2022-2023學年北師大版九年級數(shù)學上學期專項講練18 矩形的性質(zhì)與判定(拓展篇)

專題1.8矩形的性質(zhì)與判定（拓展篇）（專項練習）

一、單選題

類型一、坐標系下的矩形問題

1.如圖，把矩形0A3C放入平面直角坐標系中，點3的坐標為（10,8）,點。是OC

上一點，將ABC。沿折疊，點C恰好落在OA上的點E處，則點。的坐標是（）

包

EAx

A.（0,4）B.（0,5）

C.（0,3）D.（0,2）

2.如圖，在平面直角坐標系中,4“兩點的坐標分別是（&。），（。,6）,點C為線段44

的中點，則OC的長等于（）

K

L5

A.V5B.—C.5D.10

3.如圖①，在矩形A8CO中，AB<ADf對角線AC、8。相交于點0,動點尸從點A

出發(fā)，沿ATB—CT。向點。運動.，設(shè)點P的運動路程為-44。2的面積為y,y與k的函

數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

y

①②

A.四邊形48C。的面積為12B.4。邊的長為4

C.當下2.5時，AAOP是等邊三角形D.4AOP的面積為3時，x的值為3或10

4.如圖，點A的坐標為（4,3）,AB_Lx軸于點8,點C為坐標平面內(nèi)一點，。（7=2,

點。為線段AC的中點，連接8。，則BD的最大值為（)

3后

D.26

類型二、折疊中的矩形問題

5.如圖，把長方形紙片A8CD沿對角線所在直線折疊，設(shè)重疊部分為△EBO,那么下

列說法錯誤的是（）

A.是等腰三角形，EB=EDB.折疊后NA8E和NEBD一定相等

C.折疊后得到的圖形是軸對稱圖形D.△E84和一定是全等三角形

6.如圖，某數(shù)學興趣小組開展以下折紙活動：①對折矩形紙片A88,使A力和BC重

合，得到折痕EF,把紙片展開；②再一次折疊紙片，使點4落在EF上，并使折痕經(jīng)過點8,

得到折痕8M,同時得到線段8N.觀察探究可以得到NN8C的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

7.如圖，四邊形0ABe是矩形，點A的坐標為（8,0）,點C的坐標為（0,4）,把矩形Q4BC

沿08折疊，點C落在點。處，則點。的縱坐標為（）

8.在數(shù)學拓展課《折疊矩形紙片》上，小林發(fā)現(xiàn)折疊矩形紙片ABC?？梢赃M行如下操

作：①把AAB尸翻折，點8落在C邊上的點E處，折痕為點尸在8C邊上；②把

翻折，點。落在AE邊上的點G處，折痕為點”在CO邊上，若40=6,8=10,

類型三矩形背景下的最值問題

9.如圖，AABC中，BC=4,。、E分別是線段A8和線段上的動點，KBD=DE,

尸是線段A。上一點，且防二FC,則O尸的最小值為（）

A.3B.2C.2.5D.4

10.如圖，“8C中，ZC=90°,AC=10,BC=8,線段OE的兩個端點。、E分別在

邊AC,8C上滑動，且DE=6,若點M、N分別是DE.AB的中點，則MN的最小值為（)

A.10-y[4\B.y/4A~3C.2^/41-6D.3

U.如圖，在矩形48co中，AB=5,AD=3.動點P滿足“總=gs造影458,則點

P到4、3兩點的距離之和以+P5的最小值為()

A.曬B.734C.向D.752

12.如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2.對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重

合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N,折痕BM與EF

相交于點Q;再次展平，連接BN,MN,延長MN交BC于點G.有如下結(jié)論：①/ABN

=60。；②AM=1；③AB_LCG；④ABMG是等邊三角形；⑤點P為線段BM上一動點，點

H是BN的中點，則PN+PH的最小值是名.其中正確結(jié)論有()

A.5個B.4個C.3個D.2個

類型四、旋轉(zhuǎn)中的矩形問題

13.如圖，矩形A8C。的頂點A(l,0),0(0,2),8(5,2),將矩形以原點為旋轉(zhuǎn)中心,

順時針旋轉(zhuǎn)75。之后點。的坐標為()

y」c

D

O

A.（4,-2）B.（4x/2,-2x/2）C.（4V2,-2）D.（2疝-2夜）

14.如圖，將斜邊為4,且一個角為30。的直角三角形408放在直角坐標系中，兩條直

角邊分別與坐標軸重合，。為斜邊的中點，現(xiàn)將三角形A08繞。點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到三

角形EOC,則點。對應(yīng)的點的坐標為（）

C.（26，-2）D.（2,-2⑶

15.如圖，矩形A8CO中，4）=2,AB=Jj,對角線AC上有一點G（異于A,C）,連

接DG,將A4GD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到“律，則行的長為（）

A.V13B.24\3C.77D.277

16.如圖，矩形。4BC的頂點0（0,0）,A（0,3）,C（5,0）,點、D為AB上一動點、,將△040繞

點O順時針旋轉(zhuