《數(shù)字邏輯簡明教程》課件第1章

第一章數(shù)制與編碼1.1數(shù)制1.2二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算1.3常用的編碼

1.1數(shù)制

目前數(shù)的表示通常是采用進(jìn)位制計數(shù)法，即將數(shù)劃分為不同的數(shù)位，按位進(jìn)行累計，累計到一定數(shù)量后，本位歸零，同時向高位進(jìn)位。由于數(shù)碼的位置不同，同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位中表示的數(shù)值是不同的。低位數(shù)值小，高位數(shù)值大。進(jìn)位制計數(shù)法使用較少的數(shù)碼就能表示較大的數(shù)。1.1.1十進(jìn)制十進(jìn)制是人們最熟悉的一種數(shù)制，它的進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”。十進(jìn)制中共有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個代碼。如要表示大于9的數(shù)，則采用進(jìn)位制計數(shù)法表示。如一個多位十進(jìn)制數(shù)為

N=(1982.57)D

下標(biāo)D表示是十進(jìn)制數(shù)。將其展開表示為N=1×103+9×102+8×101+2×100+5×10-1+7×10-2

我們讀作一千九百八十二點(diǎn)五七。其中103、102、101和100分別為千位、百位、十位和個位的權(quán)值。上述展開式又稱為按權(quán)展開式。當(dāng)某位的數(shù)碼為1時，該位數(shù)的值就是權(quán)值。一個任意的十進(jìn)制數(shù)可表示為其中，Ki是i次冪的系數(shù)，它可以是0~9這十個數(shù)碼中的任何一個數(shù)；

n為整數(shù)的位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。如將式中的10用字母R代替，就可表示任意進(jìn)制的數(shù)：其中，Ki根據(jù)基數(shù)的不同，其取值是0~(R-1)的代碼中的任何一個數(shù)；R稱為進(jìn)位基數(shù)。十進(jìn)制雖然是人們最熟悉的數(shù)制，但要用電路實(shí)現(xiàn)十分困難，它需要十個狀態(tài)表示這十個代碼。1.1.2二進(jìn)制二進(jìn)制的進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，它只需要0、1這兩個代碼。如要表示大于1的數(shù)，則采用進(jìn)位制計數(shù)法，如（下標(biāo)B表示是二進(jìn)制數(shù)）：(N)B=(1011.11)B=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

=8+2+1+0.5+0.25=(11.75)D

其通式為由于只有0、1兩個數(shù)碼，只需兩個狀態(tài)表達(dá)即可，如電位的高和低、脈沖的有與無、開關(guān)的合與開等，電路實(shí)現(xiàn)十分容易。故數(shù)字系統(tǒng)采用二進(jìn)制。但二進(jìn)制書寫起來太長，且不便于記憶，因此出現(xiàn)了八進(jìn)制和十六進(jìn)制，它們常用于編程和書寫資料。

1.八進(jìn)制八進(jìn)制的進(jìn)位規(guī)則是“逢八進(jìn)一”，它有0、1、2、3、4、5、6、7這八個數(shù)碼。如要表示大于7的數(shù)，則采用進(jìn)位制計數(shù)法，如(下標(biāo)O表示為八進(jìn)制數(shù)）：NO=(37.6)O=3×81+7×80+6×8-1

=24+7+0.75=(31.75)O其通式為由于23=8,故三位二進(jìn)制數(shù)可以用一位八進(jìn)制數(shù)表示，其對應(yīng)關(guān)系如表1－1所示。表1－1三位二進(jìn)制數(shù)與一位八進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系這樣可以壓縮二進(jìn)制數(shù)的長度，如二進(jìn)制數(shù)為(10110110.1010)B,用八進(jìn)制數(shù)表示：整數(shù)從低位起每三位一組，最高位不足三位，前面加0；小數(shù)部分從高位起每三位一組，最低位不足三位，后面加0，然后用對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)表示即可。故(10110110.1010)B＝（266.5）o顯然書寫長度壓縮到原二進(jìn)制長度的約1/3。

2.十六進(jìn)制十六進(jìn)制的進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”，它除了有0~9這十個數(shù)碼外，再加上A~F這六個英文字母。如要表示大于15的數(shù)（即F），則采用進(jìn)位制計數(shù)法。如（下標(biāo)H表示是十六進(jìn)制數(shù)）：NH=(5A·B)H

=5×161+10×160+11×16-1

=80+10+0.6875=(90.6875)D

其通式為由于24=16,故四位二進(jìn)制數(shù)可用一位十六進(jìn)制數(shù)表示。其對應(yīng)關(guān)系如表1－2所示。表1－2四位二進(jìn)制數(shù)與一位十六進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

