浙江省2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量補(bǔ)上一課立體幾何中的截面問(wèn)題及球的切接問(wèn)題含解析

PAGE立體幾何中的截面問(wèn)題及球的切接問(wèn)題學(xué)問(wèn)拓展1.立體幾何中的截面問(wèn)題(1)平面截球：圓(圓面).(2)平面截正方體：三角形、四邊形、五邊形、六邊形.(3)平面截圓柱曲面：圓、橢圓、矩形.2.球的切接問(wèn)題(1)長(zhǎng)方體的外接球①球心：體對(duì)角線的交點(diǎn)；②半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).(2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球①外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))；②內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長(zhǎng))；③與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng)).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)①外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長(zhǎng))；②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長(zhǎng)).題型突破題型一立體幾何中的截面問(wèn)題【例1】(1)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)(2)(2024·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N，若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為()A.7π B.9πC.11π D.13π解析(1)記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點(diǎn)的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等.如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因?yàn)槿忮FA′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等.分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，即截面EFGHIJ為平面α截正方體所得最大截面.又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4)，故選A.(2)設(shè)球的球心為O，由圓M的面積為4π得圓M的半徑為2，則|OM|＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，又因?yàn)閳AN所在的平面β與圓M所在的平面α所成的角為60°，則∠OMN＝30°，且ON⊥MN，則sin∠OMN＝eq\f(|ON|,|OM|)，即sin30°＝eq\f(|ON|,2\r(3))，解得|ON|＝eq\r(3)，則圓N的半徑r＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13)，圓N的面積為πr2＝13π，故選D.答案(1)A(2)D規(guī)律方法此類(lèi)題主要考查空間想象實(shí)力及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)可找尋特別狀況使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.【訓(xùn)練1】(1)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π(2)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AD，B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AE＝λ，B1F＝μ.若平面BEF與正方體的截面是五邊形，則λ＋μ的取值范圍是________.解析(1)因?yàn)檫^(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.(2)通過(guò)特別位置來(lái)分析，當(dāng)AE＝λ→1時(shí)(此時(shí)E與D接近重合)，若B1F＝μ→0(此時(shí)B1與F接近重合)，此時(shí)截面是四邊形，隨著B(niǎo)1F＝μ的變大，平面BEF與正方體的截面是五邊形，由此知λ＋μ＞1；隨著B(niǎo)1F＝μ→1，平面BEF與正方體的截面仍是五邊形，當(dāng)兩者均為1時(shí)，截面是三角形，由此知λ＋μ＜2，故1＜λ＋μ＜2.答案(1)B(2)(1，2)題型二外接球問(wèn)題【例2】(1)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)_______.(2)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)eq\r(2)的正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3) B.4πC.2π D.eq\f(4π,3)(3)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D.3eq\r(10)(4)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4) B.16πC.9π D.eq\f(27π,4)(5)已知三棱錐S－ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，SA⊥AC，SB⊥BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球的表面積為_(kāi)_______.解析(1)長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14)，所以長(zhǎng)方體外接球半徑R＝eq\f(\r(14),2)，所以長(zhǎng)方體外接球的表面積為S＝4πR2＝14π.(2)如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面為邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)，設(shè)H、I分別為下、上底面中心，HI的中點(diǎn)為O，所以O(shè)為外接球的球心，所以外接球半徑R＝AO＝eq\r(AH2＋OH2)＝1，所以外接球體積V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).