開(kāi)放性試題-數(shù)列（二）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)開(kāi)放性試題-數(shù)列（二）一、多選題（本大題共3小題）1.在等差數(shù)列中，，.記，則數(shù)列A． B．有最大項(xiàng) C．無(wú)最大項(xiàng) D．無(wú)最小項(xiàng)2.用數(shù)字、、、、、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．可組成個(gè)不重復(fù)的四位數(shù)B．可組成個(gè)不重復(fù)的四位偶數(shù)C．可組成個(gè)能被整除的不重復(fù)四位數(shù)D．若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第個(gè)數(shù)字為3.下列選項(xiàng)中，不是成等比數(shù)列的充要條件是（

）．A．（為常數(shù)） B．（為常數(shù)）C． D．二、雙空題（本大題共2小題）4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)列滿足，已知兩個(gè)條件：①函數(shù)在是增函數(shù)；②是遞增數(shù)列.寫出一個(gè)滿足①和②的函數(shù)解析式：；寫出一個(gè)滿足②但不滿足①的函數(shù)解析式：.5.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式：an=，bn=．三、填空題（本大題共17小題）6.已知數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為3，6，寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式：．7.已知遞減數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式可以是．8.已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為的遞增數(shù)列，若，，則滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．9.能說(shuō)明“設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于任意的，若，則”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是（寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式）10.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的數(shù)列，①無(wú)窮數(shù)列；②遞減數(shù)列；③每一項(xiàng)都是正數(shù)，則.11.已知等比數(shù)列滿足能說(shuō)明“若，則”為假命題的數(shù)列的通項(xiàng)公式．(寫出一個(gè)即可)12.寫出一個(gè)公比的遞增等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.13.已知數(shù)列滿足①，②，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．（答案不唯一）14.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為．（寫出一個(gè)即可）15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式，滿足下面兩個(gè)條件：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列.16.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，寫出滿足上述條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.17.寫出一個(gè)滿足的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比，且，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式.19.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為.（填一個(gè)即可）20.寫出一個(gè)滿足前5項(xiàng)的和為10，且遞減的等差數(shù)列的通項(xiàng).21.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中能構(gòu)成等比數(shù)列的三項(xiàng)可以為.(只需寫出一組)22.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)為整數(shù)，公比為，且，，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．四、解答題（本大題共8小題）23.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，試寫出滿足上述條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并說(shuō)明理由.24.在①，②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.問(wèn)題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）25.是否存在一個(gè)各項(xiàng)都小于5的無(wú)窮遞增數(shù)列？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果不存在，說(shuō)明理由．26.已知，有窮數(shù)列滿足，將所有項(xiàng)之和為的可能的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)記為.（1）求，；（2）已知，，若時(shí)，總有，求出一組實(shí)數(shù)對(duì)；（3）求關(guān)于的表達(dá)式.27.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．問(wèn)題：已知數(shù)列滿足，，若數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列不是等比數(shù)列，說(shuō)明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．28.已知數(shù)列中，前n項(xiàng)為和其中n∈N*，=1，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得數(shù)列唯一確定并解答以下問(wèn)題：（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列？請(qǐng)寫出解答過(guò)程．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．29.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是否存在正項(xiàng)數(shù)列，，滿足，且當(dāng)時(shí)，有？請(qǐng)?jiān)冖伲?，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，若數(shù)列存在，求出其通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30.已知是遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

參考答案1.【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出等差數(shù)列通項(xiàng)公式，將數(shù)列前幾項(xiàng)寫出來(lái)，通過(guò)分析判定即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，所以，所以；所以所以，A正確；由，所以比較可得有最大項(xiàng)，B正確；又且越大越大，故數(shù)列無(wú)最小項(xiàng)，D正確故選：ABD2.【答案】BC【分析】A選項(xiàng)選一個(gè)非0數(shù)在首位，其他幾位全排列；B選項(xiàng)，分為在末位和不在末位；C選項(xiàng)能被整除的四個(gè)數(shù)然后分類討論排列；D選項(xiàng)分類討論：首位為、前兩位為、前兩位為進(jìn)而得出答案.【詳解】解：A選項(xiàng)，有個(gè)，錯(cuò)，B選項(xiàng)，分為兩類：在末位，則有種，不在末位，則有種，∴共有種，對(duì)，C選項(xiàng)，先把四個(gè)相加能被整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選：，、、、，它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被整除，∴共有：種，對(duì)，D選項(xiàng)，首位為的有個(gè)，前兩位為的有個(gè)，前兩位為的有個(gè)，此時(shí)共有個(gè)，因而第個(gè)數(shù)字是前兩位為的最小數(shù)，即為，錯(cuò)，故選：BC.3.【答案】ABD【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義、等比數(shù)列中項(xiàng)公式判定即可.【詳解】解：對(duì)于A.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于C.根據(jù)等比數(shù)列等比中項(xiàng)可以判定此數(shù)列為等比數(shù)列，故正確；對(duì)于D.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；故選：ABD.4.【答案】

