2025屆福建省廈門松柏中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆福建省廈門松柏中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．2．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．274．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．6．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．27．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．為實(shí)現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為．2015年開始，全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目，各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比（參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項(xiàng)目的脫貧率見下表：實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍9．已知集合，則（）A． B．C． D．10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）A．56383 B．57171 C．59189 D．6124211．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．14．的展開式中，的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)15．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍有___________.16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是_____，_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．18．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.19．（12分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

算出集合A、B及，再求補(bǔ)集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式，解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設(shè)A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因?yàn)?，，由平面向量垂直的坐?biāo)表示可得，，因?yàn)?，所以a2-c2=ac，兩邊同時(shí)除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運(yùn)算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.5、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)．6、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；B.，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C.，值域?yàn)椋婧瘮?shù)，滿足；D.，值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.8、B【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.10、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23，公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列則令，解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。11、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.14、【解析】

根據(jù)組合的知識，結(jié)合組合數(shù)的公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：項(xiàng)來源可以是：（1）取1個(gè)，4個(gè)（2）取2個(gè)，3個(gè)的系數(shù)為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識，熟悉二項(xiàng)式定理展開式中每一項(xiàng)的來源，實(shí)質(zhì)上每個(gè)因式中各取一項(xiàng)的乘積，轉(zhuǎn)化為組合的知識，屬中檔題.15、或【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，在求含絕對值方程時(shí)，要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.16、【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模．【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫杂蔀榈妊苯侨切?，所以又，故平?取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫?，所以平面所以平面如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，又，所以且于是設(shè)平面的法向量為，則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.18、（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，列式計(jì)算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進(jìn)而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進(jìn)而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，所以X的分布列為：X900600300100P則期望為.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、(1)(2)答案不唯一，見解析【解析】

（1）由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案．【詳解】解：（1）在中，因?yàn)?，又已知，所以，因?yàn)?，所以，于?所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當(dāng)時(shí)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題．20、（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線的極坐標(biāo)方程，分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標(biāo)方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因?yàn)椋閰?shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為.因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.【點(diǎn)睛】本題考