它同樣可以壓縮二進(jìn)制數(shù)的長度。如二進(jìn)制數(shù)為(10110110.1010)B,用十六進(jìn)制表示：整數(shù)部分低位起每四位一組，最高位不足四位，前面補(bǔ)0；小數(shù)部分，從高位起每四位一組，最低位不足四位后面加0。故(10110110.1010)B=(B6.A)H顯然書寫長度壓縮到原二進(jìn)制長度的約1/4。1.1.4各種數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換由于十進(jìn)制人們最熟悉；二進(jìn)制是數(shù)字系統(tǒng)中采用的數(shù)制；八進(jìn)制和十六進(jìn)制是編程中書寫資料時采用的數(shù)制。因此就涉及各種數(shù)制間如何轉(zhuǎn)換的問題。

1.其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制將其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制采用的是按權(quán)展開相加的方法。其例子在前面講述各種數(shù)制時已舉例，此處不再重復(fù)。

2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制一個數(shù)有整數(shù)和小數(shù)兩部分，它們轉(zhuǎn)換的方式是不同的。整數(shù)部分采用連除進(jìn)位基數(shù)R取余法；小數(shù)部分采用連乘進(jìn)位基數(shù)R取整法?！纠?－1】(92.6875)

=(？)B=(?)O=(?)H

解整數(shù)部分：讀者不難發(fā)現(xiàn)，其八進(jìn)制和十六進(jìn)制可直接由二進(jìn)制轉(zhuǎn)換得到。小數(shù)部分：同理，其八進(jìn)制和十六進(jìn)制也可直接由二進(jìn)制轉(zhuǎn)換得到。最后將兩部分合起來即得結(jié)果，即

(92.6875)D=(1011100.1011)B=(134.54)O=(5C.B)H

如果小數(shù)部分取整以后得不到0，則根據(jù)誤差要求而定。

3.八進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制或十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制，均通過二進(jìn)制來實(shí)現(xiàn)。

解首先將八進(jìn)制數(shù)寫成二進(jìn)制形式，每一位八進(jìn)制數(shù)寫出相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，再對二進(jìn)制數(shù)按前述方法，四位一組，寫出十六進(jìn)制數(shù)。(376.35)O=(11111110.011101)B=(FE.74)H

【例1－3】十六進(jìn)制（3A.F)H=(?)O

解首先將十六進(jìn)制數(shù)寫成二進(jìn)制形式，每一位十六進(jìn)制數(shù)寫出對應(yīng)的四位二進(jìn)制數(shù)，再對二進(jìn)制數(shù)按前述方法，三位一組，寫出八進(jìn)制數(shù)。(3A.F)H=(111010.1111)B=(72.74)O

