2024-2025學(xué)年廣東省三校高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中三校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)本試卷共2頁，19小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號。2.2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑:如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上:如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案:不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的整潔。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.Ax∣*x25x0,B{xx1AB，則（1．已知集合）C．1,2D．2,3,4,5A．2,3,4,5B．22．已知復(fù)數(shù)z滿足zz8，則z（）A．3B．3C．3D．3i3．已知正方形ABCD的邊長為1，設(shè)點(diǎn)M、N滿足AMAB，ANAD.若CMCN1，則22μ2的最小值為（）2334A．2B．1C．D．434．若sin),0,，則sina的值為（）47467468B．C．D．A．8885恰好與圓柱的高相等.相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為6n，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則1x2mx的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）mA．15B．20C．15D．2066．將函數(shù)ysin2x的圖象向右平移(m個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)yfx在區(qū)間1212,上單調(diào)遞減，則m的最小值為（）A．B．C．D．43241S21a218191819,,,,7．在等差數(shù)列a中，S是a的前n項(xiàng)和，若180，190，則有限項(xiàng)數(shù)列中，nnn最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為（）S918918S9109101910191019181918,,,,A．B．C．D．1，當(dāng)x1fx1，則（8．已知函數(shù)yfxx0滿足ffxfy時(shí)，）1x01A．fx為奇函數(shù)B．若f2x11，則121C．若f2，則f10244D．若2，則10ff21024二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．已知在某校高三年級的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，1000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N，其中90分為X)及格線，120(①；(X)③X)（②）A．標(biāo)準(zhǔn)差為100B．及格率超過86%C．得分在70,130內(nèi)的人數(shù)約為997D．低于80分的人數(shù)和達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù)大致相等2xa，則（10．已知函數(shù)fxaxax（a0)的極大值點(diǎn)為A．a(chǎn)bB．a(chǎn)abC．若f(x)f(x)0，則D．若f(x)f(x)0，則）222x+x0xx012121212P11．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)M2和N0,2與一動(dòng)點(diǎn)Px,y，滿足PMPNmm4，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線E，則下列關(guān)于曲線E的說法正確的是（）myxA．存在，使曲線E過坐標(biāo)原點(diǎn)；B．曲線E關(guān)于軸對稱，但不關(guān)于軸對稱；C．若P,M,N三點(diǎn)不共線，則PMN周長最小值為2m4；D．曲線E上與M,N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為H，則四邊形GMHN的面積不大于m.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分x22y212xOyC:21ab0F1F，P為雙曲2ab線C上一點(diǎn)．若當(dāng)與x軸垂直時(shí)，有PFF45，則雙曲線C的離心率為．21213．若曲線yax2與yx有一條斜率為2的公切線，則a.14．在n維空間中（n2，nN“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)a0,11in,iN.，其中則ia,a,,an5維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是“；定義：在n維空間中12na,a,,anb,b,,na1b12b2nb.5“維立方體”的頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為在1212EX兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟1513分）已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，b，，且acABCb2c2a2b2sinA2ab0．cosC（1）求sinAcosC；1623（2）若sinA，△ABC的面積為a，求的值．34π1615“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率3軸長的乘積.已知橢圓M(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；F1，F(xiàn)2均在2πx在橢圓M上.22(2)經(jīng)過點(diǎn)P，兩點(diǎn)，△OAB與橢圓M的面積比為l的方程.1,0的直線與曲線M交于lAB5π1715分）如圖，在三棱柱ABCABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面1A是菱形，1111ACCAACCC的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且1平面平面ABC，E，F(xiàn)分別是棱，BCG1111CGtGCt0)．1(1)證明：EF//平面ABBA；11(2)若三棱錐CABC的體積為1，且二面角AEGF的余弦值為145353t，求的值．