（答案不唯一）【分析】本題第一個(gè)填空可用到常用的函數(shù)；第二個(gè)填空要考慮到函數(shù)和對(duì)應(yīng)的數(shù)列增減性不同．【詳解】由題意可知：在x∈[1，+∞）這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)的函數(shù)有許多，可寫為：．第二個(gè)填空是找一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列，而對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是增函數(shù)，可寫為：．則這個(gè)函數(shù)在[1，]上單調(diào)遞減，在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴在[1，+∞）上不是增函數(shù)，不滿足①．而對(duì)應(yīng)的數(shù)列為：在n∈N*上越來(lái)越大，屬遞增數(shù)列．故答案為：；．5.【答案】

-n

2【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得，，即可得到所求通項(xiàng)公式，注意答案不唯一．【詳解】等差數(shù)列的公差設(shè)為，等比數(shù)列的公比設(shè)為，，，，可得，即為，可取，可得，則，，故答案為，2．6.【答案】（答案不唯一，比如，，…）【分析】根據(jù)題意，可以將其看成等比數(shù)列或者等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，進(jìn)而求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前兩項(xiàng)分別為3，6，所以當(dāng)該數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，，當(dāng)該數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，，故答案為：（答案不唯一，比如，，…）7.【答案】【分析】由題意取符合條件的一個(gè)數(shù)列即可【詳解】取，令，易知函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，且，所以的通項(xiàng)公式可以是．故答案為：8.【答案】，答案不唯一【分析】由，，可得，進(jìn)而解得，然后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得，因?yàn)椋?，所以有，解得，只要公差d滿足即可，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可，我們可以取，此時(shí).故答案為：，答案不唯一.9.【答案】（答案不唯一）【分析】由題數(shù)列為遞增數(shù)列，可找出一個(gè)不滿足的等差數(shù)列，即得.【詳解】由題意可知，對(duì)于任意的，若，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，又命題為假命題，所以可找出一個(gè)不滿足的等差數(shù)列，可取，該數(shù)列對(duì)于任意的，若，但，不滿足.故答案為：（答案不唯一）.10.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題目中要求的數(shù)列性質(zhì)，寫出滿足題意的一個(gè)數(shù)列即可.【詳解】根據(jù)題意，要求的數(shù)列可以為，故答案為：（答案不唯一）.11.【答案】【分析】根據(jù)給定條件探求出等比數(shù)列公比q具有的性質(zhì)，再分情況討論即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比，由得，而，于是得，即或，當(dāng)時(shí)，，則，“若，則為真命題，與題設(shè)矛盾，當(dāng)時(shí)，因不成立，則必有，而，必有，取，則，此時(shí)，而，，即“若，則”為假命題，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為.故答案為：12.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和單調(diào)性進(jìn)行填寫.【詳解】依題意，是公比的遞增等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，故可填.故答案為：（答案不唯一）13.【答案】【分析】判斷數(shù)列的特征，從等差數(shù)列或等比數(shù)列入手考慮解答.【詳解】，說(shuō)明數(shù)列是遞增數(shù)列；由，不妨設(shè)該數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為1，首項(xiàng)為1，所以.故答案為：14.【答案】.（只要公比為3的數(shù)列，即可）【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵數(shù)列也是等比數(shù)列，∴，化為：，解得，取，則.故答案為：.（只要公比為3的數(shù)列，即可）15.【答案】（答案不唯一）【分析】理解兩個(gè)條件的意義，然后可以從等比數(shù)列中尋到滿足條件的例子.【詳解】根據(jù)前n項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，可以判定數(shù)列的各項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)都是大于零的，由數(shù)列本身為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合各項(xiàng)的值的要求，可以考慮公比在0到1之間的等比數(shù)列的例子，就是符合條件的例子，故答案為：（答案不唯一)16.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意可判斷出數(shù)列的公比，，然后舉例代入求解即可判斷.【詳解】由題意，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以可得公比，且，例如，，此時(shí)可得為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，為單調(diào)遞減的數(shù)列，符合題意.故答案為：(答案不唯一)17.【答案】（取一個(gè)值即可）【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】設(shè)的公比為，由可得，即，所以，故答案為：（取一個(gè)值即可）18.【答案】（只要為正項(xiàng)等比數(shù)列（不為常數(shù)列）且即可）【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，根據(jù)，不妨令，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，又，不妨令，所以.故答案為：（只要為正項(xiàng)等比數(shù)列（不為常數(shù)列）且即可）19.