1.2二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

1.2.1二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算

同十進(jìn)制數(shù)一樣，二進(jìn)制數(shù)也可以進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，且運(yùn)算規(guī)則也相同，所不同的是進(jìn)位基數(shù)不相同。十進(jìn)制是“逢十進(jìn)一”，二進(jìn)制是“逢二進(jìn)一”。由于二進(jìn)制只有“0”和“1”兩個數(shù)碼，所以二進(jìn)制的運(yùn)算比十進(jìn)制的運(yùn)算簡單，且易于用數(shù)字電路來實(shí)現(xiàn)。例如，兩個二進(jìn)制數(shù)1111和0101的算術(shù)運(yùn)算如下：加法運(yùn)算的規(guī)則是：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10最低位相加時只是被加數(shù)與加數(shù)相加，沒有低位的進(jìn)位，這種不考慮低位進(jìn)位的加法稱為“半加”；而其他各位，除了被加數(shù)和加數(shù)相加之外，還必須考慮低位向本位的進(jìn)位，即“被加數(shù)+加數(shù)+低位向本位的進(jìn)位”，產(chǎn)生和數(shù)和向高位的進(jìn)位，這種加法稱為“全加”。減法運(yùn)算的規(guī)則是：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1（向高位借1當(dāng)2)最低位相減時只是被減數(shù)與減數(shù)相減，沒有低位的借位，這種不考慮低位向本位借位的減法稱為“半減”；而其他各位，除了被減數(shù)和減數(shù)相減之外，還必須考慮低位向本位的借位，產(chǎn)生差和本位向高位的借位，這種減法稱為“全減”。需要指出的是，在數(shù)字系統(tǒng)中，為了減少設(shè)備量，用加法代替減法，即用加補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算。由上述運(yùn)算可看出，二進(jìn)制乘法運(yùn)算是由左移被乘數(shù)與加法運(yùn)算組成的；除法運(yùn)算是由右移除數(shù)與減法運(yùn)算組成的。如除法運(yùn)算，若在規(guī)定位數(shù)除不盡，則商的位數(shù)由給定的精度來確定。1.2.2原碼、反碼及補(bǔ)碼前面所講的二進(jìn)制數(shù)，沒有提到符號問題，故是一種無符號數(shù)。但在實(shí)際中，數(shù)有正、負(fù)之分，用“+”和“-”表示。那么，在數(shù)字設(shè)備中“+”、“-”是如何表示的呢？將二進(jìn)制數(shù)前增加一個符號位：正數(shù)用“0”表示；負(fù)數(shù)用“1”表示。如絕對值為9的數(shù)，表示如下（用八位二進(jìn)制碼表示，最高位為符號位）：數(shù)真值原碼+9=+0001001=00001001-9=-0001001=10001001我們將加了符號位的二進(jìn)制數(shù)稱為原碼。原碼的優(yōu)點(diǎn)是易于辨認(rèn)，因?yàn)樗臄?shù)值部分就是該數(shù)的絕對值，而且與真值和十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換十分方便。但在采用原碼進(jìn)行運(yùn)算時，如兩個異號數(shù)相減，則首先判定哪個數(shù)的絕對值大，將絕對值大的數(shù)作為被減數(shù)，絕對值小的數(shù)作為減數(shù)，所得差數(shù)的符號與絕對值大的數(shù)的符號保持一致。這樣數(shù)字設(shè)備就要增加判定數(shù)大小的比較設(shè)備，且用減法電路完成減法運(yùn)算，這樣就增加了設(shè)備量。為了減少設(shè)備量，數(shù)字設(shè)備一般都采用補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算，用加法代替減法。采用補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算，在日常生活中最常用的例子就是鐘表。如現(xiàn)在是六點(diǎn)整，而鐘表停在九點(diǎn)，要返回六點(diǎn)，可以倒撥三個小時返回到六點(diǎn)，這是減法，即9-3=6。也可采用順撥九個小時到六點(diǎn)，這是采用的加的方法，即9+9=18=12+6。由于鐘表是十二進(jìn)制，進(jìn)位自動丟失，這樣就用加法9+9的運(yùn)算代替了減法9-3的運(yùn)算。由于9+3=12，正好是其進(jìn)位模數(shù)。9和3互為補(bǔ)數(shù)，即9是-3的補(bǔ)數(shù)，我們稱為補(bǔ)碼。上述調(diào)鐘表的過程可用圖1－1表示。圖1－1“鐘表”說明補(bǔ)碼的運(yùn)算上述例子說明減法可以用加補(bǔ)碼的方法實(shí)現(xiàn)。下面再舉十進(jìn)制減法來說明補(bǔ)碼運(yùn)算。8-4=8+(-4)*=8+6=14=10+4=4對于十進(jìn)制而言，進(jìn)位位自動丟失。其中，(-4)*表示-4的補(bǔ)碼，它等于10-4=6。補(bǔ)碼的定義為，當(dāng)進(jìn)位模為R時，(A為正數(shù)時)(A為負(fù)數(shù)時)對二進(jìn)制數(shù)而言(n位二進(jìn)制），(A為正數(shù)時)(A為負(fù)數(shù)時)

【例1－4】求+6和-6的四位二進(jìn)制的原碼、反碼和補(bǔ)碼。

解按定義，正數(shù)三者均相同。+6→00110(原碼)→00110(反碼)→00110(補(bǔ)碼)如按定義求補(bǔ)碼，四位二進(jìn)制數(shù)其進(jìn)位制是24=10000,10000-0110=1010,前再加符號位，得11010。結(jié)果相同。

【例1－5】已知數(shù)X=+13,Y=+6,請用原碼、補(bǔ)碼計算Z=X-Y。

(1)采用原碼運(yùn)算。［X］原=01101

［Y］原=00110首先判別相減兩數(shù)的大小，本例是X>Y,故X為被減數(shù)，Y為減數(shù)，且符號位與X相同。(13)(6)(7)結(jié)果為Z=00111,其真值為+7。(2)采用補(bǔ)碼運(yùn)算。X-Y=X+［-Y］*寫出X和-Y的補(bǔ)碼如下：［X］補(bǔ)=［X］原=01101［-Y］補(bǔ)為對［Y］原逐位取反加1→11010故其符號進(jìn)位自然丟失，故其結(jié)果為Z=X-Y=7。【例1－6】將例1－5的數(shù)進(jìn)行計算：Y-X