a(chǎn)f(x)x2xx2(aR).1817分）已知函數(shù)2(1)若函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；a4ex2(2)若a0；求證：f(x)；x21x.12(3)設(shè)x1，212是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：f1f2ax2，anan1n1，則稱a具有性質(zhì)1．若無窮數(shù)列an滿1917分）若無窮數(shù)列a滿足nNnn足nN，aa1an2n2，則稱a具有性質(zhì)2．n4n(1)若數(shù)列an具有性質(zhì)1，且10，請直接寫出3的所有可能取值；(2)若等差數(shù)列a具有性質(zhì)2，且11，求a22a2的取值范圍；3nn(3)已知無窮數(shù)列a同時(shí)具有性質(zhì)P和性質(zhì)P，a3，且0不是數(shù)列a的項(xiàng)，求數(shù)列a的通項(xiàng).n125n參考答案題號答案題號答案1C2A3C4D5C6D7B8C910CDABD11B1x2B2，5x00x5A2,3,4,5x121x3AB2，故選：C．x2y2x8x,yRyi，zz8xi8xy4得2z由得x2y2y4∴z3．3C【詳解】如圖所示：以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為1，可得A(0,0)，B，C，D，故，，M(,0)，N)，CM(，CN(，AMAB1，CMCN111222)2223221，123221的最小值是，3344D【詳解】由cos()sincos，9712sin2，可得0，因?yàn)?,，所以sin0,cos0231623得0，又由212，可得sin，所以4428sin.245CRR3πR22RπR22R2πR，332πR433m6πR232n2，圓柱的表面積為2πR22πR2R6πR2n1，故2，球的表面積為RπR34πR2m361x2Cr6x6rx2r1Crr6x63r6r0，解得r2，故常數(shù)項(xiàng)為x展開式中的通項(xiàng)公式為r11C226.366D【詳解】由題意，將函數(shù)ysin2x的圖象向右平移(m個(gè)單位長度，1212得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)yfxsin(2x2mfx在區(qū)間上單調(diào)遞減，)的圖象，因?yàn)?6答案第1頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}2()2m2k且22m2k,kz，解得kmk,kz1262126244mkk1，可得m的最小值為.4418a1819a19S1819aa0a100，19119100a010a0，97【詳解】910922SnnSnS9a9d0，①當(dāng)1≤n≤9，n*an0，S0n0，SS，aa；n9n9anSnanSS101000n②當(dāng)10n18，nN*a0n，Sn，S，a，；nnanmin1919191918a191819S99S8a99S8919199S9③當(dāng)n0且1，11；191S21a218191819S910910,,,,,綜上所述：中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為.1，ff1f11f1x=1，y1，fff18x1y以則1yfxx0為偶函數(shù)．A錯(cuò)誤，f1yfxfx21xxx1fxfxf1fx0在x1，2，2yfxx12211x112f2x11，可得f2x12x111x0，解得f1xB錯(cuò)誤，減函數(shù)．由已知11f1024f210f29f21f294f2若f2C正確，若221111121111f2f13f2f15fff6f2f1，5222224225252故D錯(cuò)誤，9CD【詳解】由題意知，2A：標(biāo)準(zhǔn)差：2A錯(cuò)誤；1：PXPXPX，90110)]0.15865，P(90X2PX1P(XB錯(cuò)誤；：P30XX10030)P(70XX130)0.99731000人，故C正確；D：P2010020)P120)0.9545，12因?yàn)槌煽兎臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，PX80PX12010120)]0.02275D正確.PXfxaxaxa0),fxaxaxbaxaaxa3xba,22babaxxa0，2xa，令f或x由題意可知，afxaxax（a0)的極大值點(diǎn)為33答案第2頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}a0a0a0或ba0.aba或ba.即b2b2，A正確，aab，B正確，2aa33ba3b4axxa，ba0120正確，ba0時(shí)xx0錯(cuò)誤，則C錯(cuò)誤，12123baxxa0，D正確.123．ACDmm4x2(y2)2x2(y2)2m，M2N0,2P,y和，正確；(,y)，則關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為(x,y)m4A：0,0代入，可得x，關(guān)于軸對稱點(diǎn)為(,y)，：對應(yīng)曲線任意點(diǎn)將(x,y)代入上式得(x2(y2(x2(y2x2(y2x2(y2；將(,y)代入上式得x2(y2x2(y2)2x2(y2)2x2(y2)2m；yx所以曲線E既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，不正確;P、M、N三點(diǎn)不共線，則+22m，當(dāng)且僅當(dāng)=m時(shí)等號成立，又|4，所以PMN周長的最小值為2m+4，正確；DEM、N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為H，xym又圖象既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，且，知：π四邊形的面積為2SMNGsinmsin1，2所以四邊形的面積不大于m，正確.(ym，對于m的取值范圍不同，實(shí)際的圖象呈現(xiàn)不同的形式，結(jié)合2【點(diǎn)睛】曲線為x2(y2x2基本不等式ab2,a,b0即可證明CD得到面積表達(dá)式.2b2b12．21【詳解】設(shè)Fc,0，得到,由題意知2cc2a，222aae13．2e10，解得e21e211yx(xy)xy)【詳解】設(shè)公切線在曲線yax2與上的切點(diǎn)分別為，21121111yx2y，所以2B(,2),則，由y，所以，解得x222x22212所以切線方程為y22(x)，又由yax2，可得y，所以1211，答案第3頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}1yax21x，又因?yàn)榍悬c(diǎn)(x,y)，也即(x,x)在切線y22(x)111111212111122(1)，解得x211，所以a.1218014．