海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)?？诟綄賹W(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-A4

第頁2023-2024學(xué)年海南省北京師大?？诟街懈叨ㄉ希┢谥袛?shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角為（）A．﹣30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）兩條平行直線3x+4y﹣12＝0與ax+8y+11＝0之間的距離為（）A． B． C．7 D．3．（5分）設(shè)l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l∥α，l⊥β，則α⊥β D．若α⊥β，l⊥α，則l∥β4．（5分）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲線是圓，則k的值為（）A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]5．（5分）一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時，拱頂離水面3米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為（）米．A．2 B．2 C．4 D．46．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（5分）下列說法正確的是（）A．直線x﹣y﹣2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4 B．點（0，2）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（1，0） C．直線x﹣2y+3＝0關(guān)于直線x+y﹣3＝0的對稱直線的方程為x﹣2y＝0 D．直線y＝3x+3關(guān)于點A（3，2）的對稱直線的方程為3x﹣y﹣17＝0．8．（5分）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）（多選）9．（5分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，表示直線l1：y＝ax+b與l2：y＝bx﹣a的圖象可能是（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）已知圓C：（x+2）2+y2＝4，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），則（）A．直線l恒過定點（﹣1，1） B．當(dāng)m＝0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1 C．直線l與圓C有兩個交點 D．若圓C與圓x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三條公切線，則a＝8（多選）11．（5分）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是DD1的中點，則（）A．B1E⊥A1B B．平面B1CE∥平面A1BD C．三棱錐C1﹣B1CE的體積為 D．三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為24π（多選）12．（5分）已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，則下列說法中正確的有（）A．y﹣x的最大值為﹣2 B．x2+y2的最大值為7+4 C．的最大值為 D．x+y的最大值為2+三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知直線l1：mx+3y+1＝0與直線l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，則它們的交點坐標(biāo)為．14．（5分）已知直線l：x﹣y+6＝0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為．15．（5分）公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點A（﹣1，0）和B（2，1），且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）對稱，則m與n之間的關(guān)系式為．16．（5分）設(shè)點P為直線2x+y﹣2＝0上的點，過點P作圓C：x2+y2+2x+2y﹣2＝0的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）求滿足下列條件的直線方程．（Ⅰ）過點M（2，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程；（Ⅱ）已知A（﹣3，3），B（1，1），兩直線l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0交點為P，求過點P且與A，B距離相等的直線方程；（Ⅲ）經(jīng)過點M（2，1），并且與圓x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0相切的直線方程．18．（12分）已知圓C的圓心在直線3x﹣y＝0上，且該圓與x軸相切．（1）若圓C經(jīng)過點（4，3），求該圓的方程；（2）若圓C被直線x﹣y＝0截得的弦長為，求該圓的方程．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點，PD＝DC＝2，F(xiàn)為棱PB上的點且．（1）證明：PA∥平面BDE；（2）證明：直線PB⊥平面DEF；（3）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值．20．（12分）已知兩圓M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．（1）求兩圓的公共弦所在的直線方程；（2）求過兩圓交點且圓心在x+2y﹣3＝0上的圓的方程．21．（12分）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，點E為棱B1C1的中點，點F是線段BB1上的點（不包括兩個端點）．（1）當(dāng)F為線段BB1的中點時，求點B到平面AC1F的距離；（2）是否存在一點F，使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值為，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．22．（12分）已知圓和圓（r＞0）．（1）若圓C1與圓C2相交，求r的取值范圍；（2）若直線l：y＝kx+1與圓C1交于P、Q兩點，且，求實數(shù)k的值；（3）若r＝2，設(shè)P為平面上的點，且滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

