湖北省十一校2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學試題 含解析

鄂南高中黃岡中學黃石二中荊州中學龍泉中學武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學2025屆高三湖北省十一校第一次聯(lián)考數(shù)學試題(考試時間:120分鐘試卷滿分:150分)命題學校:黃岡中學命題教師:李鋼鋒蔡盛陳曉潔審題學校:荊州中學注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2?B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若集合A={?1,?2,?A.{?2}B.{?3}2.若復數(shù)z滿足z+1?iz=A.?12?12i3.已知非零向量a=0,t,b=1,?4,若向量b在A.-2B.-4C.2D.44.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品,質(zhì)檢人員測量其長度(單位:厘米),將測量數(shù)據(jù)分成6組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過a厘米,根據(jù)直方圖估計,下列最接近a的數(shù)是()A.93.5B.94.1C.94.7D.95.55.下列選項中,與tan55°A.1+sin20°cos20°6.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=2πA.12πB.16πC.20π D.24π7.蒙日是法國著名的數(shù)學家,他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓,這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓C:x2m+y23=1的焦點在x軸上,A、B為橢圓上任意兩點,動點P在直線x?A.0,33B.0,8.已知函數(shù)fx,gx的定義域為R,g'x是gx的導數(shù),且fx+A.80B.75C.70D.65二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)fx=2A.fB.函數(shù)fx的圖象關于點π18C.將fx的圖象向左平移π6個單位長度,可得到gD.函數(shù)fx在區(qū)間0,10.已知函數(shù)fx=lnx?1?2A.若a,b∈D且aB.已知a,b∈D且a≠b,則“abC.方程ffx=0D.若a∈1,211.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支,在數(shù)學曲線領域占有至關重要的地位,同時也具有特殊的有價值的藝術美.雙紐線的圖形輪廓像“∞”,是許多藝術家設計作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標系中,F1?2,0,F22,曲線C.則下列結論正確的是()A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形B.曲線C上滿足PF1=PF2的點C.OPD.曲線C上存在四個不同的點,使曲線在該點處切線的斜率為0三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且其前n項和為Sn.若S3=913.若直線y=2x為曲線y=eax+14.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學家,他博學多才,既是天文學權威,也是地理學大師.托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理,它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系,該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊形中,兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,且AC=3BD,??(1)圓O的半徑是_____；(2)四邊形ABCD面積的取值范圍是_____.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC是邊長為2的正三角形,AA1=3,D為(1)當λ=23時,求證:A1E⊥(2)當λ=13時,求直線A1B116.(15分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左頂點為A,右焦點為F(1)求C的離心率；(2)已知a=1,M,N兩點在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一、四象限.若MB17.(15分)2024年7月13日,國際汽車博覽會在長春舉行,已知某汽車模型公司共有25個汽車模型,其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型,記事件A為小明取到紅色外觀的模型,事件B為小明取到米色內(nèi)飾的模型,求PB和PB∣A,并判斷事件A和事件(2)該公司舉行了一個抽獎活動,規(guī)定在一次抽獎中,每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型,給出以下假設:假設1:拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結果,即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色;假設2:按結果的可能性大小,概率越小獎項越高;假設3:該抽獎活動的獎金額為:一等獎600元,二等獎300元,三等獎150元.請你分析獎項對應的結果,設X為獎金額,寫出X的分布列并求出X的數(shù)學期望.18.