結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（三）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（三）一、解答題（本大題共25小題）1.將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數(shù)列前n項和，.(1)求的通項公式；(2)證明：對一切，能被3整除.2.已知數(shù)列的前項和為，．從下面①②③中選取兩個作為條件，剩下一個作為結(jié)論．如果該命題為真，請給出證明；如果該命題為假，請說明理由．①；②為等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．3.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且,．(1)求的最小值；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前10項和．4.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①；②數(shù)列是等差數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.5.在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項和，若.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.6.①；②．在這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并求解．等比數(shù)列中，已知，，求．7.已知數(shù)列，其前項和為，滿足請你從①，；②；③，中選擇一個，補充在下面的問題中并作答．(1)求數(shù)列通項公式：(2)當(dāng)時，求的最大值．8.在的展開式中，．給出下列條件：①前三項的系數(shù)成等差數(shù)列；②第三項的系數(shù)為7；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128．請在上面的三個條件中選擇一個補充在橫線上，并且完成下列問題：(1)求n的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．9.這三個條件中任選一個，補充在下面題目條件中，并解答.①，；②，；③.問題：已知數(shù)列的前項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知是、的等比中項，求數(shù)列的前項和.10.已知數(shù)列的前項和為，滿足，，請在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補充在前面的兩條橫線處，并給出下列問題的解答．(1)求的通項公式；(2)又知遞增的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，設(shè)，①求數(shù)列的通項公式．②求數(shù)列的前項和．11.已知數(shù)列的各項均為互不相等的正數(shù)，且，記為數(shù)列的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立．①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．12.已知是等差數(shù)列，其前n項和為，，并在下列在三個條件中任選一個：①，②，③（解答時注明所選條件）﹒(1)求的通項公式；(2)解不等式.13.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并完成解答.設(shè)是等差數(shù)列，公差為d，是等比數(shù)列，公比為q，已知，，.(1)請寫出你的選擇，并求和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求；(3)設(shè)，求證：.14.存在條件：①，；②，；③，．在這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式．15.在①；②，；③這三個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并作答．已知正項數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記表示x除以3的余數(shù)，求．注：如果選擇多個條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答進(jìn)行計分．16.已知數(shù)列的前n項和為，若，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)從下面兩個條件中選一個，求數(shù)列的前n項的和．①；②．17.問題：已知，數(shù)列的前n項和為，是否存在數(shù)列，滿足，﹖若存在．求通項公式﹔若不存在，說明理由．在①﹔②；③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.已知數(shù)列滿足，前項的和，且.(1)寫出，并求出數(shù)列的通項公式；(2)在①；②這兩個條件中任選一個補充在下面橫線中，并加以解答.若數(shù)列滿足，求實數(shù)使得數(shù)列是等差數(shù)列.（注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分）19.已知數(shù)列的前n項和為.(1)從①，②，③這三個條件中任選兩個作為條件，證明另一個成立，并求的通項公式；(2)在第（1）問的前提下，若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多種情況分別解答，按第一種解答計分.20.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項和為13，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的首項，其前n項和為，且，若數(shù)列滿足，的前n項和為，求的最小值.在如下兩個條件中任意選擇一個，填入上面橫線處，并根據(jù)題意解決問題.①；②.21.①{2nan}為等差數(shù)列，且a1，a3，a2成遞減的等比數(shù)列;②{（-1）n+1n+an}為等比數(shù)列，且4a1，a3，a2成遞增的等差數(shù)列.從①②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1=1，.(1)求{an}的通項公式;(2)求{an}的前n項和Sn.22.在等比數(shù)列中，公比，其前n項和為，且，．從①，②，③是與2的等差中項這三個條件中任選一個，補充到上面問題中的橫線上，并作答．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．23.已知是數(shù)列的前項和，，.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.24.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項和．25.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的正整數(shù)k存在，求k的值；若k不存在，請說明理由．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，是等比數(shù)列，，，，．是否存在k，使得且？