2023-2024學(xué)年海南省北京師大?？诟街懈叨ㄉ希┢谥袛?shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角為（）A．﹣30° B．60° C．120° D．150°【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為θ，0≤θ＜π，∵直線y＝﹣x，∴k＝tanθ＝﹣，∴θ＝150°，故選：D．【點評】本題主要考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題2．（5分）兩條平行直線3x+4y﹣12＝0與ax+8y+11＝0之間的距離為（）A． B． C．7 D．【分析】先將兩條平行直線的系數(shù)化成對應(yīng)相等，再利用距離公式，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，a＝6，直線3x+4y﹣12＝0可化為6x+8y﹣24＝0∴兩條平行直線之間的距離為＝故選：D．【點評】本題考查兩條平行直線之間的距離公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l∥α，l⊥β，則α⊥β D．若α⊥β，l⊥α，則l∥β【分析】由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系，可判斷A；由線面的位置關(guān)系可判斷B；由線面平行與垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，可判斷C；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面的位置關(guān)系可判斷D．【解答】解：l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，若l∥α，l∥β，可得α∥β或α、β相交，故A錯誤；若α⊥β，l∥α，可得l∥β或l?β、l與β相交，故B錯誤；若l∥α，可得過l的平面γ與α的交線m∥l，由l⊥β，可得m⊥β，又m?α，則α⊥β，故C正確；若α⊥β，l⊥α，可得l∥β或l?β，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲線是圓，則k的值為（）A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]【分析】方程配方后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根據(jù)圓的半徑大于0求解．【解答】解：由方程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，所以當(dāng)時表示圓，解得k＜6．故選：C．【點評】本題考查二元二次方程表示圓的條件，考查知識的應(yīng)用能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時，拱頂離水面3米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為（）米．A．2 B．2 C．4 D．4【分析】建立合適的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出圓的方程，當(dāng)水面下降1米后，設(shè)水面所在直線與圓的交點為A'（x0，﹣4）（x0＞4），將點的坐標(biāo)代入圓的方程，求出x0的值，即可得到答案．【解答】解：以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，由已知可得A（6，﹣3），設(shè)圓的半徑為r，則C（0，﹣r），故圓的方程為x2+（y+r）2＝r2①，將點A（6，﹣3）代入方程①，解得r＝，所以圓的方程為x2+（y+）2＝②，當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點A'（x0，﹣4）（x0＞4），如圖所示，將點A'的坐標(biāo)代入方程②，求得x0＝2，所以水面下降1米后，水面寬為2x0＝4米，故選：C．【點評】本題考查了圓在實際中的應(yīng)用問題，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立合適的平面直角坐標(biāo)系，將幾何元素代數(shù)化，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．6．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PN和BM所成角的余弦值．【解答】解：∵在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝PB＝PC＝2，則P（0，0，0），N（1，1，0），B（0，2，0），M（1，0，1），＝（1，1，0），＝（1，﹣2，1），設(shè)異面直線PN和BM所成角為θ，則cosθ＝＝＝．∴異面直線PN和BM所成角的余弦值為．故選：D．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．7．（5分）下列說法正確的是（）A．直線x﹣y﹣2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4 B．點（0，2）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（1，0） C．直線x﹣2y+3＝0關(guān)于直線x+y﹣3＝0的對稱直線的方程為x﹣2y＝0 D．直線y＝3x+3關(guān)于點A（3，2）的對稱直線的方程為3x﹣y﹣17＝0．【分析】A，求得直線x﹣y﹣2＝0與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，計算直線x﹣y﹣2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積即可；B，求得點（0，2）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點的坐標(biāo)即可判斷；C，求得直線x﹣2y+3＝0關(guān)于直線x+y﹣3＝0的對稱直線的方程即可作出判斷；D，求出直線y＝3x+3關(guān)于點A（3，2）的對稱直線的方程即可．