第07講平面向量的應用與新定義（六種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第07講平面向量的應用與新定義（六種題型）題型一：用向量證明線段垂直一、單選題1．（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線的焦距為，它的兩條漸近線與直線的交點分別為A，B，若O是坐標原點，，且的面積為，則雙曲線C的焦距為（

）A．5 B． C． D．2．（2022秋·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習）若O為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．（2022·全國·高三專題練習）已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則O一定為△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心4．（2022·全國·高三專題練習）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心二、多選題5．（2022·全國·高三專題練習）點在△所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的垂心；B．若，則點為△的內(nèi)心；C．若，則點為△的外心；D．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的重心.6．（2020·全國·高三專題練習）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影為三、填空題7．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三?？茧A段練習）已知直線與拋物線交于P，Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線，交拋物線于點A，若，則__________．四、解答題8．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，直線，點到直線的距離為，若點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為零的直線與交于兩點，設(shè)，證明：.9．（2021·全國·高三專題練習）已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當m＝5，且直線l垂直于x軸時，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當點P在直線l上時，求實數(shù)m，使得AM⊥AN.10．（2023·全國·高三專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.11．（2022·湖北黃岡·黃岡中學校考二模）動點P到定點F(0，1)的距離比它到直線的距離小1，設(shè)動點P的軌跡為曲線C，過點F的直線交曲線C于A、B兩個不同的點，過點A、B分別作曲線C的切線，且二者相交于點M．(1)求曲線C的方程；(2)求證：；(3)求△ABM的面積的最小值．題型二：用向量解決夾角問題一、單選題1．（2020·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，已知，且，點滿足，，則的面積為A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題3．（2021秋·山東泰安·高三?？茧A段練習）已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為______．4．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習）已知，，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為______．三、解答題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．題型三：用向量解決線段的長度問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．2．（2021·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列{xn}的各項都為正數(shù)且x1=1．△ABC內(nèi)的點Pn（n∈N*）均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2：1，若+xn+1+（2xn+1）=，則x4的值為A．15 B．17 C．29 D．313．（2021·云南·統(tǒng)考模擬預測）已知共面向量滿足，且.若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為A． B．2 C．4 D．6二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習）已知為等邊三角形，點G是的重心．過點G的直線l與線段AB交于點D，與線段AC交于點E．設(shè)，，則__________；與周長之比的取值范圍為__________．5．（2022·全國·高三專題練習）如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動點，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點，則的最小值為_____.三、解答題6．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學?？计谀┰谥校瑑?nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.7．（2023·全國·高三專題練習）已知的三個角，，的對邊分別是，，，而且滿足.(1)求角的值；(2)若，，邊AB上的中點為D，求CD的長度.8．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.(1)求內(nèi)角；(2)點是邊上的中點，已知，求面積的最大值.9．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，，，，邊上一點，這里異于．由引邊的垂線是垂足，再由引邊的垂線是垂足，又由引邊的垂線是垂足．同樣的操作連續(xù)進行，得到點，，．設(shè)，如圖所示.（1）求的值；（2）某同學對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：，問該同學這個結(jié)論是否正確并說明理由；（3）用和表示．題型四：向量與幾何最值一、單選題1．（2022秋·山東煙臺·高三?？茧A段練習）如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個動，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．3．（2023·山東濰坊·校考一模）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為06．（2023·全國·高三專題練習）已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心三、雙空題7．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期末）菱形中，，點E，F(xiàn)分別是線段上的動點（包括端點），，則___________，的最小值為___________.四、填空題8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．9．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）在平面直角坐標系中，已知直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，若點，則的最大值為_________．10．（2022秋·遼寧大連·高三育明高中?？计谥校┮阎蛄颗c的夾角為，，，向量的夾角為，，則的最大值是___________.11．（2022·全國·高三專題練習）已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點，，B，C為圓O上任意兩點，則的取值范圍是_________．12．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，若對于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為________.題型五：向量在物理中的應用一、單選題1．（2021·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）渭河某處南北兩岸平行，如圖所示.某艘游船從南岸碼頭出發(fā)北航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為，河水流速度的大小為.設(shè)速度與速度的夾角為，北岸的點在碼頭的正北方向.那么該游船航行到達北岸的位置應（

）A．在東側(cè) B．在西側(cè)C．恰好與重合 D．無法確定2．（2020·山東濟南·統(tǒng)考一模）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學生的體重（單位：）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A．63 B．69 C．75 D．813．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為（

）A．6 B．2 C．2 D．24．（2021·全國·高三專題練習）空間作用在同一點的三個力兩兩夾角為，大小分別為，設(shè)它們的合力為，則（

）A．，且與夾角余弦為B．，且與夾角余弦為C．，且與夾角余弦為D．，且與夾角余弦為二、多選題5．（2021·全國·高三專題練習）在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情境（如圖）假設(shè)行李包所受重力均為，兩個拉力分別為，若與的夾角為，則以下結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的范圍為C．當時， D．當時，6．（2021·全國·高三專題練習）在水流速度為的河水中，一艘船以的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（

）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為三、填空題7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.8．（2022·全國·高三專題練習）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．四、解答題9．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為和物體，另在兩滑輪中間的一段繩子的點O處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計）．求證：（1）為定值；（2）．題型六：向量中的新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量與，規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．長方體的體積2．（2022·全國·高三專題練習）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當時，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則4．（2023·全國·高三專題練習）已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P．已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，逆時針旋轉(zhuǎn)，后分別得到點，則（

）A． B．C． D．點的坐標為三、填空題5．（2022·全國·高三專題練習）定義兩個向量組的運算，設(shè)為單位向量，向量組分別為的一個排列，則的最小值為_______．6．（2022·全國·高三專題練習）向量集合,對于任意,以及任意,都有,則稱為“類集”,現(xiàn)有四個命題:①若為“類集”