2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題十二多面體與球文含解析

PAGE專題十二多面體與球本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分80分，考試時(shí)間50分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·平頂山質(zhì)量檢測(cè))已知圓臺(tái)的上、下底面中心分別為O1，O2，過直線O1O2的截面是上、下底邊邊長(zhǎng)分別為2和4，且高為eq\r(3)的等腰梯形，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為()A．3πB．3eq\r(3)πC．6πD．6eq\r(3)π答案C解析由題意，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，且截面等腰梯形的腰是該圓臺(tái)的母線，則母線長(zhǎng)l＝eq\r(r1－r22＋h2)＝eq\r(12＋3)＝2，則該圓臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)＝π(r1＋r2)l＝6π.故選C.2．(2024·廣東韶關(guān)調(diào)研)如圖，圓柱的底面半徑為1，高為2，用一條鐵絲從上底面的A點(diǎn)沿側(cè)面纏繞一圈到達(dá)下底面的B點(diǎn)，所用鐵絲的最短長(zhǎng)度是()A．2 B．2eq\r(π2＋1)C．2π D．2π＋1答案B解析由題意可知，將圓柱沿母線AB綻開，所用鐵絲的最短長(zhǎng)度為eq\r(22＋2π2)＝2eq\r(1＋π2).故選B.3．(2024·平頂山質(zhì)量檢測(cè))一個(gè)各面均為直角三角形的四面體容器，有三條棱長(zhǎng)為1，要能夠完全裝下一個(gè)半徑為r的球體，則球半徑r的最大值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2)－1,2) D.eq\f(2－\r(2),2)答案C解析滿意條件的四面體容器有兩種狀況．如圖，在圖1四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥BC時(shí)滿意各面均為直角三角形，此時(shí)只能是AD＝BD＝BC＝1，則AB＝CD＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3).要滿意題意，則當(dāng)球與四面體各面均相切時(shí)半徑最大，此時(shí)設(shè)球心為O，則原四面體可看成以O(shè)為頂點(diǎn)，其余各面為底面的4個(gè)四面體組合而成，且這4個(gè)四面體的高均為內(nèi)切球半徑，由等體積法有eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))，解得r＝eq\f(\r(2)－1,2)，即滿意題意的球的最大半徑為eq\f(\r(2)－1,2).在圖2中四面體A1B1C1D1中，A1D1⊥平面B1C1D1，D1C1⊥B1C1時(shí)滿意各面均為直角三角形，此時(shí)A1D1＝D1C1＝B1C1＝1，同理解出滿意題意的球的最大半徑為eq\f(\r(2)－1,2).故選C.4．(2024·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且球的表面積為16π，點(diǎn)P在球面上，則四棱錐P－ABCD體積的最大值為()A．8B.eq\f(8,3)C．16D.eq\f(16,3)答案D解析設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2，設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為x，y，則x2＋y2＝(2R)2，又x2＋y2≥2xy，所以(2R)2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)上式取等號(hào)，即矩形ABCD為正方形時(shí)，底面面積最大，此時(shí)S矩形ABCD＝2R2＝8.又點(diǎn)P在球面上，設(shè)點(diǎn)P究竟面ABCD的距離為h，當(dāng)OP⊥底面ABCD時(shí)，有hmax＝2，則四棱錐P－ABCD體積的最大值為eq\f(16,3).故選D.5．(2024·江西九校聯(lián)考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐P－ABC的外接球表面積恰為eq\f(41π,4)，則此時(shí)點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為()A．πB.eq\f(25π,16)C.eq\f(41π,16)D．2π答案A解析依據(jù)題意，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為Q(1,1，z)，P(x，y,2)，依據(jù)QA2＝R2＝eq\f(41,16)?z＝eq\f(3,4).此時(shí)球心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(3,4)))，依據(jù)QP＝R2得到(x－1)2＋(y－1)2＝1，即此時(shí)P點(diǎn)在一個(gè)半徑為1的圓上動(dòng)．此圓的面積為π.故選A.6．(2024·開封一模)有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)對(duì)棱相等的三棱錐形的鐵架，則此三棱錐體積的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8\r(3),27))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(16\r(3),27)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))答案B解析構(gòu)成三棱錐的兩條棱長(zhǎng)為a，其他各棱長(zhǎng)為2，如圖所示，AD＝BC＝a，此時(shí)0＜a＜2eq\r(2).取BC中點(diǎn)為E，連接AE，DE，易得BC⊥平面ADE，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×S△ADE×BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(4－\f(a2,2))×a×a＝eq\f(2,3)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a2,2)))×\f(a2,4)×\f(a2,4))≤eq\f(2,3)eq\r(\a\vs4\al(\f(4－\f(a2,2)＋\f(a2,4)＋\f(a2,4),3))3)＝eq\f(16\r(3),27)，當(dāng)且僅當(dāng)4－eq\f(a2,2)＝eq\f(a2,4)即a＝eq\f(4\r(3),3)∈(0,2eq\r(2))時(shí)，等號(hào)成立，∴此三棱錐體積的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(16\r(3),27))).故選B.7．(2024·柳州市模擬)已知A，B，C三點(diǎn)都在表面積為100π的球O的表面上，若AB＝4eq\r(3)，∠ACB＝60°.則球心O到平面ABC的距離等于()A．2B．3C．4D．5答案B解析結(jié)合題意，繪制圖形如圖，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O′，則依據(jù)正弦定理可知BO′＝eq\f(AB,2sin∠ACB)＝eq\f(4\r(3),2×\f(\r(3),2))＝4，結(jié)合球表面積計(jì)算公式，可知4πR2＝100π，R＝5，結(jié)合球的性質(zhì)可知，△OBO′構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理可知OO′＝eq\r(R2－BO′2)＝eq\r(52－42)＝3.故選B.8．