【解答】解：對A，直線x﹣y﹣2＝0與兩坐標(biāo)軸交于（0，﹣2），（2，0），所以圍成的三角形面積為，故A錯誤；對B，點（0，2）和（1，1）的中點在直線y＝x+1上，且連線的斜率為，可得與直線y＝x+1垂直，所以點（0，2）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（1，1），故B錯誤；對C，聯(lián)立直線方程可得交點坐標(biāo)（1，2），任取直線x﹣2y+3＝0上點（﹣3，0），設(shè)其對稱點為（a，b），則，解得，故對稱直線的斜率為，故方程為y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0，故C錯誤．對D，設(shè)直線l關(guān)于點A（3，2）的對稱直線為l′，由l∥l′，設(shè)l′：y′＝3x′+b．任取y＝3x+3上的一點（0，3），則該點關(guān)于點A（3，2）的對稱點一定在直線l′上，設(shè)其對稱點為（x′，y′）．則，解得．代入y′＝3x′+b，得b＝﹣17．故直線l′的方程為y′＝3x′﹣17，即所求直線的方程為3x﹣y﹣17＝0．故選：D．【點評】本題考查與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程的求法，屬于中檔題．8．（5分）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：以D1為坐標(biāo)原點，以D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，所以?＝（+）?（+）＝（+）?（﹣）＝﹣1∈[0，2]．所以的取值范圍是[0，2]．故選：B．【點評】本題以正方體為載體，考查了線面、面面位置關(guān)系，以及空間向量的數(shù)量積應(yīng)用問題，是中檔題．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）（多選）9．（5分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，表示直線l1：y＝ax+b與l2：y＝bx﹣a的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分情況討論a與b的正負(fù)情況，分別判斷各選項．【解答】解：A選項：由l1的圖象可知a＞0，b＜0，l1經(jīng)過一、三、四象限，則l2需經(jīng)過二、三、四象限，故A選項正確；B選項：由l1的圖象可知a＞0，b＞0，l1經(jīng)過一、二、三象限，則l2需經(jīng)過一、三、四象限，故B選項錯誤；C選項：由l1的圖象可知a＜0，b＞0，l1經(jīng)過一、二、四象限，則l2需經(jīng)過一、二、三象限，故C選項正確；D選項：由l1的圖象可知a＜0，b＜0，l1經(jīng)過二、三、四象限，則l2需經(jīng)過一、二、四象限，故D選項錯誤；故選：AC．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知圓C：（x+2）2+y2＝4，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），則（）A．直線l恒過定點（﹣1，1） B．當(dāng)m＝0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1 C．直線l與圓C有兩個交點 D．若圓C與圓x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三條公切線，則a＝8【分析】對于A，將直線方程變形，求出直線經(jīng)過的定點，即可判斷正誤；對于B，利用點到直線的距離公式進(jìn)行計算，可作出判斷；對于C，根據(jù)定點在圓內(nèi)加以判斷；對于D，利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系加以判斷，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，直線l的方程為（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），變形可得：m（x+1）+x+2y﹣1＝0，令，解得，所以直線恒過定點（﹣1，1），故A正確．對于B，圓C：（x+2）2+y2＝4，其圓心為（﹣2，0），半徑為2，當(dāng)m＝0時，直線l的方程為x+2y﹣1＝0，圓心C（﹣2，0）到直線l的距離為，由于r﹣d＝，所以圓上只有2個點到直線的距離為1，故B錯誤．對于C，因為直線過定點（﹣1，1），所以（﹣1+2）2+12＜4，所以定點在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點．故C正確．對于D，圓的方程x2+y2﹣2x+8y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a，其圓心為（1，﹣4），半徑為，若圓C與圓x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三條公切線，則兩圓外切，則有，解得a＝8，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查圓的方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式，涉及兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是DD1的中點，則（）A．B1E⊥A1B B．平面B1CE∥平面A1BD C．三棱錐C1﹣B1CE的體積為 D．三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為24π【分析】在A中，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法推導(dǎo)出B1E與A1B不垂直；在B中，求出平面B1CE的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1CE與平面A1BD相交；在C中，三棱錐C1﹣B1CE的體積為＝；在D中，三棱錐C1﹣B1CD1的外接球就是長方體ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，從而三棱錐C1﹣B1CD1的外接球半徑R＝＝，由此求出三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為24π．