2024-2025學年上海市青浦高級中學高三（上）質(zhì)檢數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市青浦高級中學高三（上）質(zhì)檢數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.“x>y>0”是“x?1x>y?1A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.函數(shù)f(x)=(21+exA. B. C. D.3.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為邊A.DD1

B.AC

C.AD4.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，滿足anSn=9(n=1,2,…)，給出下列四個結(jié)論：①{an}的第2項小于3；A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知集合A={m|?1<m<4}，B={y|y=x13}，則A∩B=6.已知復數(shù)z滿足：z?=21+i(i為虛數(shù)單位)，則7.已知a=(1,?2,3)，b=(2,m,n)，若a/?/b，則m+n=8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a29.已知圓C的方程為x2+y2?2x+4y=010.已知cos(π2?α)=?4511.二項式(13+x12.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知4Sn13.已知正實數(shù)a、b滿足a+b+4=2ab，則a+b的最小值為_____．14.設(shè)圓錐底面圓周上兩點A、B間的距離為2，圓錐頂點到直線AB的距離為3，AB和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的側(cè)面積為______．15.設(shè)a∈R，m∈Z，若存在唯一的m使得關(guān)于x的不等式組12x2?116.對任意數(shù)集A={a1,a2,a3}，滿足表達式為y=x3+x三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，AC、BD相交于點O．

(1)證明：直線B118.(本小題14分)

f(x)=log3(a+x)+log3(6?x)．

(1)若將函數(shù)f(x)圖像向下移m(m>0)后，圖像經(jīng)過(3,0)，(5,0)，求實數(shù)a，m的值．

(2)若a>?3且19.(本小題14分)

為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”；即當天價格比前一天價格高，用“?”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低：用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到

第20天?++0???++0+0??+?+00+第21天

到第40天0++0???++0+0+???+0?+用頻率估計概率．

(Ⅰ)試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；

(Ⅱ)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(Ⅲ)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.(結(jié)論不要求證明)20.(本小題18分)

已知橢圓Γ：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的離心率為53，點A(?2,0)在Γ上．

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)橢圓的上、下頂點分別為B1，B2，點C在Γ上(C異于橢圓的頂點)，直線B1C與x軸相交于點D，點E(0,2)，若△B2CD的面積是△B1CE面積的兩倍，求點C的坐標；

(3)過點21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax和g(x)=ax?lnx，a∈R．

(1)求f(x)在點(0,1)處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)和g(x)有相同的最小值，①求a的值；②證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．參考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.{m|?1<m<4}

6.27.2

8.45

9.(1,?2)

10.?711.5

12.4?13.4

14.215.(?1,1?16.643

17.(1)證明：連接B1D1交A1C1于E，連接DE，則E為B1D1的中點，

由正四棱柱ABCD?A1B1C1D1得D1D/?/B1B且D1D=B1B，

又E，O分別為B1D1和BD的中點，

所以可得B1E=DO且B1E//DO，

所以四邊形B1EDO為平行四邊形，

所以ED//OB1，又ED?平面A1C1D，OB1?平面A1C1D，

所以直線B1O//平面A1C1D；

(2)解：連接A1O，C1O，18.解：(1)因為函數(shù)f(x)=log3(a+x)+log3(6?x)，

將函數(shù)f(x)圖像向下移m(m>0)后，得y=f(x)?m=log3(a+x)+log3(6?x)?m的圖像，

由函數(shù)圖像經(jīng)過點(3,0)和(5,0)，

所以log3(3+a)+1?m=0log3(5+a)+0?m=0，

解得a=?2，m=1．

(2)a>?3且a≠0時，不等式f(x)≤f(6?x)可化為log3(a+x)+log3(6?x)≤log3(a+6?x)+log3x，

等價于a+x>06?x>0a+6?x>0x>0(a+x)(6?x)≤x(a+6?x)，

解得x>?ax<6x<a+6x>019.解：(Ⅰ)由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為1640=0.4．

(Ⅱ)由表可知，40天中“下跌”的有14天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下跌”的概率為1440=0.35，

40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“不變”的概率為1040=0.25，

則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率C42×0．42×C21×0.35×C11×0.25=0.168．

(Ⅲ)由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，

“上漲”后下一次仍“上漲”的有420.解：(1)因為橢圓橢圓Γ的離心率為53，

所以ca=53，①

因為點A(?2,0)在橢圓上，

所以b=2，②

又a2=b2+c2，③

聯(lián)立①②③，

解得a=3，b=2，c=5，

則橢圓Γ的方程為y29+x24=1；

(2)由(1)知，B1(0,3)，B2(0,?3)，

設(shè)C(x0,y0)(?2<x0<2,?3<y0<3，且x0≠0，y0≠0)，

此時|B1E|=1，

所以S△B1CE=12|B1E|?|x0|=12|x0|，

因為kB1C=y0?3x0，

所以直線B1C的方程為y=y0?3x0x+3，

令y=0，

解得x=3x03?y0，

即D(3x03?y0,0)，

因為|B1B2|=6，

所以S△B2CD=|S△B1B2D?S△B1B2C|=|12×6×|3x03?y0|?1221.解：(1)因為f(x)=ex?ax，函數(shù)定義域為R，

可得f′(x)=ex?a，

所以f′(0)=1?a，

又f(0)=1，

所以f(x)在點(0,1)處的切線方程為y?1=(1?a)x，

即y=(1?a)x+1；

(2)①易知f′(x)=ex?a，

若a≤0，

此時f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意；

所以a>0，

當x<lna時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當x>lna時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)min=f(lna)=a?alna，

因為g(x)的定義域為(0,+∞)，

可得g′(x)=a?1x=ax?1x，

當x∈(0,1a),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當x∈(1a,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(1a)=1?ln1a，

因為f(x)=ex?ax和g(x)=ax?lnx有相同的最小值，

所以a?alna=1?ln1a，

即a?11+a=lna，a>0，

設(shè)g(a)=a?11+a?lna,a>0，

可得g′(a)=2(1+a)2?1a=?a2?1a(1+a)2<0，

所以g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

又g(1)=0，

所以g(a)=0的唯一解為a=1，

則a=1；

②證明：由①知a=1，

所以f(x)=ex?x，g(x)=x?lnx，

此時f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

又f(x)min=g(x)min=1，

設(shè)u(x)=f(x)?g(x)=ex?2x+lnx，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得u′(x)=ex?2+1x>ex?2，

當x≥1時，u′(x)≥2e?2>0，

所以u(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

因為u(1)=e?2>0，

所以當x≥1時，u(x)≥u(1)>0恒成立，

即f(x)?g(x)>0在x≥1時恒成立，

所以x≥1時，f(x)>g(x)，

因為f(0)=1，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

g(1)=1，函數(shù)g