【答案】（答案不唯一）【分析】取，驗(yàn)證數(shù)列、均為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論.【詳解】取，則，，所以，數(shù)列和都是等比數(shù)列.故答案為：（答案不唯一）.20.【答案】（答案不唯一）【分析】依題意只需公差，且，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，又，所以，不妨取等差，所以所以故答案為：21.【答案】，，（答案不唯一）【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的部分項(xiàng)，根據(jù)觀察法，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列中的項(xiàng)依次為，，，，，，，，，，，，……，顯然，所以，，能構(gòu)成等比數(shù)列.故答案為：，，22.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可知首項(xiàng)與公比都為整數(shù)，結(jié)合不等可求得，即可取一個(gè)負(fù)數(shù)作為首項(xiàng)得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)為整數(shù)，則公比為整數(shù)，且，，則，變形可得，所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故答案為：.（答案不唯一）23.【答案】(1)；(2)（答案不唯一），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法求得公比和首項(xiàng)后可得前項(xiàng)和．（2）由，因此可取一個(gè)數(shù)列滿足題意（答案不唯一）．【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，則，，所以，，；(2)易知，因此取，滿足題意．（答案不唯一）．24.【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用與的關(guān)系即可得出中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系；（2）假設(shè)存在，得出、、的關(guān)系，即可判斷是否符合題意.【詳解】(1)解：如選①：由于，當(dāng)時(shí)，有，兩式作差得，即，即，又時(shí)，有，所以，所以，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.如選②：由于，當(dāng)時(shí)，有，兩式作差得，又時(shí)，有且，所以，有，所以，且，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.如選③：由于，當(dāng)時(shí)，有，兩式作差得，即，又時(shí)，有且，所以，有，所以，且，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.(2)解：不存在，理由如下由（1）可知，.因?yàn)?，所?假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得（*），因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以，從而（*）可以化簡(jiǎn)為.聯(lián)立可得，這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.25.【答案】存在，.（答案不唯一）【分析】先確定這樣的數(shù)列，如，再證明這個(gè)數(shù)列符合題意即可.【詳解】解：存在，如，因?yàn)?，所以，又函?shù)在上遞增，所以數(shù)列是無(wú)窮遞增數(shù)列，所以存在各項(xiàng)都小于5的無(wú)窮遞增數(shù)列.26.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）結(jié)合有窮數(shù)列的定義，用列舉法即可求得，的值；（2）根據(jù)題中條件求解得出所滿足的通項(xiàng)公式，即可求出實(shí)數(shù)對(duì)的值；（3）利用（2）中的兩組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的兩個(gè)遞推關(guān)系式，消去即可得出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意，符合條件的數(shù)列分別列舉如下：符合的數(shù)列有：，，，所以；符合的數(shù)列有：，，，，，所以.（2）由分析可得：，，可化簡(jiǎn)為，，或，則由，組成的一組實(shí)數(shù)對(duì)為.（3）由（2）可知，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又，首項(xiàng)為，，①取，同理可得，②②-①得，所以.27.【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析【分析】若選①，利用化簡(jiǎn)得，得，從而可作出判斷；若選②，利用可得，從而有數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列；若選③，先求出，然后可得，再利用得，從而可判斷數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，【詳解】解：若選①：，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，結(jié)合，可知，所以．由，得，即，故數(shù)列不是等比數(shù)列．若選②：，由，得，即，于是，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，因此．若選③：，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，因此．28.【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【分析】選擇條件①（1）由，n∈N*，變形為，再利用等比數(shù)列定義求解；（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)≤≤，則有，再由奇偶數(shù)判斷.選擇條件②：根據(jù)，缺少條件無(wú)法求解；選擇條件③．（1）根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)的關(guān)系求解.（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)≤≤，則有再由奇偶數(shù)判斷.【詳解】選擇條件①（1）因?yàn)?，n∈N*，所以．又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．所以，，n∈N*（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)≤≤，所以+=2，即，即，因?yàn)椋詾檫f增數(shù)列，i<j<k．所以與，均為偶數(shù)矛盾．所以假設(shè)不成立，結(jié)論得證