參考答案1.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項等差數(shù)列即可；若選②，利用類比作差和階差法可以求解；若選③，利用公式作差后因式分解，找出與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式即可求出.（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可.【詳解】(1)若選①：因為所以，兩式相減得，所以是隔項等差數(shù)列，且，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.若選②：，所以，兩式相減得，，所以，所以.若選③：因為①，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以的通項公式.(2)當(dāng)時，，能夠被3整除；假設(shè)當(dāng)時，能被3整除，則有,所以，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時能被3整除.綜上所述，對一切，能被3整除.2.【答案】答案見解析【分析】選①②作為條件，可得，即可求出和，進(jìn)而得到③.選①③作為條件，可得，即可得到，進(jìn)而得到②選②③作為條件，可得，，進(jìn)而得到①【詳解】解：選①②作為條件，③作為結(jié)論由，，，所以，則有，，所以可知，則有，得故可知，又符合，所以，則有．選①③作為條件，②作為結(jié)論由當(dāng)為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)，故，是以公差為，首項為的等差數(shù)列選②③作為條件，①作為結(jié)論為等差數(shù)列，，即3.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求得，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）選①，判斷，進(jìn)而求解；選②，利用裂項相消法即可求解；選③，，利用分組求和法即可求解.【詳解】（1）由題，，，所以，則，所以當(dāng)時，的最小值為.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，選①，由（1），，令，即,所以，所以；選②，由（1），，所以；選③，由（1），，，所以4.【答案】答案見解析【分析】選①②證明③：由已知求得的公差，進(jìn)而有為等比數(shù)列并寫出，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列定義判斷等比數(shù)列；選①③證明②：由已知求得的公比為并寫出通項公式，根據(jù)的關(guān)系求通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷為等差數(shù)列；選②③證明①：由為等差數(shù)列，設(shè)寫出通項公式，根據(jù)等比中項的性質(zhì)有，化簡求即可證.【詳解】選①②證明③：設(shè)等差數(shù)列的公差是，則，又，所以，即，，所以，，故是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.設(shè)，則，，又，所以是首項是，公比為2的等比數(shù)列.選①③證明②：設(shè)等比數(shù)列的公比是，所以，又，則，又，所以數(shù)列的通項公式為，則.當(dāng)時，，又時，符合上式，所以，，故，所以是等差數(shù)列.選②③證明①：因為數(shù)列是等差數(shù)列，則為常數(shù)，，所以為常數(shù)，，即為常數(shù)，，令，則為首項為，公比為的等比數(shù)列，此時.因為數(shù)列是等比數(shù)列，則，故，即，化簡得，因為，解得，所以，即.5.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①②，用基本量法即可求出通項公式，選③，根據(jù)和的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項相消法，即可求解.【詳解】(1)解：若選①，，則，解得，所以；若選②，，則，解得，所以；若選③，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時也成立，所以(2)因為，所以6.【答案】答案見解析【分析】選①，根據(jù)前n項和求得等比數(shù)列的公比，即可得答案；選②，根據(jù)前n項和公式求得等比數(shù)列的首項和公比，即可得答案；【詳解】選①：等比數(shù)列中，設(shè)公比為q,，又，即,解得或，故或；選②：，設(shè)公比為q,若,則，則，與矛盾，故；故，解得，故；7.【答案】(1)若選①.；若選②.；若選③.(2)若選①.的最大值為7；若選②.的最大值為6；若選③.的最大值為100【分析】（1）若選①可得是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，從而得出通項公式；若選②.先求出首項，然后由遞推關(guān)系得出，從而可得為等比數(shù)列，得出答案；若選③.由遞推關(guān)系可得，結(jié)合條件可得出為常數(shù)列，從而得出答案.（2）根據(jù)（1）中選擇的條件得出的通項公式，求出，結(jié)合通過解不等式可得答案.【詳解】(1)若選①.由，即，則是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列.所以若選②.由，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，由，則由兩式相減可得：所以是以1為首項公比為2的等比數(shù)列.則若選③.

