新高考數(shù)學二輪復習強化練習專題08 極值點偏移問題（練）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題08極值點偏移問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2021·江西·鷹潭一中高三階段練習（文））關于函數(shù)SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點B．函數(shù)SKIPIF1<0有2個零點C．存在正整數(shù)k，使得SKIPIF1<0恒成立D．對任意兩個正實數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】對A，求導得到單調(diào)區(qū)間即可判斷；對B，對函數(shù)SKIPIF1<0求導得出單調(diào)區(qū)間即可進一步得到結(jié)果；對C，分離參數(shù)SKIPIF1<0，通過SKIPIF1<0的單調(diào)性和函數(shù)變化趨勢即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將自變量比較大小轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小，用極值點偏移的方法得到結(jié)論.【詳解】對A，SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0單減，在SKIPIF1<0單增，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點，A錯誤；對B，SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0單減，至多一個零點，B錯誤；對C，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0單增，在SKIPIF1<0單減，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單減，無最小值，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，C錯誤；對D，不妨設SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增，則SKIPIF1<0，即證：，記，所以，所以在單減，所以，即，所以，D正確.故選：D.【點睛】本題為函數(shù)的綜合題，不論分參也好還是極值點偏移也好，還是零點問題、最值問題，最終都要對函數(shù)的單調(diào)性進行討論，進而得到答案；需要注意的是，導數(shù)綜合題一定要結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解決，平常注意對導數(shù)的題目進行歸類，總結(jié)做法.2．（2021·浙江·鎮(zhèn)海中學高三開學考試）已知函數(shù)，對于正實數(shù)a，若關于t的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】研究的圖像可知，若，令，則，且，可以推出，或，通過對數(shù)不等式寫出關于的不等式，即可求出的范圍【詳解】因為，，令得：；令得：，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時，恒成立，的圖像如下：令，則，且①當時，，成立，所以是方程的一個實數(shù)根②當時，由得：，令則：，兩式相減得：，兩式相加得：所以：，由對數(shù)均值不等式得：所以：，且，所以，，即：所以故選：D【點睛】題目考察到了極值點偏移的思想，用對數(shù)均值不等式解決，完整的對數(shù)均值不等式為：，可用兩邊同除，令整體換元的思想來構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立二、多選題3．（2021·河北·高三階段練習）已知函數(shù)，則下面結(jié)論成立的是（

）A．當時，函數(shù)有兩個實數(shù)根B．函數(shù)只有一個實數(shù)根，則C．若函數(shù)有兩個實數(shù)根，，則D．若函數(shù)有兩個實數(shù)根，，則【答案】AC【分析】令參變分離可得，令，利用導數(shù)說明其單調(diào)性，即可得到函數(shù)的函數(shù)圖象，從而判斷A、B，若函數(shù)有兩個實數(shù)根，，則，即可得到，再令，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C、D；【詳解】解：根據(jù)題意，令則，令，則，所以當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，畫出函數(shù)圖象如下：函數(shù)的最大值在處取得，最大值為，所以選項A正確，當或時函數(shù)只有一個實數(shù)根，故選項B不正確，若函數(shù)有兩個實數(shù)根，，則，所以，令，，對函數(shù)求導可得，，令，則恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以在時單調(diào)遞增，的函數(shù)圖象如下所示：可得，所以選項C正確，選項D不正確．故選：AC4．（2021·全國·高二專題練習）若直線與曲線相交于不同兩點，，曲線在A，點處切線交于點，則（

）A． B．C． D．存在，使得【答案】ABC【分析】對于A：求出過原點的切線的斜率為，根據(jù)直線與曲線有兩個不同的交點，可得出和范圍；對于B：由已知得，，不妨設，則，分別求出在點A，點B處的切線方程，由兩切線方程求得交點的橫坐標，可得結(jié)論；對于C：要證，即證，即證，因為，所以需證.構(gòu)造函數(shù)，，求導，分析導函數(shù)的正負，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和最值，可得結(jié)論；對于D：設直線AM交軸于C，直線BM交軸于點D，作軸于點E．若，則，即，根據(jù)正切函數(shù)的差角公式和切線的斜率得，【詳解】對于A：當時，直線與曲線沒有兩個不同交點，所以，如圖1所示，當直線與曲線相切時，設切點為，則，所以切線方程為：，代入點解得，此時，所以直線與曲線相切，所以當時直線與曲線有兩個不同的交點，當時，直線與曲線沒有交點，故A正確；對于B：由已知得，，不妨設，則，又在點A處的切線方程為：，在點B處的切線方程為，兩式相減得，將，代入得，因為，所以，即，故B正確；對于C：要證，即證，即證，因為，所以需證.令，則，令，則點A、B是與的兩個交點，令，所以，令，則，所以當時，，單調(diào)遞減，而，，所以，所以時，，所以單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，而，所以當時，，單調(diào)遞增，又，，所以，即，故C正確；對于D：設直線AM交軸于C，直線BM交軸于點D，作軸于點E．若，則，即，所以，化簡得，即，所以，即，令，則，又，所以，而，所以方程無解，所以不存在，使得，故D不正確，故選：ABC．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．（2021·江蘇·高二單元測試）已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點、，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由已知得出，化簡變形后可判斷A選項的正誤；取可判斷B選項的正誤；利用構(gòu)造函數(shù)法證明CD選項中的不等式，可判斷CD選項的正誤.【詳解】由可得，可知直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當時，，如下圖所示：當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點.對于A選項，由已知可得，消去可得，A對；對于B選項，設，取，則，所以，，故，B錯；對于C選項，設，因為，則，所以，，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，C對；對于D選項，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2021·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．B．若有兩個不相等的實根、，則C．D．若，x，y均為正數(shù)，則【答案】AD【分析】A：代入直接計算比較大?。籅：求的導函數(shù)，分析單調(diào)性，可得當有兩個不相等實根時、的范圍，不妨設，則有，比較的大小關系，因為，可構(gòu)造，求導求單調(diào)性，計算可得成立，可證；C：用在上單調(diào)遞增，構(gòu)造可證明；D：令，解出，，做差可證明.【詳解】解：對于A：，又，，，所以，則有，A正確；對于B：若有兩個不相等的實根、，則，故B不正確；證明如下：函數(shù)，定義域為，則，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則且時，有，所以若有兩個不相等的實根、，有，不妨設，有，要證，只需證，且，又，所以只需證，令則有當時，，，所以有，即在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，即，即，即.