(1)采用原碼運(yùn)算。顯然X>Y,故計算結(jié)果與［X］原的符號相反。(2)采用補(bǔ)碼運(yùn)算。此處需注意，補(bǔ)碼運(yùn)算其結(jié)果也是補(bǔ)碼。如結(jié)果是正數(shù)，可直接讀出，如例1－5;

如結(jié)果是負(fù)數(shù)，不可直接讀出，應(yīng)將結(jié)果11001再求補(bǔ)一次才是正確結(jié)果，即10111(負(fù)7)。從上述運(yùn)算的例子可看出，補(bǔ)碼運(yùn)算有如下特點(diǎn)：

(1)將所有參與運(yùn)算的數(shù)均用補(bǔ)碼表示。

(2)用加法代替減法。

(3)符號位也按二進(jìn)制的規(guī)則參與運(yùn)算，也產(chǎn)生和數(shù)和向高位的進(jìn)位。所得和數(shù)結(jié)果的符號位是正確的。

(4)補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果也是補(bǔ)碼。當(dāng)結(jié)果是正數(shù)時，可直接讀出結(jié)果的值；當(dāng)結(jié)果是負(fù)數(shù)時，一定要將其求補(bǔ)一次，才能得到正確的值。1.2.3溢出及補(bǔ)碼運(yùn)算中溢出的判斷如果運(yùn)算的結(jié)果大于數(shù)字設(shè)備所能表示數(shù)的范圍就產(chǎn)生溢出。溢出現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)作一種故障來處理，因?yàn)樗鼤菇Y(jié)果數(shù)發(fā)生錯誤。例如,某數(shù)字設(shè)備用八位二進(jìn)制表示數(shù)，則它所能表示補(bǔ)碼數(shù)的范圍為01111111~10000000,即+127~-128。如運(yùn)算結(jié)果大于+127或小于-128均產(chǎn)生溢出，結(jié)果錯誤。由于補(bǔ)碼運(yùn)算存在丟失進(jìn)位現(xiàn)象，運(yùn)算結(jié)果正確。因此應(yīng)區(qū)分溢出與正常進(jìn)位。異號兩數(shù)相加時，實(shí)際是兩數(shù)的絕對值相減，不可能產(chǎn)生溢出，產(chǎn)生的進(jìn)位是正確進(jìn)位。同號兩數(shù)相加時，是兩者絕對值相加，既可能產(chǎn)生溢出，也可能出現(xiàn)正確進(jìn)位。

【例1－7】某數(shù)字設(shè)備用五位二進(jìn)制表示數(shù)，試計算9+3，9+12，-9-3和-9-12。(+9)補(bǔ)=01001

(+3)補(bǔ)=00011

(+12)補(bǔ)=01100即

01100=+12結(jié)果正確。10101=-1011=-11結(jié)果顯然是錯誤的，兩個正數(shù)相加，其結(jié)果為負(fù)數(shù)。這就是產(chǎn)生了溢出。因?yàn)槲逦欢M(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼最大只能表示01111=+15,而9+12=+21超過設(shè)備所能表示的最大數(shù)。(-9)補(bǔ)=10111(-3)補(bǔ)=11101(-12)補(bǔ)=10100即

10100=-1100=-12結(jié)果正確。而01011=+11,顯然是錯誤的，兩個負(fù)數(shù)相加其結(jié)果為正數(shù)。這也是產(chǎn)生了溢出。因?yàn)槲逦欢M(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼所能表示的最小負(fù)數(shù)為-16,而-9-12=-21超過設(shè)備所能表示的最小數(shù)。根據(jù)上述運(yùn)算，我們可以找出判斷溢出還是正常進(jìn)位的規(guī)律。凡是最高位和次高位均產(chǎn)生進(jìn)位或均無進(jìn)位，則運(yùn)算結(jié)果正確；若最高位和次高位只有一位產(chǎn)生進(jìn)位，另一個無進(jìn)位，則運(yùn)算結(jié)果錯誤，產(chǎn)生了溢出。在數(shù)字系統(tǒng)中，通常是利用最高兩位的進(jìn)位位來判斷是否產(chǎn)生溢出。在第二章講到基本邏輯運(yùn)算時，將會講到用異或邏輯即可。

