2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量的線性運(yùn)算學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13．1.1空間向量的線性運(yùn)算1.了解空間向量的有關(guān)概念．2.理解空間向量及運(yùn)算、空間向量推廣的意義．3．能利用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡潔的立體幾何問題．1．空間向量的概念2．空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算(1)加法：a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→))．(2)減法：a－b＝eq\o(CA,\s\up6(→))．(3)數(shù)乘：λa：|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa為零向量．(4)線性運(yùn)算律①加法交換律：a＋b＝b＋a；②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在空間中，單位向量唯一．()(2)在空間中，隨意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移．()(3)在空間中，互為相反向量的兩個(gè)向量必共線．()(4)空間兩非零向量相加時(shí)，肯定可用平行四邊形法則運(yùn)算．()(5)若表示兩個(gè)相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(D1B,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)＋b－cC．a(chǎn)－b－cD．－a＋b＋c解析：選C．畫圖可得eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝a－b－c.3．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝________．解析：|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)空間向量的基本概念(1)給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－eq\o(C1C,\s\up6(→))；③若向量a與向量b的模相等，則a，b的方向相同或相反；④在四邊形ABCD中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).其中正確命題的序號是________．(2)如圖所示，在以長、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，①單位向量共有多少個(gè)？②試寫出模為eq\r(5)的全部向量．【解】(1)①正確；②正確，因?yàn)閑q\o(AA1,\s\up6(→))與eq\o(C1C,\s\up6(→))的大小相等方向相反，即為互為相反向量，所以eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－eq\o(C1C,\s\up6(→))；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a與b的方向不能確定；④中只有當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，才有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).綜上可知，正確命題為①②.故填①②.(2)①由于長方體的高為1，所以長方體4條高所對應(yīng)的eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))這8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè)．②由于這個(gè)長方體的左、右兩側(cè)的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))共8個(gè)．eq\a\vs4\al()解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及留意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．(2)留意點(diǎn)：①零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的．②單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚鐖D所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，給定的下列各對向量：①eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(A1C,\s\up6(→))②eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(B1D,\s\up6(→))③eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))④eq\o(CC1,\s\up6(→))與eq\o(A1A,\s\up6(→))其中是相反向量的有________對．解析：eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))是相反向量；eq\o(CC1,\s\up6(→))與eq\o(A1A,\s\up6(→))是相反向量．故有2對．答案：2空間向量的線性運(yùn)算如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→)).【解】(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(3)設(shè)M是線段AC′的中點(diǎn)，則eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AM,\s\up6(→))如圖所示．本例條件不變，化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．解：法一：(統(tǒng)一成加法)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.法二：(利用eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)))原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.eq\a\vs4\al()化簡向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則．在化簡過程中遇到減法時(shí)可敏捷應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加、減法之間可相互轉(zhuǎn)化．在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解：(1)因?yàn)镚是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).又因?yàn)閑q\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法則，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).從而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如圖所示，分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).空間向量線性運(yùn)算的應(yīng)用利用空間向量學(xué)問證明平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處相互平分．【證明】如圖所示，平行六面體ABCD-A′B′C′D′，設(shè)點(diǎn)O是AC′的中點(diǎn)，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))．設(shè)P、M、N分別是BD′、CA′、DB′的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))同理可證：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))．由此可知O，P，M，N四點(diǎn)重合．故平行六面體的對角線相交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處相互平分．eq\a\vs4\al()解答本題易出現(xiàn)利用模相等證明中點(diǎn)的錯(cuò)誤，導(dǎo)致該種錯(cuò)誤的緣由是不能利用相等向量的起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)重合來證明平分問題．如圖，設(shè)A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．證明：連接BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．1．對空間向量加減運(yùn)算的相識減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，可以在理解相反向量的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的加法運(yùn)算駕馭減法運(yùn)算，并會利用三角形作出減向量．2．關(guān)于空間向量加法的運(yùn)算需留意的幾點(diǎn)(1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起點(diǎn)指向最終向量的終點(diǎn)的向量．(2)兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間中仍舊成立．3．利用向量證明幾何問題的常用方法(1)正確分析被證向量式與題目中的特別點(diǎn)、特別線段之間的關(guān)系；(2)正確運(yùn)用三角形法則與平行四邊形法則，用要證明的某一向量構(gòu)建三角形或平行四邊形；(3)駕馭常用向量變換技巧．1．推斷有關(guān)向量的命題時(shí)，要抓住向量的兩個(gè)主要元素：大小和方向，兩者缺一不行，相互制約．2．利用三角形法則進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，留意“首尾相連”，和向量的方向是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向其次個(gè)向量的終點(diǎn)．進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，留意“共起點(diǎn)”，差向量的方向是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．1．已知空間四邊形ABCD，連接AC、BD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))為()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．0答案：A2．對于空間向量，下列命題正確的是()A．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|B．若|a|>|b|，則a>bC．若a＝b，則|a|＝|b|D．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b解析：選C．A明顯錯(cuò)；向量不能比較大小故B錯(cuò)；C正確；|a|＝|b|說明a與b長度相等，因?yàn)榉较虿欢?，所以D錯(cuò)．3．在長方體ABCD-A′B′C′D′中，化簡向量表達(dá)式eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的結(jié)果是________．解析：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.答案：0[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量a，b滿意|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則有m＝p；⑤空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選C．當(dāng)兩個(gè)空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等，但兩個(gè)向量相等，不肯定有起點(diǎn)相同、終點(diǎn)相同，故①錯(cuò)；依據(jù)向量相等的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不肯定相同，故②錯(cuò)；依據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正確；命題④明顯正確；對于命題⑤，空間中隨意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不肯定相同，故不肯定相等，故⑤錯(cuò)．2．下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等，方向不確定，故A不正確；相反向量是指長度相同，方向相反的向量，故B正確；空間向量的減法不滿意結(jié)合律，故C不正確；在?ABCD中，才有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故D不正確．故選B．3．a(chǎn)，b為空間兩個(gè)隨意向量，若命題p：|a|≠|(zhì)b|，命題q：a≠b，則p是q的________條件．()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要解析：選A．|a|≠|(zhì)b|?a≠b，反推不成立，故選A．4．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間隨意一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形B．空間四邊形C．等腰梯形D．矩形解析：選A．由于eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，從而|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且AB與CD不共線，所以AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．5．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|BC|，則()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向D．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向解析：選D．由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C點(diǎn)在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊沖突，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向．6．如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量；eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．答案：相等相反7．化簡：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(2,3)c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)a＋(eq\f(1,2)×2－5×eq\f(1,2)＋3×2)b＋(－3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝－a＋b－c.答案：－a＋b－c9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡向量表達(dá)式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)因?yàn)閑q\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以原式＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.10．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC、BD，E、F、G分別是BC、CD、DB的中點(diǎn)，請化簡(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).[B實(shí)力提升]11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選A．①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).所以正確的結(jié)果為①②.12．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)．用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).答案：eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))13.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外隨意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(