(17分)已知函數(shù)?x(1)當a=1時,判斷函數(shù)g(2)對任意的x≥0時g'x≥?(3)記fx=?x?1πx2,若fx1=f19.(17分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn.若對每一個n∈N?,有且僅有一個m∈N?,使得Sm≤an<Sm+1.則稱an為“(1)若an的前四項依次為0,1,?1,2,試判斷(2)若Sn=2n+1,證明an為“(3)已知a1=1的正項數(shù)列an為“X數(shù)列”,且an2025屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學試題參考答案1.【答案】C【解答】集合A={?1,?2,?3【解答】由z+1?iz=1+3.【答案】A【解答】由題意b?aa?a4.【答案】C【解答】由圖可得1所以a∈94,95,且a?94×5.【答案】D【解答】D中,1?tan6.【答案】C【解答】由C點到直線A1B1的距離為7△ABC的外接圓直徑設三棱柱ABC?A1B1則R2=r2+7.【答案】B【解答】由題m>3,又直線x=±m(xù),y=±3都與橢圓x2m+y23=1m>0相切,因此直線x=±m(xù),y=±3所圍成矩形的外接圓x2+y2=3+m即為橢圓x2m+y23=?得m<9,則e2=m所以橢圓C的離心率的取值范圍為08.【答案】B【解答】因為gx為偶函數(shù),所以gx=g?x,所以因為fx+g′x=5f所以f4?x+又fx=5?g′x=k9.【答案】AB【解答】A中,fx的周期T=2π3B中,令fx=2sin3x?π6=0C中,將fx的圖象向左平移π6個單位長度,得到fx+π6D中,由fx的對稱軸為x=2π9+kπ故D錯誤.10.【答案】BCD【解答】由函數(shù)fx=lnx?1且f′x=1x+2x?A中,令a=1e,b=e,得B中,由已知得f1x+fx=?C中,fx有兩個零點x1,x2,方程fx=x1D中,由fa?1>f令gx=lnx+1所以gx在(0,1)為單調(diào)遞減函數(shù),所以gx>g1因為a∈1,2,可得1?得fa?1?fa11.【答案】ACD【解答】設P點坐標為(x,y),則曲線C:x?22B中,若PF1=PF2,則PF1=PF2C中,由x?22+整理得,x2+y22=D中,從雙紐線的圖形上,可以觀察有四個點處切線的斜率為0,另外,由x2+y22=8x2令yx′=0?x=±3或0,經(jīng)計算曲線12.【答案】1【解答】由S3=9,S6=36得:a213.【答案】2【解答】設fx=eax+b,則f′x=可得切線方程為y?eax0所以1?ax0eax0+b=0a設gx=2xe1+x,則g′x=當x∈1,+∞時,g′x<0,gx單調(diào)遞減,所以當所以ab的最大值為2e14.【答案】(1)2;(2)3,【解答】(1)由托勒密定理,得AC?BD=AB?CD+BC?設圓O的半徑為R,由正弦定理,得ACsin∠ADC=BDsin∠所以sin∠ADC=3sin∠BAD.因為∠因為0<∠BAD<π,所以sin∠BAD所以sin∠BAD=1?cos2∠BAD=(2)如圖,假設BD邊固定,結合AC=23得,圓心O到直線AC的距離d=1,即AC是以過B(或D)分別做小圓的切線時,可得直線BA2,BA4,DA1,DA3當C點在劣弧BD時,頂點A可以在劣弧A1A2,A3A4上運動,由對稱性可知,不妨考慮點A在劣弧15.(13分)【解答】(1)證明:∵△ABC為正三角形,D為AC中點,∴在直三棱柱ABC?A1B1C1中,平面ACC1A1⊥故BD⊥平面ACC1A1當λ=23時,tan∠A1∴∠A1ED=90°,即A1E⊥DE(說明:也可以用坐標法證明)(2)當λ=13時,CE=1,易證A1E⊥DE以D為坐標原點,以DB,DC,DD1向量方向分別為x軸,y建立如圖所示的空間直角坐標系,則有D0,由A1E⊥平面BDE可得:平面BDE的一個法向量是且BA=?3,?1,0.記直線A1B1sin所以直線A1B1與平面BDE所成角的正弦值是(說明:也可以用幾何法求解)16.(15分)【解答】(1)當BF⊥AF且AF=BF時,c+a=b2a=c(2)由a=1得:c=2,b=3不妨設Mm,3m,Nn,?3n由B在雙曲線C上得:m+2n而∠MON=120°【解答】(1)若小明取到紅色外觀的模型,棕色內(nèi)飾的有12個,米色內(nèi)飾的有2個,則對應的概率PA若小明取到米色內(nèi)飾的模型,紅色外觀的有2個,藍色外觀的有3個,則對應的概率P(2分)同時取到紅色外觀、米色內(nèi)飾的模型有2個,即PAB=225,則∵PAPB=1425×15=14(2)由題意知X=則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P1=外觀和內(nèi)飾都異色的概率P2=僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率P3∵1則X的分布列為:(13分)X150300600P14913則EX=150×18.(17分)【解答】(1)當a=1時,g令mx=ex當x<ln2時,m′x<0,即m當x>ln2時,m′x>0,即mx所以mx≥mln所以gx在R上為增函數(shù);-4(2)因為gx=ex設F則F′x令nx=ex?∴nx在[0,+∞)為增函數(shù),即F′x故F′x當a≤?12時,F′x≥F′0=?故Fx≥F0當a>?12時,F′0=?2a?1<0故存在x0>0滿足F′x0=0,則所以當x∈0,x0綜上所述,a的取值范圍為a≤?(3)證明:fx由fx1=fx所以2x1兩邊同除以x1?x2所以2?1令x0=x1+x22因為f′所以f′x因為sinx1?x22x1?x22=sinx2?x12x2?x12,又x(說明:第(3)問用極值點偏移的方法對應給分,易知部分不證明也給分)19.(17分)【解答】(1)an不為“X數(shù)列”.由題意得:S1=因為S1≤a1<S2,S3≤a所以an不為“X數(shù)列”;-5(2)證明:因為Sn=2n+1,所以當n=1解得m=1,所以b當n≥2時,an=Sn?Sn因此m=