由，則，所以由，則所以為常數(shù)列，且(2)若選①.由，即，解得所以的最大值為7.若選②.由，即，解得所以的最大值為6.若選③.由，則由，即，所以的最大值為100.8.【答案】(1)；(2).【分析】（1）寫出二項式展開式通項公式，根據(jù)所選的條件列方程求n值.（2）由（1）所得n及展開式通項公式判斷確定最大項，進(jìn)而寫出最大項.【詳解】(1)展開式第項為，，選①：展開式前三項的系數(shù)為1，，，據(jù)題意得：，可得；選②：展開式第三項的系數(shù)為，可得，所以；選③：令，所以.(2)展開式一共有9項，二項式系數(shù)最大的項為第5項，則．9.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；選②，可推導(dǎo)出，可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；選③，分析可知數(shù)列為等差數(shù)列數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得，再由可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，可得出，利用裂項求和法可求得.【詳解】(1)解：選條件①時，，，整理得，故（常數(shù)），且，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.故；選條件②時，，，整理得，故，故數(shù)列是等差數(shù)列，公差，故；選條件③時，，且，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，則時，.又滿足，所以，.(2)解：由（1）得：，由于是、的等比中項，所以，則，故.10.【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用與的關(guān)系可得，然后利用條件即得；（2）利用等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列的基本量的運算可得，然后利用錯位相減法即得.【詳解】(1)選①②，由可得，，又，∴，當(dāng)時，，，所以，又，∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；選②③，由，，可得，當(dāng)時，，，∴，即，∴，又，∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；選①③，由于與等價，故不能選擇.(2)①設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，因為，且，，成等比數(shù)列，∴，解得或（舍去）∴；②由上可知，∴，∴，∴，∴.11.【答案】答案見解析【分析】若由①③②：根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列前項和、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；若①②③：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可；若②③①：根據(jù)等比數(shù)列前項和與通項公式的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】①③②．已知數(shù)列是等比數(shù)列，．設(shè)數(shù)列的公比為，又，所以，因為，所以，根據(jù)題意可知，所以解得，所以，所以，且，因為，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．①②③．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公比為，又，根據(jù)題意，所以，，所以，，，，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即，化解得，即，根據(jù)題意且，所以得，從而，，所以有．②③①．已知數(shù)列是等比數(shù)列，．因為為數(shù)列的前項和，且，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意有且，所以，當(dāng)時，，又因為，所以，又，所以有，又，所以，所以得，因為所以數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列．12.【答案】(1)(2)，且【分析】（1）根據(jù)所選條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式建立方程求出公差即可得出通項公式；（2）根據(jù)（1）可得出數(shù)列前n項和，建立不等式求解即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若選擇條件①，∵，∴，即.又∵，所以，故；若選擇條件②，∵，∴，∴，又∵，故；若選擇條件③,∵，∴，即，即，又∵，所以，故；(2)由（1）可知，，，，令，即，解得，且.13.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差與等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行基本運算求解即可；（2）由（1）得，進(jìn)而錯位相減法求解即可；（3）由（1）得，進(jìn)而裂項求和即可.【詳解】(1)解：選①，由題意有，，解得，故；選②，由題意有，，解得，故；選③，由題意有，，解得，故；(2)解：由（1）得，，記，，（1）.（2）（1）-（2）可得，故.以.(3)解：由（1）得，，所以.14.【答案】【分析】不管選擇哪個條件，都是求首項和公差，再求通項公式.【詳解】若選擇①，，數(shù)列的通項公式，即；若選擇②，，解得：，，數(shù)列的通項公式；若選擇條件③，解得：，，數(shù)列的通項公式.15.【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①時，利用，可求出數(shù)列的通項公式；選條件②時，化簡可得為常數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式；選條件③時，利用，可求出數(shù)列的通項公式；（2）依題意可知，所以，再利用二項式定理解決整除和余數(shù)問題.【詳解】(1)選條件①時，當(dāng)時，，解得，所以．當(dāng)時，，，兩式相減得，即，，當(dāng)時滿足上式，所以．所以當(dāng)時，，又，所以．選條件②時，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減，得，所以，又，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，又，所以，所以．選條件③時，當(dāng)時，，因為，所以．由，當(dāng)時，，兩式相減，得，整理得，所以．因為，所以，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．(2)由題知，所以，又，而所以．16.【答案】(1)證明見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）根據(jù)可得，相減可得，再得到，再次相減即可證明結(jié)論；（2）若選①，則討論n的取值范圍，分段求得結(jié)果；若選②，將化為，利用（1）的結(jié)果，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式求得答案．【詳解】（1）證明：因為，所以，則，兩式相減得，所以，以上兩式相減得，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）中令得，又，所以等差數(shù)列的公差，所以，，若選①：若，，則；若，，所以；若選②：．17.【答案】選①：；選②：；選③：【分析】選①：利用與的關(guān)系得到關(guān)于的遞推公式，再由遞推公式求，然后可得通項；選②：利用與的關(guān)系得到遞推公式，然后構(gòu)造等比數(shù)列可求通項；選③：根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列可解.【詳解】選①：，即是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，即當(dāng)時，顯然，時，上式不成立，所以.選②：當(dāng)時，，即所以整理得又，所以從第二項起，是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列當(dāng)時，，即顯然，時，上式成立，所以選③：又是以2為公比和首項的等比數(shù)列，即18.【答案】(1)，，(2)若選①，；若選②，.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可求得，可猜想得到；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得；（2）若選條件①，由可整理得到，由此可得；若選條件②，由可整理得到，由此可得.【詳解】（1）由得：；；猜想可得：；當(dāng)時，滿足；假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，成立，綜上所述：當(dāng)時，.（2）若選條件①，，若為等差數(shù)列，則，即，，整理得：，即，，解得：，則存在實數(shù)，使得為等差數(shù)列；若選條件②，，，若為等差數(shù)列，則，，，整理得：，即，，解得：，則存在實數(shù)，使得為等差數(shù)列.19.【答案】(1)；證明見解析.(2)【分析】（1）選①②，結(jié)合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進(jìn)而求解；選：②③，先根據(jù)題意得，進(jìn)而證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再求解即可；選：①③，結(jié)合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進(jìn)而在求解即可.（2）結(jié)合（1）得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】(1)解：選①②，因為，所以，因為，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然滿足，所以，.選：②③，因為，，所以，解得，故.因為，所以，即，所以，整理得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以.選：①③，因為，，所以，所以，兩式作差得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，，所以，所以.(2)解：由（1）得，故，所以數(shù)列的前項和滿足：20.【答案】(1)(2)選擇①最小值為1；選擇②最小值為【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的前3項和列方程組先求得與，然后求得公比，可得通項公式；（2）選①，利用可得數(shù)列的遞推關(guān)系，得其為等比數(shù)列，求得通項公式，從而得，再由等比數(shù)列的前項和公式計算和，由其單調(diào)性得最小值；選②，直接得數(shù)列是等比數(shù)列，求出后，再求得，同樣由等比數(shù)列前項和公式求得，分奇偶討論可得最小值．【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，則由前3項和為13，且，，成等差數(shù)列，得所以所以，即，解得或.又因為是遞增的等比數(shù)列，且，所以，所以，所以.(2)選擇①.因為，所以，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，因此.由恒成立，故為單調(diào)遞增數(shù)列，所以的最小值為.選擇②.由知是為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時，由于，故；當(dāng)n為偶數(shù)時，由于，故，由在n為偶數(shù)時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.21.【答案】(1)答案見解析.(2)答案見解析.【分析】選①：（1）由題意列方程組求出{2nan}的首項和公差，即可得到通項公式，從而求出an=；（2）用錯位相減法求和.選②：（1）bn=（-1）n+1n+an，由題意列方程組求出{bn}的首項和公比，即可得到通項公式，從而求出an=2n+（-1）nn.；（2）利用分組求和法求和.【詳解】(1)選①：因為{2nan}為等差數(shù)列，所以2×22a2=21a1+23a3，即8a2=2+8a3（*）.又a1，a3，a2成等比數(shù)列，所以=a1×a2，即=a2（**）由（*）（**）解得或（舍去），

則22a2-21a1=3-2=1，故{2nan}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則2nan=n+1，即an=.選②：令bn=（-1）n+1n+an，即{bn}為等比數(shù)列，則=b1b3，即（a2-2）2=2（a3+3）（*）.

又4a1，a3，a2成等差數(shù)列，所以2a3=4a1+a2，即2a3=4+a2（**）.由（*）（**）解得或（舍去），則==2，故{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，bn=2n=（-1）n+1n+an，得an=2n+（-1）nn.(2)選①：Sn=++…+，

Sn=++…+，

則Sn=1+（++…+）-

=1+-

=-，

所以Sn=3-.

選②：Sn=（21-1）+（22+2）+…+[2n+（-1）nn]=（21+22+…+2n）+[-1+2-3+…+（-1）nn]

=An+Bn，其中An=21+22+…+2n==2n+1-2，

Bn=-1+2-3+…+（-1）nn.當(dāng)n為偶數(shù)時，Bn=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]=;

當(dāng)n為奇數(shù)時，Bn=Bn+1-（n+1）=-n-1=-.

綜上，Sn=An+Bn=22.【答案】(1)(2)【分析