(2024·福建聯(lián)考)已知正三棱錐P－ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，若EF⊥BF，AB＝2，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A．4πB．6πC．8πD．12π答案B解析因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，則EF∥PA，因?yàn)樗拿骟wP－ABC是正三棱錐，所以PA⊥BC(對(duì)棱垂直)，所以EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC＝B，所以EF⊥平面PBC，所以PA⊥平面PBC，所以∠APB＝∠APC＝∠BPC＝90°，以PA，PB，PC為從同一點(diǎn)P動(dòng)身的正方體的三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示，則它們有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，又AB＝2，所以PA＝eq\r(2)，所以2R＝eq\r(3)PA＝eq\r(6)，故外接球的半徑為R＝eq\f(\r(6),2)，所求表面積S＝4πR2＝6π.故選B.9．(2024·廣東模擬)三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝30°，△APC的面積為2，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為()A．4πB.eq\f(4π,3)C．64πD.eq\f(32π,3)答案D解析如圖所示，設(shè)AC＝x，由△APC的面積為2，得PA＝eq\f(4,x)，因?yàn)椤螦BC＝30°，△ABC外接圓的半徑r＝x，因?yàn)镻A⊥平面ABC，且PA＝eq\f(4,x)，所以O(shè)到平面ABC的距離為d＝eq\f(1,2)·PA＝eq\f(2,x)，設(shè)球O的半徑為R，則R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(x2＋\f(4,x2))≥eq\r(2×2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐P－ABC的外接球的體積的最小值為eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3).故選D.10．(2024·邵陽(yáng)聯(lián)考)已知三棱錐P－ABC底面的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在球O的同一個(gè)大圓上，且△ABC為正三角形，P為該球面上的點(diǎn)，若三棱錐P－ABC體積的最大值為2eq\r(3)，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．32πD．64π答案B解析三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上．因?yàn)轭}目中涉及體積的最大值，故底面△ABC的中心就是球心O，PO是球的半徑，也是正三棱錐的高，設(shè)為R，底面△ABC的邊長(zhǎng)設(shè)為a，由正弦定理得到eq\f(a,sin60°)＝2R?a＝eq\r(3)R，△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\r(3)R×eq\r(3)R×sin60°＝eq\f(3\r(3),4)R2，三棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×R×eq\f(3\r(3),4)R2＝2eq\r(3)?R＝2，則此時(shí)球O的表面積是4πR2＝4π×4＝16π.故選B.11．(2024·吉林調(diào)研)已知圓錐的高為3，底面半徑長(zhǎng)為4，若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑長(zhǎng)為()A．5B.eq\r(5)C．9D．3答案B解析∵圓錐的底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝3，∴圓錐的母線l＝5，∴圓錐側(cè)面積S＝πrl＝20π，設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，∴R＝eq\r(5).故選B.12．(2024·丹東質(zhì)量測(cè)試)已知球O表面上的四點(diǎn)A，B，C，D滿意AC＝BC＝eq\r(2)，∠ACB＝90°，若四面體ABCD體積的最大值為eq\f(2,3)，則球O的表面積為()A.eq\f(25π,4)B.eq\f(25π,9)C.eq\f(25π,16)D.eq\f(100π,9)答案A解析直角三角形ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，設(shè)四面體的高為DO′＝h，則eq\f(1,3)×1×h＝eq\f(2,3)，h＝2.由于三角形ABC為直角三角形，斜邊AB＝eq\r(2＋2)＝2，eq\f(AB,2)＝1，球心O在過AB中點(diǎn)，且垂直于平面ABC的直線DO′上．設(shè)球的半徑為r，則(2－r)2＋12＝r2，解得r＝eq\f(5,4)，故球的表面積為4πr2＝eq\f(25π,4).故選A.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·汕尾市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))在平面四邊形ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ADC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，以AC為折痕把△ADC折起，當(dāng)DA⊥AB時(shí)，四面體D－ABC的外接球的體積為________．答案eq\r(6)π解析在四面體中，由已知條件可知，AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD，則△BAD≌△BCD，所以∠BCD＝∠BAD＝90°，所以△BAD和△BCD是以BD為公共斜邊的兩個(gè)直角三角形，則BD是四面體D－ABC外接球的一條直徑，易知，AD＝ACcos45°＝eq\r(2)，且BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(6)，設(shè)四面體D－ABC的外接球的半徑為R，則R＝eq\f(BD,2)＝eq\f(\r(6),2)，因此，四面體D－ABC的外接球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.14．(2024·湖南湘潭一模)在三棱錐D－ABC中，CD⊥底面ABC，AC⊥BC，AB＝BD＝5，BC＝4，則此三棱錐的外接球的表面積為________．答案34π解析由題可知AC＝CD＝eq\r(52－42)＝3，故三棱錐D－ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(32＋42＋32),2)＝eq\f(\r(34),2)，則其表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(34),2)))2＝34π.15．(2024·東莞統(tǒng)考)圓錐底面半徑為1，高為2eq\r(2)，點(diǎn)P是底面圓周上一點(diǎn)，則一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是________．答案3eq\r(3)解析把圓錐側(cè)面綻開成一個(gè)扇形，則對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是底面的周長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的弦是最短距離，即CP的長(zhǎng)是動(dòng)點(diǎn)繞行的最短距離，過A作AD⊥PC于D，弧PC的長(zhǎng)是2π·1＝2π，母線AC＝eq\r