【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是DD1的中點，在A中，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B1（2，0，4），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），＝（﹣2，2，﹣2），＝（2，0，﹣4），∵＝﹣4+0+8＝4≠0，∴B1E與A1B不垂直，故A錯誤；在B中，B1（2，0，4），C（2，2，0），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），D（0，2，0），＝（0，﹣2，4），＝（﹣2，0，2），＝（﹣2，0，4），＝（﹣2，2，0），設(shè)平面B1CE的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，2，1），設(shè)平面A1BD的法向量＝（a，b，c），則，取x＝1，得＝（1，1，），∵不共線，∴平面B1CE與平面A1BD相交，故B錯誤；在C中，三棱錐C1﹣B1CE的體積為：＝＝，故C正確；在D中，三棱錐C1﹣B1CD1的外接球就是長方體ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，∴三棱錐C1﹣B1CD1的外接球半徑R＝＝，∴三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為S＝＝24π，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是中檔題．（多選）12．（5分）已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，則下列說法中正確的有（）A．y﹣x的最大值為﹣2 B．x2+y2的最大值為7+4 C．的最大值為 D．x+y的最大值為2+【分析】根據(jù)題意，方程x2+y2﹣4x+1＝0對應(yīng)的幾何圖形為圓，分析圓的圓心和半徑，由此分析選項，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，方程x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，表示圓心為（2，0），半徑為的圓，由此分析選項：對于A，設(shè)y﹣x＝z，則x﹣y+z＝0，直線x﹣y+z＝0與圓（x﹣2）2+y2＝3有公共點，則≤，解可得﹣﹣2≤z≤﹣2，則z＝y(tǒng)﹣x的最大值為﹣2，A正確；對于B，設(shè)t＝，其幾何意義為圓（x﹣2）2+y2＝3上的點到原點的距離，則t的最大值為2+，故x2+y2的最大值為t2＝（2+）2＝7+4，B正確；對于C，設(shè)k＝，則kx﹣y＝0，直線kx﹣y＝0與圓（x﹣2）2+y2＝3有公共點，則≤，則﹣≤k≤，即的最大值為，C錯誤；對于D，設(shè)m＝x+y，則x+y﹣m＝0，直線x+y﹣m＝0與圓（x﹣2）2+y2＝3有公共點，則有≤，解可得：﹣+2≤m≤+2，即x+y的最大值為+2，D錯誤；故選：AB．【點評】本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知直線l1：mx+3y+1＝0與直線l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，則它們的交點坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)垂直的兩條直線的方程的關(guān)系，建立關(guān)于m的等式，解出m的值，進(jìn)而解方程組得出兩條直線的坐標(biāo)．【解答】解：直線l1：mx+3y+1＝0與直線l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，可得2m+3（m+5）＝0，解得m＝﹣3，所以直線l1：﹣3x+3y+1＝0，直線l2：2x+2y﹣4＝0即x+y﹣2＝0．由，解得，可知直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為．故答案為：．【點評】本題主要考查垂直的兩條直線的方程的關(guān)系、兩條直線的交點坐標(biāo)求法等知識，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知直線l：x﹣y+6＝0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為．【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知所求最小值為圓心到直線的距離減去半徑．【解答】解：由圓C方程得：圓心C（1，1），半徑，∴圓心C到直線l的距離，∴圓C上的點到直線l距離的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點A（﹣1，0）和B（2，1），且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）對稱，則m與n之間的關(guān)系式為5m+2n＝2．【分析】根據(jù)五步求曲法及圓的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設(shè)P（x，y），因為A（﹣1，0）和B（2，1），且該平面內(nèi)的點P滿足，∴|PA|2＝2|PB|2，∴（x+1）2+y2＝2[（x﹣2）2+（y﹣1）2]，化簡可得（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，∴點P的軌跡方程為（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，∵P點的軌跡關(guān)于直線mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）對稱，∴圓心（5，2）在此直線上，∴5m+2n＝2．故答案為：5m+2n＝2．【點評】本題考查動點軌跡問題的求解，屬中檔題．16．（5分）設(shè)點P為直線2x+y﹣2＝0上的點，過點P作圓C：x2+y2+2x+2y﹣2＝0的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為2x+y﹣1＝0．【分析】由圓的一般方程可得圓心C和半徑r，由，可知當(dāng)直線CP與直線2x+y﹣2＝0垂直時，|AP|取得最小值，由兩直線位置關(guān)系可求得直線CP方程，進(jìn)而得到點P坐標(biāo)，由此可求得以CP為直徑的圓的方程，兩圓方程作差即可求得直線AB方程．【解答】解：由圓C方程知：圓心C（﹣1，﹣1），半徑，因為S四邊形PACB＝2S△PCA，AC⊥AP，所以S四邊形PACB＝|AC|?|AP|＝2|AP|，又因為，所以當(dāng)|CP|為圓心C到直線2x+y﹣2＝0的距離時，即直線CP與直線2x+y﹣2＝0垂直時，|AP|取得最小值，所以，又C（﹣1，﹣1），所以直線，即x﹣2y﹣1＝0，由得：，即P（1，0），所以線段CP中點為，又，所以以CP為直徑的圓的方程為：，由，兩式相減可得：2x+y﹣1＝0，即直線AB方程為：2x+y﹣1＝0．故答案為：2x+y﹣1＝0．【點評】本題考查圓的方程的求法及兩圓的交線方程的求法，屬于中檔題．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）求滿足下列條件的直線方程．（Ⅰ）過點M（2，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程；（Ⅱ）已知A（﹣3，3），B（1，1），兩直線l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0交點為P，求過點P且與A，B距離相等的直線方程；（Ⅲ）經(jīng)過點M（2，1），并且與圓x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0相切的直線方程．