對于C：由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，即，則有，故C不正確；對于D：令，則，，，，，故D正確；故選：AD.【點睛】知識點點睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大?。唬?）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.7．（2021·全國·高二單元測試）關于函數(shù)f（x）＝＋lnx，則下列結(jié)論正確的是（）A．x＝2是f（x）的極小值點B．函數(shù)y＝f（x）－x有且只有1個零點C．對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1＋x2＞4D．存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立【答案】ABC【分析】利用導函數(shù)求解極值點，判斷出A選項；利用導函數(shù)得到g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln2－1＜0，有零點存在性定理判斷B選項；構(gòu)造差函數(shù)解決極值點偏移問題；D選項，問題轉(zhuǎn)化為存在正實數(shù)k，使得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導得到其單調(diào)性，最終求得答案.【詳解】對于函數(shù)f（x）＝＋lnx，其定義域為（0，＋∞），由于，令可得x＝2，當0＜x＜2時，，當x＞2時，，可知x＝2是f（x）的極小值點，選項A正確；設g（x）＝f（x）－x，則，可知g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln2－1＜0，所以方程g（x）＝0有且僅有一個根，即函數(shù)y＝f（x）－x有且只有1個零點，選項B正確；由x＝2是f（x）的極小值點，可知若f（x1）＝f（x2）時，x2＞2＞x1＞0，易知4－x1＞2，則f（4－x1）－f（x2）＝f（4－x1）－f（x1）＝，令，則t＞1，，則f（4－x1）－f（x2）＝＝F（t）（t＞1），，則F（t）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（t）＜F（1）＝0，故f（4－x1）－f（x2）＜0，又f（x）在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，則4－x1＜x2，故x1＋x2＞4，選項C正確；令f（x）＞kx得:，即.設，x∈（0，＋∞），則，設H（x）＝x－xlnx－4，x∈（0，＋∞），則，因為，當0＜x＜1時，，當x＞1時，，所以函數(shù)H（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以H（x）max＝H（1）＝1－0－4＝－3＜0，則＜0恒成立，所以函數(shù)h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以不可能存在正實數(shù)k，使得恒成立.故選D不正確.故選：ABC.【點睛】極值點偏移問題的一般處理方法是構(gòu)造差函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及極值，最值求得結(jié)果.三、解答題8．（2022·廣西貴港·高三階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)證明不等式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)移項構(gòu)造新函數(shù)SKIPIF1<0,應用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)最值證明結(jié)論成立.(2)根據(jù)SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,結(jié)合(1)及函數(shù)的單調(diào)性求出SKIPIF1<0,換元證明SKIPIF1<0成立即可.【詳解】（1）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故有SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.下面證明SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故只需證明SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.9．（2022·湖南·長郡中學高二階段練習）設函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0存在兩個零點SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論a的取值范圍，根據(jù)導數(shù)的正負，即可得答案;（2）利用函數(shù)零點可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理變形可得SKIPIF1<0，換元令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，需證明SKIPIF1<0，由此構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導數(shù)即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由于SKIPIF1<0，則定義域為SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，∵SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.（2）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相加得SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，也就是要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)證明關于函數(shù)零點的不等式問題，關鍵在于正確地變式消去參數(shù)，進而構(gòu)造函數(shù)，本題中利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將兩式相加減，進而消去a，可得SKIPIF1<0，換元令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進而根據(jù)SKIPIF1<0，需證SKIPIF1<0，從而構(gòu)造函數(shù)，解決問題.10．（2021·河南新鄉(xiāng)·高三階段練習（理））已知函數(shù).(1)求的極值.(2)若，，證明：.【答案】(1)極大值為，的極小值為(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；（2）由（1）可知，設，，證明在上恒成立，即得解.(1)（1）由題意可得.當或時，；當時，.所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的極大值為，的極小值為.(2)證明：由（1）可知.設，，則.設，則.因為，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，因為，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，因為，所以在上恒成立.因為，所以，因為，所以.由（1）可知在上單調(diào)遞增，且，，則，即.【沖刺提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）證明：曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0恒過定點；（2）若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）恒過定點SKIPIF1<0，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)求出曲線在點SKIPIF1<0處的切線方程，進而可證得結(jié)論；（2）令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0，用導數(shù)可證得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【詳解】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然恒過定點SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：本題第（2）問的關鍵點是：構(gòu)造SKIPIF1<0，用導數(shù)證得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，進而得到SKIPIF1<0.2．