第03講 利用函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專(zhuān)用）（原卷版）

第03講利用函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）一．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀(guān)題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀(guān)題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．二．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．三．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說(shuō)關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域?yàn)镽，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．四．函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期，其周期為任意實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富．①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫(xiě)幾個(gè)，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4②與對(duì)稱(chēng)函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如已知函數(shù)在某個(gè)小區(qū)間與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．思路：第一，這一般是個(gè)周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第三，注意端點(diǎn)的值．【命題方向】周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c(diǎn)，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進(jìn)行歸類(lèi)，靈活運(yùn)用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】題型一：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值一、單選題1．（2022·河南·項(xiàng)城市第三高級(jí)中學(xué)高三期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值與最小值之和為6，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為_(kāi)__________．5．（2022·江西·修水中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校高三階段練習(xí)）若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則_______．三、解答題6．（2022·山西太原·高三期中）已知是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)求不等式的解集．7．（2022·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)求的值，判斷并證明在其定義域上的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．8．（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使，則稱(chēng)函數(shù)是由“函數(shù)”生成的.(1)若和生成一個(gè)偶函數(shù)，求的值；(2)若是由函數(shù)且生成，求的取值范圍.9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，且的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2022·上海市延安中學(xué)高三期中）已知，，其中，且函數(shù)為奇函數(shù)；(1)若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A（1，1），求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在唯一的使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；題型二：利用函數(shù)奇偶性解抽象函數(shù)不等式一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，定義域均為，二者在上的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)定義域內(nèi)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．5．（2022·上?！ど贤飧街懈呷A段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．D．三、填空題10．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，且，則不等式的解集為_(kāi)__________.11．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為_(kāi)__________.12．（2022·山西太原·高三期中）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_______．四、解答題13．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)二次函數(shù)的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數(shù)，，求的最大值．14．（2022·浙江·東陽(yáng)市橫店高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式.15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范圍．16．（2022·山東·汶上圣澤中學(xué)高三階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿(mǎn)足的的取值集合．題型三：構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值一、單選題1．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)在上的最大值與最小值的和為（

）A．-2 B．2C．4 D．62．（2022·河南·偃師市緱第四中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若，則（

）A．2 B．1 C．－2 D．－53．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．4．（2022·陜西·銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，且函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿(mǎn)足，則這樣的正方形最多有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題5．（2022·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）下列命題中真命題有（