32,311）i的可能值為01（1i5，iN）故五維立方體的頂點(diǎn)有232個(gè)..5（）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為M,N，，為五維立方體的頂點(diǎn)MN2XknΩC,時(shí)，有k維坐標(biāo)值不同，有i5ki維坐標(biāo)值相同.樣本點(diǎn)總數(shù)：當(dāng)k52k25kCXk的樣本點(diǎn)M,N個(gè)數(shù)為C2.k54XP152345512Ck5C24Ck51101031k2,3,4,5kPX.225253118031故分布列為：EX151）sinAcosC52030205.3112.）a6a2b2c2b2c2a2b2b2sinA0b2sinA0，所CCcosC1以sinAcosC（sinA．6112cosC0C，所以C，3232233162233261則A，sinC．sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，22662312623asinC33由VABC的面積為得acsinB，ac33．由正弦定理得，ca，44sinA2a22a2x216(1)y12(2)xy10或xy10422y223x1）設(shè)橢圓M的方程為：ab0)，因?yàn)闄E圓的面積為2π在橢圓M上.ab22πx234,解得：ab1，所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2y1.141a2b2PA（）因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與曲線Ml，B兩點(diǎn)，3313當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A，,B，此時(shí)S322OAB22答案第4頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}32△與橢圓M的面積比為2，即直線斜率存在；25π2πykx1不妨設(shè)直線l的方程為kx1，聯(lián)立x2，消去y整理可得：k40，y21x2k2xk2y2148k14k4k422不妨設(shè)Ax,y,Bx,yxx,xx，1121212214k2k21y2k1k2k1x2k，2214kk2yykx1kxk2xx1212，121221k14k212k21212SOAB11y21y224yy2+OAB與橢圓M的面積比為2，14k1222214k5π14k212k2+k4k2414k2k227k10214k24242k7k0216k4k2125=2π5πk1，所以直線l的方程為yx1或y=x1xy10xy10.，所以直線l的方程為或171）證明：取M，連接AM,F為BC的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，11111MF//1EMF//AC,1E//AC，，2211MFAC,1EMF1EAC，，22據(jù)此可得四邊形1為平行四邊形，//M1AAM1，1A1，，1EF//1A．1（）解：AABC,過CCHCH作，11111111SCH3CH1CH3，111331H為AC中點(diǎn)，BHAC，如圖分別以HB,HC,HC1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，31A1,0,E3,F,,0,C0,C3122t3t1t33,由GtGCG,，3EG,,EF,,3t1t1t1t122答案第5頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}x,y,z,nx,y,z，2設(shè)平面和平面EFG的一個(gè)法向量分別為n1111222t1t1tt1y2z20n00，，設(shè)二面角則n又2ntt,2t1AF的平面角122n332y3z02222nnt242212為costt440t2或t.2nn1t2)2t2(2t2532521418(1),(2)證明見解析(3)證明見解析11）由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?fxax10x)，在上恒成立，x1x211111x221414aa在x)上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)，等號成立，xx2x114a,.的取值范圍是411x（）證明：若a0，f(x)lnxx2，所以fx1，xxx令?'(?)=0，解得x1，所以當(dāng)0x1fx0x1f0，f(x)上單調(diào)遞增，在)上單調(diào)遞減，所以f(x)f1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立.4x2ex24x22xex2x24e令g(x)，x0，所以gx，x2x4x3gx0x2gx0，gx0，解得x2，所以當(dāng)0x2令g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在)上單調(diào)遞增，所以g(x)g1，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)，等號成立，24exf(x)1g(x)，又等號不同時(shí)成立，所以f(x).x212x1xxx，，212x1（）證明：由題意可知f，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1xx1xx,1412ax，x是方程2x10的兩個(gè)不同的根，則0a且121xx,12aaa1212xx2x22fxfxx12122212a1x2122121x22，x2122xxxx121222x221x11211，即證2axx所以要證fxfxaxx2，121x22122答案第6頁，共8頁{#{QQABLYQUgggAABAAAAhCUQUQCACQkhGACagOQFAMoAIBiQNABAA=}#}11x112212xx212t1t1t(0t1axx2，即證1，則證明t，即證.令，1x12221t1t1t21t1t1ht0，令t)tht)上單調(diào)遞增，則ht)h0t，tt1212所以原不等式fxfxaxx2成立.121n1,為奇數(shù)125442n19(1)3的可能取值有：5、1、1、5(2),(3)an,為偶數(shù)2a2，21）解：因?yàn)閿?shù)列a具有性質(zhì)Pa1a2a22，所以，n1a2aa2aa23a15，當(dāng)時(shí)，由，所以，3或22333當(dāng)a22由a23233，所以，a13或5.綜上所述，a的可能取值有：5、、、115.3a的公差為nd（）解：設(shè)等差數(shù)列，aa1n22n22d1a2n24d1a22n2則，nn411d即4d21，所以，，222351a22321d21d2d2d25d，所以，511213，dd2523511544所以，22a235d,.aZa0na1naaa2n210（1，nNkN必同號，、annnn4n4aa必同號，進(jìn)而、nn4