（2021·新疆·克拉瑪依市第一中學高二階段練習）已知定義在上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由單調(diào)性可知在上恒成立，分離變量可得；利用導數(shù)可求得的最大值，由此可得的范圍；（2）利用導數(shù)，結(jié)合零點存在定理可確定，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，得到，從而得到，根據(jù)自變量的范圍，結(jié)合在上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得：．為上的增函數(shù)，在上恒成立，即，令，則，在上單調(diào)遞減，，即，，即實數(shù)的取值范圍為.（2）當時，，則，，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，且當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為的極小值.設，，，，設，，．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，，，，又在上單調(diào)遞減，，即.【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于（為的兩根）的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關系，由此證得結(jié)論.3．（2022·全國·模擬預測）設函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導函數(shù).(1)當SKIPIF1<0時，①若函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；②若存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.(2)當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】(1)①當SKIPIF1<0時，對SKIPIF1<0求導，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值.②要求SKIPIF1<0恒成立時SKIPIF1<0的取值范圍，等價于SKIPIF1<0，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的最大值，問題即可解決.(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求導即可得到SKIPIF1<0的函數(shù)表達式，對SKIPIF1<0求導，得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，設SKIPIF1<0，則要證明SKIPIF1<0，只需要證明SKIPIF1<0，構(gòu)造新函數(shù)SKIPIF1<0，求導研究函數(shù)的單調(diào)性，證明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立即可.【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.①易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.②解法一，不等式SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，則由①知SKIPIF1<0，所以存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，等價于存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立.易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.解法二，不等式SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，等價于存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立.易知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故可作出SKIPIF1<0的大致圖象如圖所示.-2不妨設SKIPIF1<0，由圖易知SKIPIF1<0.要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以只需證SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以只需證SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，原不等式得證.【點睛】處理極值點偏移問題中的類似于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0）的問題的基本步驟如下：①求導，確定SKIPIF1<0的單調(diào)性，得到SKIPIF1<0的范圍；②構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，求導后可得SKIPIF1<0恒正或恒負；③得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系后，將SKIPIF1<0置換為SKIPIF1<0；④根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所處的范圍，結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性，可得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系，由此證得結(jié)論.4．（2022·江蘇南通·高三期中）已知SKIPIF1<0，其極小值為-4.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)3(2)證明見解析【分析】（1）求導，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0三種情況求SKIPIF1<0的極小值，列方程求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的單調(diào)性和SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的單調(diào)性即可得到SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，通過比較SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小關系得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0即可得到SKIPIF1<0.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，沒有極值，舍去.當SKIPIF1<0時，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，舍去當SKIPIF1<0時，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以不妨設SKIPIF1<0.下面先證SKIPIF1<0.即證SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，只要證SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.下面證SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0；在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點睛】極值點偏移問題中（極值點為SKIPIF1<0），證明SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方法：①構(gòu)造SKIPIF1<0，②確定SKIPIF1<0的單調(diào)性，③結(jié)合特殊值得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系，④利用SKIPIF1<0的單調(diào)性即可得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.5．（2022·云南·昆明一中模擬預測（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立．