(3)如圖，由題意可得棱柱上、下底面為直角三角形，所以上、下底面外接圓的圓心分別為B1C1、BC的中點(diǎn)，分別設(shè)其分別為I、H，設(shè)HI的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心，在Rt△BHO中，BO＝eq\r(BH2＋OH2)＝eq\f(13,2)，所以外接球的半徑R＝eq\f(13,2).(4)如圖，設(shè)O1為底面正方形ABCD的中心，外接球球心為O，所以PO1⊥平面ABCD，O在PO1上，設(shè)外接球O的半徑為R，則R＝AO＝PO，在Rt△AOO1中，R＝AO＝eq\r(AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1))＝eq\r(（\r(2)）2＋（4－R）2)解得R＝eq\f(9,4)，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(81,4)π.(5)如圖，∵SA⊥AC，SB⊥BC，設(shè)O為SC的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得點(diǎn)O到A，B，C，S的距離相等，故點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，∵平面SCA⊥平面SCB，SB＝BC，∴OB⊥平面SAC.設(shè)球O的半徑為R，則VS－ABC＝VB－ASC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·2R·R·R＝eq\f(1,3)R3＝9，∴R3＝27，R＝3.所以外接球表面積為S＝4πR2＝36π.答案(1)14π(2)D(3)C(4)A(5)36π規(guī)律方法1.常用結(jié)論(1)正方體和長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn).(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn).(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn).(4)正棱錐外接球的球心在其高上，詳細(xì)位置通過(guò)構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到.(5)若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.2.構(gòu)造正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱等用上述結(jié)論確定外接球的球心(1)同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體，求其外接球問(wèn)題可構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體.(2)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等的三棱錐，求其外接球問(wèn)題可構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體.【訓(xùn)練2】(1)一個(gè)四面體的全部棱長(zhǎng)都為eq\r(2)，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()A.3π B.4πC.3eq\r(3)π D.6π(2)已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P、A、B、C都在半徑為eq\r(3)的球面上，若PA、PB、PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離是________.(3)三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，則此三棱錐外接球的體積為_(kāi)_______.解析(1)構(gòu)造正方體，則正方體棱長(zhǎng)為1，因此，該四面體外接球也就棱長(zhǎng)為1的正方體外接球，所以外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球表面積為S＝4πR2＝3π.(2)如圖，構(gòu)造正方體，則球心為正方體的中心O，易求得正方體棱長(zhǎng)為2，設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為d，作CH垂直MN交MN于H，由VO－ABC＝VC－ABO，得eq\f(1,3)S△ABC·d＝eq\f(1,3)S△ABO·CH，所以d＝eq\f(\r(3),3).(3)∵PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，構(gòu)造直三棱柱PQT－ABC，設(shè)O1為△ABC外心，O為三棱錐外接球球心，所以O(shè)O1⊥平面ABC，易得OO1＝eq\f(1,2)PA，在△ABC由余弦定理可求得BC＝2eq\r(3)，再由正弦定理可求得△ABC外接圓半徑r＝2，在Rt△AOO1中，AO＝eq\r(AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以三棱錐P－ABC外接球半徑R＝eq\r(5)，外接球體積V＝eq\f(20\r(5)π,3).答案(1)A(2)eq\f(\r(3),3)(3)eq\f(20\r(5)π,3)題型三內(nèi)切球問(wèn)題【例3】(一題多解)已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD，證明：其內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a.證明法一如圖，設(shè)AH⊥平面BCD，則H為△BCD外心，可得外接球球心在AH上，設(shè)外接球球心為O，外接球半徑為R，則AO＝BO＝R，在△BCD中，可得BH＝eq\f(\r(3),3)a，在Rt△ABH中，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△BHO中，BO2＝BH2＋OH2，∴BO2＝BH2＋(AH－OA)2，∴R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))eq\s\up12(2)，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，因內(nèi)切球球心與外接球球心重合，所以?xún)?nèi)切球半徑r＝OH＝AH－AO＝eq\f(\r(6),3)a－eq\f(\r(6),4)a＝eq\f(\r(6),12)a.