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文檔簡介
2025屆廣西壯族自治區(qū)百色市高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i2.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動,記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個(gè)問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.14.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.25.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.6.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行7.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.8.集合,,則()A. B. C. D.9.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)10.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.11.已知直線過雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.12.已知全集,則集合的子集個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一組數(shù)據(jù),1,0,,的方差為10,則________14.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.15.某次足球比賽中,,,,四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中,對陣,對陣,獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決賽爭奪冠軍,失利的兩隊(duì)爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—則隊(duì)獲得冠軍的概率為______.16.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個(gè)組各2人,另兩個(gè)組各1人,分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.18.(12分)已知函數(shù),函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時(shí),.(3)證明:當(dāng)時(shí),.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.20.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求的大小;(2)若,求面積的最大值.21.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn),(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,),使點(diǎn)、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為2、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.3、B【解析】
將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項(xiàng)和為,,,求的值.因?yàn)?,解得,,解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算,對于解決實(shí)際問題很有幫助.4、C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、D【解析】
化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運(yùn)算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算,涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念,屬于中檔題.9、B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、B【解析】
推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11、B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.12、C【解析】
先求B.再求,求得則子集個(gè)數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7或【解析】
依據(jù)方差公式列出方程,解出即可.【詳解】,1,0,,的平均數(shù)為,所以解得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差公式的應(yīng)用.14、【解析】
求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題15、0.18【解析】
根據(jù)表中信息,可得勝C的概率;分類討論B或D進(jìn)入決賽,再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.【詳解】由表中信息可知,勝C的概率為;若B進(jìn)入決賽,B勝D的概率為,則A勝B的概率為;若D進(jìn)入決賽,D勝B的概率為,則A勝D的概率為;由相應(yīng)的概率公式知,則A獲得冠軍的概率為.故答案為:0.18【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用,互斥事件的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.16、1080【解析】
按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個(gè)組各2人,另兩個(gè)組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個(gè)組各2人,另兩個(gè)組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時(shí),,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時(shí),.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題18、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】
(1)求出的定義域,導(dǎo)函數(shù),對參數(shù)、分類討論得到答案.(2)設(shè)函數(shù),求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得證.(3)由(1)可知,可得,即又即可得證.【詳解】(1)解:的定義域?yàn)?,,?dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明:設(shè)函數(shù),則.因?yàn)?,所以,,則,從而在上單調(diào)遞減,所以,即.(3)證明:當(dāng)時(shí),.由(1)知,,所以,即.當(dāng)時(shí),,,則,即,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.19、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則切線的斜率為.又,則曲線在點(diǎn)的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;③當(dāng)時(shí),,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),,所以和時(shí),;時(shí),.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn),再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系分類討論即可.屬于??碱}.20、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理將邊化角,結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式,求得,根據(jù)可求得結(jié)果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)即三角形面積的最大值為:【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識,涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識,屬于??碱}型.21、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計(jì)算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當(dāng)a<x<時(shí),f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當(dāng)x時(shí),f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域?yàn)閇﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點(diǎn):1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.22、(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲線的普通方程,利
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