第4章 立體幾何（知識考點）-【中職專用】高中數(shù)學單元復習講與測（高教版2021·拓展模塊一上冊）解析版

第4第4章立體幾何知識點一：平面1．平面的特征和表示(1)平面的特征幾何里的“平面”沒有邊界，畫平面的時候一般用平行四邊形表示平面.(2)平面的畫法常常把水平的平面畫成一個平行四邊形，并且其銳角畫成45°，且橫邊長等于鄰邊長的2倍.一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.(3)平面的表示方法①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個頂點的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點表示，如平面AC，平面BD.(4)點、直線、平面之間的基本位置關系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內A∈αA在α外A?αl在α內l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l2．平面的基本性質公理文字語言圖形語言符號語言作用公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α①確定直線在平面內的依據②判定點在平面內公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α①確定平面的依據②判定點線共面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據②判定點在直線上知識點二：直線與直線的位置關系1．空間兩條直線的位置關系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)等角定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．3．異面直線的判定及其所成的角(1)異面直線的判定定理定理文字語言符號表示圖形語言異面直線的判定定理過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線l與AB是異面直線(2)異面直線所成的角①定義：a與b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角或夾角．②異面直線所成的角θ的取值范圍：．③當θ＝eq\f(π,2)時，a與b互相垂直，記作a⊥b．(3)求兩條異面直線所成角的步驟①恰當選點，用平移法構造出一個相交角．②證明這個角就是異面直線所成的角(或補角)．③把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構造的角的度數(shù)．=4\*GB3④若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是兩條異面直線所成的角．知識點三：直線與平面的位置關系1．直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示2．直線與平面平行(1)直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言(2)直線與平面平行的性質定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m圖形語言3．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義定義如果直線a與平面α內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直注意：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離．(2)直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，則a⊥α圖形語言(3)直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線注意：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離．4．直線與平面所成的角有關概念對應圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，如圖中直線PQ斜足斜線與平面的交點，如圖中點Q斜線段斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段，如圖中線段PQ射影如圖，過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內的射影直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的稅角，如圖中∠PQP1規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內，那么稱它們所成的角是0°角取值范圍設直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°知識點四：平面與平面的位置關系1．兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點平面α與平面β平行α∥β沒有公共點平面α與平面β相交α∩β＝a有一條公共直線2．兩平面平行(1)平面與平面平行的判定定理表示定理圖形文字符號兩個平面平行的判定定理如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行若a?α，b?α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，則α∥β(2)平面與平面平行的性質定理表示定理圖形文字符號兩個平面平行的性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))?a∥b注意：與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段．我們把公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離．3．兩面角概念一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形圖示平面角定義一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角圖示符號OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍[0，π]規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角記法如圖，棱為AB，面為α，β的二面角，記作二面角α－AB－β，也可以記作M－AB－N4．兩平面垂直(1)平面與平面垂直的概念①定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．②畫法：③記作：α⊥β.(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直符號語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言(3)平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言考點一平面1．下列命題中是真命題的是（

）A．三點確定一個平面B．一條直線和一個點確定一個平面C．兩條直線確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線，確定一個平面【答案】D【解析】A：根據公理2知，必須是不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；B：一條直線和直線外的一點可以確定一個平面，故B錯誤；C：兩條直線不可以確定一個平面，比如兩條異面直線不能確定一個平面，故C錯誤；D：兩兩相交且不共點的三條直線，則三個交點不共線，故它們確定一個平面，由公理1知，三條直線都在此平面內，故D正確，故選：D.2．下列說法中，正確的是（