法二如圖，設(shè)AH⊥平面BCD，設(shè)外接球球心為O，則點(diǎn)O也是內(nèi)切球球心，由于內(nèi)切球球心到各個(gè)面的距離相等，都為內(nèi)切球半徑，設(shè)為r，∵VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ACD＋VO－ABD＋VO－BCD.∴eq\f(1,3)S△BCD·AH＝eq\f(1,3)S△BCD·r·4，∴r＝eq\f(1,4)AH＝eq\f(\r(6),12)a.規(guī)律方法求內(nèi)切球的半徑常用等積法(1)正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離.(2)正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不肯定重合.【訓(xùn)練3】(1)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4π B.eq\f(9π,2)C.6π D.eq\f(32π,3)(2)(2024·金華一中月考)已知某錐體的三視圖如圖所示(各正方形的邊長(zhǎng)為2)，則該錐體的體積是________；該錐體的內(nèi)切球的表面積是________.解析(1)由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.(2)如圖，由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2eq\r(2)的正四面體A－BCD，其可以為邊長(zhǎng)為2的正方體截去四個(gè)角而得，所以其體積為V＝23－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(8,3).因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2eq\r(2)，所以其底面的三角形的高為eq\r(6)，該正四面體的高為eq\f(4\r(3),3)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)－r))eq\s\up12(2)＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)))eq\s\up12(2)，解得r＝eq\f(\r(3),3)，所以該內(nèi)切球的表面積為S＝4πr2＝eq\f(4π,3).答案(1)B(2)eq\f(8,3)eq\f(4π,3)補(bǔ)償訓(xùn)練一、選擇題1.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是()A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知剩下的幾何體為五棱柱.答案C2.(2024·北京東城區(qū)一模)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則截面圖形的形態(tài)為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.梯形解析如圖所示，由三視圖可得該幾何體是正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)三棱錐所得的幾何體，很明顯三棱錐的兩條側(cè)棱相等，故截面是等腰三角形.答案A3.(2024·福州模擬)某簡(jiǎn)潔幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積是()A.eq\f(8\r(2),3)π B.4eq\r(3)πC.12π D.32eq\r(3)π解析由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為直三棱柱，底面為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2.把該三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).∴該三棱柱外接球的半徑為eq\r(3).體積V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案B4.(2024·昆明模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，若此幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為()A.8π B.9πC.32π D.36π解析通過(guò)三視圖可知，該幾何體是直三棱柱D1A1C1－DAC，其中底面是直角三角形，把它補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖所示：連接D1B，設(shè)外接球的半徑為R，所以有2R＝eq\r(D1D2＋DB2)＝eq\r(D1D2＋AD2＋AB2)＝eq\r(1＋4＋4)＝3，球的表面積為4πR2＝9π.答案B5.(2024·安陽(yáng)一模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球體積為eq\f(32π,3)，則h＝()A.eq\r(13) B.2eq\r(6)C.2eq\r(3) D.eq\r(3)解析由三視圖知幾何體為三棱錐，且一條側(cè)棱垂直底面，如圖，O為AC的中點(diǎn)，∵正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，EO⊥底面ABC，OB＝OC＝OA＝1，E為球心.設(shè)球半徑為r，則V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32π,3)，r＝2，EO＝eq\r(3)，∴h＝2eq\r(3).答案C6.(2024·浙江省聯(lián)盟校聯(lián)考)已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為20eq\r(2)，當(dāng)矩形ABCD的面積最大時(shí)，沿對(duì)角線AC將△ACD折起，且二面角B－AC－D的大小為θ，則折疊后形成的四面體ABCD的外接球的體積為()A.eq\f(500,3)π B.100πC.eq\f(1000\r(2),3)π D.與θ的大小有關(guān)解析設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為x，y，則2x＋2y＝20eq\r(2)≥2eq\r(2x·2y)，所以xy≤50，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5eq\r(2)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)矩形ABCD為邊長(zhǎng)為5eq\r(2)的正方形時(shí)，矩形ABCD的面積最大.