）A．已知，若與的夾角為銳角，則B．若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)f（x－1）為偶函數(shù)，則f（2）＝0C．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|2＝z2D．函數(shù)的最大值是5三、填空題6．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實(shí)數(shù)），，則______．7．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則______.8．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之和為_(kāi)_____．四、雙空題9．（2021·河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)解析___________；（2）利用題目中的推廣結(jié)論，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是___________.五、解答題10．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)m、n使，則稱(chēng)函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的．(1)若和生成一個(gè)偶函數(shù)，求的值；(2)若由函數(shù)（，且）生成，求的取值范圍：(3)試?yán)谩盎瘮?shù)和”生成一個(gè)函數(shù)，使之滿(mǎn)足下列條件：①是偶函數(shù)；②有最小值1．求函數(shù)的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性．（無(wú)需證明）11．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)(2，).（1）求m的值與函數(shù)的定義域；（2）已知，求的值.題型四：奇偶性與周期性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求的解析式．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式.3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知是定義在上的偶函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若存在，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若滿(mǎn)足為R上奇函數(shù)且為R上偶函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)恒成立，函數(shù)，求證：函數(shù)是周期函數(shù)，并寫(xiě)出的一個(gè)正周期；（3）對(duì)于函數(shù)，，若對(duì)恒成立，則稱(chēng)函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”，是其一個(gè)廣義周期，若二次函數(shù)的廣義周期為（不恒成立），試?yán)脧V義周期函數(shù)定義證明：對(duì)任意的，，成立的充要條件是．5．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，其中是定義在上的周期函數(shù)，，為常數(shù)（1），討論的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）求證:“為奇函數(shù)“的一個(gè)必要非充分條件是”的圖象有異于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)中心”（3），在上的最大值為，求的最小值.題型五：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義，設(shè)函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，求非零實(shí)數(shù)m的取值范圍．2．（2022·湖北·棗陽(yáng)一中高三期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且．(1)判斷的奇偶性及在上的單調(diào)性，并分別用定義進(jìn)行證明；(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性并證明；(2)令，若對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2022·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，且(1)判斷的奇偶性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2022·上海南匯中學(xué)高三期中）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱(chēng)的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱(chēng)函數(shù)為倒函數(shù).(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，方程是否有正整數(shù)解？并說(shuō)明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù).記，證明：是的充要條件.6．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達(dá)式；（3）若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，試探求與滿(mǎn)足的條件．題型六：對(duì)稱(chēng)性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，其中且.（1）試求函數(shù)的解析式；（2）問(wèn)函數(shù)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.2．（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）以下給出兩種求函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)中心的方法：①利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)這一性質(zhì)，再結(jié)合圖像的變換可得．例如，函數(shù)，的對(duì)稱(chēng)中心為．而的對(duì)稱(chēng)中心為；②利用結(jié)論：函數(shù)的圖像有對(duì)稱(chēng)中心的充要條件是對(duì)定義域中的任何一個(gè)x，均有．請(qǐng)你根據(jù)以上提供的方法，解下列各題．（1）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心；（2）判斷命題：“若，的定義域都為，且都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的真假，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)是否有對(duì)稱(chēng)中心？若有，求出其對(duì)稱(chēng)中心；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．題型七：對(duì)稱(chēng)性、周期性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·福建省廈門(mén)第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的最小正周期，并用函數(shù)的周期性的定義證明；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算的值．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記，其中，已知是函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)的表達(dá)式展開(kāi)可以得到，求的值.(3)設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，若，求的值3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且當(dāng)2≤x≤6時(shí)，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)和，對(duì)任意的，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)為“擬線(xiàn)性函數(shù)”，其中數(shù)組稱(chēng)為函數(shù)的擬合系數(shù).(1)數(shù)組是否是函數(shù)的擬合系數(shù)？(2)判斷函數(shù)是否是“擬線(xiàn)性函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(3)若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)（其中為常數(shù)），證明：是“擬線(xiàn)性函數(shù)”.5．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足．（1）證明：2是函數(shù)的周期；（2）當(dāng)，時(shí)，，求在，時(shí)的解析式，并寫(xiě)出在，時(shí)的解析式；（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有20個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型八：定義法判斷證明函數(shù)的奇偶性一、單選題1．（2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)，則正確的是（

）A．函數(shù)的值域是；B．任意一個(gè)非零有理數(shù)都是的周期；C．函數(shù)是偶函數(shù)；D．存在三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形.三、填空題3．（2022·浙江紹興·一模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_____.四、雙空題4．（2022·北京鐵路二中高三期中）已知函數(shù).①的函數(shù)圖象關(guān)于__________對(duì)稱(chēng)；②若存在唯一，滿(mǎn)足，則____________.五、解答題5．（2022·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于x的方程；(2)討論的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù),其中常數(shù)．(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;(2)中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且,求當(dāng)時(shí),的面積．7．（2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)．(1)判斷的單調(diào)性和奇偶性并簡(jiǎn)答說(shuō)明理由；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍8．（2022·河北保定·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足.(1)討論的奇偶性；(2)求函數(shù)在上的最小值.9．（2020·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有恒成立，我們稱(chēng)為“類(lèi)余弦型”函數(shù).（1）已知為“類(lèi)余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的條件下，定義數(shù)列（），求的值；（3）若為“類(lèi)余弦型”，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，總有，證明：①函數(shù)為偶函數(shù)；②設(shè)有理數(shù)滿(mǎn)足，判斷和的大小關(guān)系，并證明.題型九：定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性一、多選題1．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，且?duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．在上不單調(diào) D．當(dāng)時(shí)，二、解答題2．（2022·江蘇泰州·高三期中）若函數(shù)滿(mǎn)足，其中，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，在時(shí)恒成立，求的取值范圍．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若存在正數(shù)m與集合A，使得對(duì)任意的，當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．(1)若，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若，且具有性質(zhì)，求m的最大值；(3)若函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線(xiàn)，且當(dāng)集合（a為正常數(shù)）時(shí)，具有性質(zhì)，證明：是R上的單調(diào)函數(shù)．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給定集合，為定義在D上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，補(bǔ)充在橫線(xiàn)處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出和的值；（2）寫(xiě)出在上的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，寫(xiě)出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．題型十：利用周期性求函數(shù)值一、單選題1．（2022·江西省豐城中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足.若，則（

）A． B． C． D．2．（2022·福建泉州·高三期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東汕頭·高三期中）已知定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足為奇函數(shù)且為偶函數(shù)，則