1.3常用的編碼

1.3.1二—十進(jìn)制碼(BCD碼)二一十進(jìn)制碼是用二進(jìn)制碼元來表示十進(jìn)制數(shù)符“0~9”的代碼，簡稱BCD碼(BinaryCodedDecimal的縮寫)。用二進(jìn)制碼元來表示“0~9”這10個數(shù)符，必須用四位二進(jìn)制碼元來表示，而四位二進(jìn)制碼元共有16種組合，從中取出10種組合來表示“0~9”的編碼方案約有2.9×1010種。幾種常用的BCD碼如表1－3所示。表1－3幾種常用的BCD碼(1)每一位有固定的權(quán)值的代碼稱為有權(quán)碼，如8421碼、5421碼、2421碼，其數(shù)值表示每位的權(quán)值，按每位的權(quán)值相加即得對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。如十進(jìn)制數(shù)7的表示：8421BCD碼為0111；5421BCD碼為1010;2421BCD碼為1011。

(2)每一位沒有固定權(quán)值的代碼稱為無權(quán)碼，如余3BCD碼和循環(huán)BCD碼。但余3BCD碼與8421BCD碼有如下關(guān)系： 余3BCD碼=8421BCD碼+0011讀余3BCD碼的值時，按8421BCD碼的權(quán)值相加，結(jié)果減去3即可。(3)從十六種組合代碼中任選十種表示十進(jìn)制數(shù)，余下的六個就是非法碼，又稱禁止碼。禁止碼不允許出現(xiàn)，如出現(xiàn),系統(tǒng)不認(rèn)識，將產(chǎn)生錯誤。如8421BCD碼只用了前十個代碼，余下的六個代碼——1010、1011、1100、1101、1110、1111，即為禁止碼。

5421BCD碼的禁止碼是0101、0110、0111、1101、1110、1111。

2421BCD碼的禁止碼是0101、0110、0111、1000、1001、1010。余3BCD碼的禁止碼是0000、0001、0010、1101、1110、1111。(4)8421BCD碼因與二進(jìn)制代碼相對應(yīng)，故用得較多。5421BCD碼的最高位對稱，即前五個為“0”，后五個為“1”。2421BCD碼和5421BCD碼均具有自補(bǔ)性，即十進(jìn)制4、5代碼，3、6代碼，2、7代碼，1、8代碼，0、9代碼互為反碼，如2421BCD碼“1”的代碼為0001，逐位取反就是“8”的代碼1110。(5)多位十進(jìn)制數(shù)用BCD碼表示的方法：每位十進(jìn)制數(shù)分別用對應(yīng)的BCD碼表示即可。

【例1－8】請用BCD碼表示十進(jìn)制數(shù)93.15。

解

(93.15)D=(10010011.00010101)8421BCD

=(11000011.00011000)5421BCD

=(11110011.00011011)2421BCD

=(11000110.01001000)余3BCD

1.3.2可靠性編碼代碼在產(chǎn)生和傳輸?shù)倪^程中，由于干擾等原因，難免發(fā)生錯誤。為減少錯誤的發(fā)生，或者在發(fā)生錯誤時能迅速地發(fā)現(xiàn)或糾正，廣泛采用了可靠性編碼技術(shù)。利用該技術(shù)編制的代碼稱為可靠性編碼，最常用的有格雷碼和奇偶校驗(yàn)碼。

1.格雷(Gray)碼上述各種BCD碼均存在相鄰兩組代碼，有多位變化，如8421BCD碼0111到1000,各位均發(fā)生變化。由于各位變化有先后，就有可能產(chǎn)生錯誤的代碼。設(shè)高位先變，則從0111到1000的變化過程為0111→1111→1011→1001→1000,其中1111、1011、1001是變化過程中產(chǎn)生的錯誤碼，這在某些控制系統(tǒng)中是絕對不允許出現(xiàn)的。格雷碼針對此情況，在編碼時遵循相鄰兩組代碼僅一位發(fā)生變化的規(guī)律。下面列出二、三、四位的格雷碼，從中可找出其規(guī)律。自然數(shù)二位格雷碼三位格雷碼四位格雷碼

0

00

000

00001

01

001

00012

11

011

00113

10

010

00104

110

01105

111

01116

101

01017

100

01008

11009

110110

111111

111012

101013

101114

100115

1000由上可知，其規(guī)律是：二位格雷碼將二位二進(jìn)制碼10與11互換；三位格雷碼其低四位在二位格雷碼前加“0”，高四位將低四位倒著寫，將高位的“0”改寫成“1”；四位格雷碼其低八位在三位格雷碼前加“0”，高八位將低八位倒著寫，將高位的“