由于正方形ABCD的外接圓的圓心即AC的中點(diǎn)，它到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以沿對(duì)角線AC折疊后形成的四面體ABCD的外接球的球心為AC的中點(diǎn)，故外接球的半徑r＝5，外接球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(500,3)π，故選A.答案A7.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A.12eq\r(3) B.18eq\r(3)C.24eq\r(3) D.54eq\r(3)解析設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝eq\f(6,sin60°)，解得r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).答案B8.(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A.8eq\r(6)π B.4eq\r(6)πC.2eq\r(6)π D.eq\r(6)π解析因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P－ABC放在正方體中如圖所示.因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π，故選D.答案D9.(2024·重慶調(diào)研二)已知三棱錐S－ABC各頂點(diǎn)均在球O上，SB為球O的直徑，若AB＝BC＝2，∠ABC＝eq\f(2π,3)，三棱錐S－ABC的體積為4，則球O的表面積為()A.120π B.64πC.32π D.16π解析如圖所示，由AB＝BC＝2，∠ABC＝eq\f(2π,3)得AC＝2eq\r(3)，則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsineq\f(2π,3)＝eq\r(3)，設(shè)△ABC外接圓圓心為O′，則OO′⊥⊙O′，由正弦定理可知，△ABC外接圓半徑O′A＝eq\f(2\r(3),2sin\f(2π,3))＝2，設(shè)S到面ABC距離為d，由SB為球O直徑可知OO′＝eq\f(1,2)d，∴VS－ABC＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×d＝4，∴d＝4eq\r(3)，則OO′＝2eq\r(3)，∴球的半徑OA＝eq\r(O′A2＋O′O2)＝eq\r(4＋12)＝4，球O的表面積S＝4π×42＝64π.答案B10.(2024·廈門(mén)質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是()A.π B.eq\f(4π,3)C.4π D.16π解析由三視圖可得三棱錐為如圖所示的三棱錐P－ABC，其中側(cè)面PAB⊥底面ABC，在△ABC和△PAB中，∠ACB＝∠APB＝90°，AC＝BC＝AP＝BP＝eq\r(2).取AB的中點(diǎn)D，連PD，則D為△ABC外接圓的圓心，且PD⊥底面ABC，所以球心O在PD上，設(shè)球半徑為R，則在Rt△ODB中，OD＝1－R，OB＝R，DB＝1，由勾股定理得R2＝(1－R)2＋12，解得R＝1，所以三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝4π.答案C二、填空題11.(2024·杭州三校三聯(lián))《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”P(pán)－ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為_(kāi)_______；外接球表面積為_(kāi)_______.解析由題意得“陽(yáng)馬”P(pán)－ABCD可以看作是棱長(zhǎng)為2，2，1的長(zhǎng)方體的一部分，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)度為eq\r(22＋22＋12)＝3，該“陽(yáng)馬”的外接球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，其表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9π.答案39π12.(2024·金華十校期末調(diào)研)一個(gè)棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，側(cè)棱與底面垂直.其三視圖如圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為_(kāi)_______，此棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_______.解析由題意可知該三棱柱是一個(gè)直三棱柱，且底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，底面積為S＝eq\f(1,2)×62×sin60°＝9eq\r(3)，又因?yàn)樵撊庵母遠(yuǎn)＝4，所以該三棱柱的體積為V＝Sh＝9eq\r(3)×4＝36eq\r(3).由正弦定理可知該正三棱柱底面的外接圓直徑為2r＝eq\f(6,sin60°)＝4eq\r(3)，則其外接球的半徑為R＝eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝4，因此，此棱柱的外接球的表面積為4πR2＝4π×42＝64π.答案36eq\r(3)64π13.(2024·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)14.(2024·西安質(zhì)檢三)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，且內(nèi)接于球O，若正三棱柱ABC－A1B1C1的體積是2eq\r(3)，則球O的表面積為_(kāi)_______.解析設(shè)AA1＝A1B1＝a，則正三棱柱ABC－A1B1C1的體積是eq\f(\r(3),4)a3＝2eq\r(3)，解得a＝2，底面正三角形的外接圓半徑r＝eq\f(a,2sin60°)＝eq\f(2,\r(3))，所以球的半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),3)，所以球O的表面積為4πR2＝eq\f(28π,3).答案eq\f(28π,3)15.(2024·石家莊二模)在三棱椎P－ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥AC，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.解析由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，則PB⊥CB，因此取PC中點(diǎn)O，則有OP＝OC＝OA＝OB，即O為三棱錐P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，