）．A．三點確定一個平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個C．兩條直線確定一個平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個平面【答案】B【解析】若三點共線，則此三點不能確定一個平面，A錯誤；過一條直線的平面有無數(shù)多個，B正確；兩條直線若異面，則兩條直線無法確定一個平面，C錯誤；三條兩兩相交的直線若過同一個點，則三條兩兩相交的直線確定三個平面或一個平面，D錯誤.故選：B3．在空間，給出下面四個命題：①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條相交直線確定一個平面.其中正確命題的序號是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】①，不在同一條直線上的三個點確定一個平面，故①錯誤.②，直線和直線外一點確定一個平面，故②錯誤.③，空間兩兩相交的三條直線不一定確定一個平面，可以多個，故③錯誤.④，兩條相交直線確定一個平面，故④正確，故選：D4．給出下列語句：①桌面給人以平面的形象；②一個平面長3m，寬2m；③平面內有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合；④空間圖形是由空間的點、線、面所構成的.其中正確的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據平面的特征，絕對的平，無限延展，不計大小和厚薄，即可知，①對，②錯；再根據點線面的關系可知，③④正確．故選：C．考點二直線與直線的位置關系5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：①直線A1B與直線D1C的位置關系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關系是________；④直線AB與直線B1C的位置關系是________．【答案】①平行②異面③相交④異面【解析】直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應該填“平行”；點A1，B，B1在一個平面A1BB1內，而C不在平面A1BB1內，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④都應該填“異面”；直線D1D與直線D1C顯然相交于點D1，所以③應該填“相交”．6．下列命題中正確的有________．(填序號)①兩條直線無公共點，則這兩條直線平行；②兩條不重合的直線若不是異面直線，則必相交或平行；③過平面外一點與平面內一點的直線與平面內的任意一條直線均構成異面直線；④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．【答案】②【解析】對于①，空間兩直線無公共點，則可能平行，也可能異面，因此①不正確；對于②，因為空間兩條不重合的直線的位置關系只有三種：平行、相交或異面，所以②正確；對于③，過平面外一點與平面內一點的直線和過平面內這點的直線是相交直線，因此③不正確；對于④，和兩條異面直線都相交的兩直線可能是相交直線，也可能是異面直線，因此④不正確．7．如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【答案】平行【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．8．在三棱錐中分別是邊的中點，且，則四邊形是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】因為分別是邊的中點，所以，所以；同理可得，所以四邊形是平行四邊形；又因為，所以，即四邊形是矩形，故選：B.考點三直線與平面的位置關系9．下列命題正確的是()A．如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行B．過直線外一點，可以作無數(shù)個平面與這條直線平行C．如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行D．如果一條直線平行于平面內的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行【答案】B【解析】不在平面內的直線還可與平面相交，故A錯誤；一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內的直線平行或異面，故C錯誤；直線也可能在平面內，故D錯誤．10．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【解析】由題圖知正方體的前、后、左、右四個面都與EF平行．11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.【答案】證明見解析【解析】證明：連接BC1(圖略)，在△BCC1中，∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.12．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點．求證：MN∥平面PAD.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，取PD的中點G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC，∵M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又MN?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.13．如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】證明：因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質定理，知AB∥MN，同理AB∥PQ，所以MN∥PQ，同理可得MQ∥NP，所以截面MNPQ是平行四邊形．14．下列命題中，正確的是()A．若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α【答案】C【解析】當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內，l也可以和α內的無數(shù)條直線垂直，故D錯誤，選C．15．如果一條直線垂直于一個平面內的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．則能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號)【答案】①③④【解析】根據直線與平面垂直的判定定理，平面內這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩條直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件．16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小是________．【答案】30°【解析】由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.17．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【答案】證明見解析【解析】證明(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM，又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，∴BM⊥平面PAM，又AN?平面PAM，∴BM⊥AN，又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB，又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ，又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.18．如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l.【答案】證明見解析【解析】證明∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l，同理PB⊥l，∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l(xiāng)⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a，∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴a⊥平面PAB，∴a∥l.考點四平面與平面的位置關系19．下列命題正確的是()A．一個平面內兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行B．如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行D．如果一個平面內的無數(shù)條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行【答案】B【解析】如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行．20．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能【答案】B【解析】因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.21．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面()A．有1個B．有2個C．有無數(shù)個D．不存在【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．22．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案