(1)求SKIPIF1<0的最大值；(2)當SKIPIF1<0取得最大值時，設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個零點為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）先求導得SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0進行分類討論，求出SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0的最大值；（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差變形得SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，代換SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0，利用導數(shù)可證不等式恒成立.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時顯然不成立；當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單減，在SKIPIF1<0上單增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；（2）由（1）式可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有兩個零點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要證不等式SKIPIF1<0恒成立，等價于SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，得證.6．（2022·新疆·高三期中（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0的兩個不同極值點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）把函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根，令SKIPIF1<0，結(jié)合其導數(shù)分析SKIPIF1<0值域情況，從而得到實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個根，從而有SKIPIF1<0，變形可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再利用分析法即可證明SKIPIF1<0.【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0有兩個不同極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩個不同的根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0.因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）證明：由（1）可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個根，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0成立.7．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)試判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)解SKIPIF1<0，試說明SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由導數(shù)法判斷單調(diào)性即可；（2）原方程化簡為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則要證SKIPIF1<0結(jié)合對數(shù)運算法則，等價于證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，只要證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時恒成立即可，最后由導數(shù)法證明即可.【詳解】（1）由題可知SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．綜上：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．（2）證明：因為SKIPIF1<0有兩個不同實數(shù)解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有兩個不同實數(shù)解SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0，故不妨設令SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以只要證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時恒成立，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于已知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，從而證明SKIPIF1<0．【點睛】要證SKIPIF1<0，關鍵是利用條件將不等式變形，將SKIPIF1<0作為整體換元，使原不等式變成只含一個變量的不等式恒成立問題.本題SKIPIF1<0，故可結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)進行變形，最后不等式等價于證SKIPIF1<08．（2022·全國·高三階段練習（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為2，求SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的條件下，若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）由題知SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時的情況求解函數(shù)最小值即可得答案；（2）方法一：根據(jù)題意得SKIPIF1<0，進而令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，求函數(shù)最小值即可；方法二：由題知方程SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而根據(jù)極值點偏移問題求解即可.【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以函數(shù)SKIPIF1<0不存在最小值；所以SKIPIF1<0不合題意，故SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0（2）解：方法一：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩個不同的實數(shù)根，所以SKIPIF1<0①；SKIPIF1<0②.①－②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，得證.方法二：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩個不同的實數(shù)根，所以SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，得證.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于由SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的性質(zhì)得SKIPIF1<0，進而證明結(jié)論；9．（2022·河南·高三期中（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若存在SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【分析】（1）利用導函數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由（1）得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用導函數(shù)的幾何意義可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用導函數(shù)的幾何意義可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，兩式聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.（2）由（Ⅰ）可知SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0