-22高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9二、多選題3．（2024·山東·二模）已知雙曲線的離心率為，過其右焦點的直線與交于點，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．的最小值為C．若滿足的直線恰有一條，則D．若滿足的直線恰有三條，則4．（2024·河北秦皇島·三模）設(shè)，是雙曲線的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方可能為（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別是，若雙曲線左支上存在點，使得，則該雙曲線離心率的最大值為．6．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為．

反思提升：1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.2.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（

）A． B．4 C． D．23．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為6．（21-22高二上·浙江金華·期中）已知點?是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（

）A．PF1與雙曲線的實軸長相等 B．的面積為C．雙曲線的離心率為 D．直線是雙曲線的一條漸近線7．（2021·海南·二模）已知雙曲線的離心率為，則（

）A．的焦點在軸上 B．的虛軸長為2C．直線與相交的弦長為1 D．的漸近線方程為三、填空題8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知圓錐曲線的焦點在軸上，且離心率為2，則．9．（2023·吉林延邊·二模）已知坐標(biāo)平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為．10．（2024·上海閔行·二模）雙曲線的左右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于兩點，若，則.四、解答題11．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線經(jīng)過點，且其漸近線的斜率為．(1)求的方程．(2)若動直線與交于兩點，且，證明：為定值．12．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點是，一條漸近線的方程為．(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點P，Q，求線段PQ的長．【能力篇】一、單選題1．（2023·河南駐馬店·二模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點為坐標(biāo)原點，過點作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：過點，則（

）A．雙曲線E的實軸長為4B．雙曲線E的離心率為C．雙曲線E的漸近線方程為D．過點P且與雙曲線E僅有1個公共點的直線恰有1條三、填空題3．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與坐標(biāo)原點重合），點在雙曲線上且的面積為6，則該雙曲線的實軸長為．四、解答題4．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，