【分析】（I）先設(shè)直線方程的截距式，代入點的坐標(biāo)可求；（II）聯(lián)立方程先求出P的坐標(biāo)，然后結(jié)合直線平行條件及直線的點斜式即可求解；（III）結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)先求出直線的斜率，進(jìn)而可求直線方程．【解答】解：（I）①當(dāng)截距都為0時，所求直線為y＝2x?2x﹣y＝0；②當(dāng)截距不為0時，設(shè)為，代入M（2，4）得，故所求直線為x+y﹣6＝0，綜上，直線方程為2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0；（II）聯(lián)立，得x＝﹣2，y＝1，∴P（﹣2，1），①過點P與AB平行，，∴l(xiāng)方程，即x+2y＝0；②過點P與AB中點N，N（﹣1，2），，∴l(xiāng)方程y﹣1＝x+2，即x﹣y+3＝0；綜上，滿足條件直線方程為x+2y＝0或x﹣y+3＝0；（III）圓（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，圓心O（3，4），半徑r＝1，代入M（2，1）得該點在圓外，①當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)為y﹣1＝k（x﹣2）?kx﹣y﹣2k+1＝0，由相切得，；②當(dāng)切線斜率不存在時，即x＝2，與圓相切，符合題意；故所求切線為4x﹣3y﹣5＝0或x＝2．【點評】本題主要考查了直線方程的點斜式，截距式的應(yīng)用，還考查了點到直線的距離公式及直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（12分）已知圓C的圓心在直線3x﹣y＝0上，且該圓與x軸相切．（1）若圓C經(jīng)過點（4，3），求該圓的方程；（2）若圓C被直線x﹣y＝0截得的弦長為，求該圓的方程．【分析】（1）由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓過的點的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即得答案．（2）求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，利用圓心距、弦長、半徑之間的關(guān)系列式計算，求得參數(shù)，即可得答案．【解答】解：（1）由圓C的圓心在直線3x﹣y＝0上可設(shè)圓心為C（a，3a），由于該圓與x軸相切．，故圓的半徑r＝3|a|，故可設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），又圓C經(jīng)過點（4，3），故（4﹣a）2+（3﹣3a）2＝9a2，即a2﹣26a+25＝0，解得a＝1或a＝25，所以圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x﹣25）2+（y﹣75）2＝5625．（2）由（1）知圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），圓心C（a，3a）到直線x﹣y＝0的距離為，圓C被直線x﹣y＝0截得的弦長為，故，即9a2＝7+2a2，解得a＝±1，故圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點，PD＝DC＝2，F(xiàn)為棱PB上的點且．（1）證明：PA∥平面BDE；（2）證明：直線PB⊥平面DEF；（3）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值．【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面BDE．（2）利用向量法得到PB⊥DF，PB⊥DE，由此能證明直線PB⊥平面DEF．（3）求了出是平面BDE的一個法向量，利用向量法能求出直線CE與平面BDE所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點，PD＝DC＝2，F(xiàn)為棱PB上的點且．以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由PD＝DC＝2，則A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，1）則，，，設(shè)是平面BDE的一個法向量，則由，取y＝﹣1，得．∵，∴，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）證明：由＝＝（），∴，∴又，，故，，∴PB⊥DF，PB⊥DE，又DE∩DF＝D，∴直線PB⊥平面DEF．（3）設(shè)直線CE與平面BDE所成角為θ，由（1）知是平面BDE的一個法向量，又∴，∴直線CE與平面BDE所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的正弦值的求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．20．（12分）已知兩圓M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．（1）求兩圓的公共弦所在的直線方程；（2）求過兩圓交點且圓心在x+2y﹣3＝0上的圓的方程．【分析】（1）通過兩個圓的方程作差，即可得到兩圓的公共弦所在的直線方程；（2）利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在x+2y﹣3＝0上，代入求解，即可得到圓的方程．【解答】解：（1）兩圓M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．兩個方程作差可得：2x+2y﹣4＝0，即x+y﹣2＝0．所以兩圓的公共弦所在的直線方程x+y﹣2＝0；（2）設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+2x+2y﹣14+λ（x2+y2﹣10）＝0，即（1+λ）x2+（1+λ）y2+2x+2y﹣14﹣10λ＝0，即x2+y2+x+y﹣＝0，圓的圓心（，），圓心在x+2y﹣3＝0上，可得﹣﹣﹣3＝0，解得：λ＝﹣2．所求圓的方程為：x2+y2+2x+2y﹣14﹣2（x2+y2﹣10）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y﹣6＝0．【點評】本題求經(jīng)過兩圓交點，并且圓心在定直線的圓的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．21．（12分）如圖所示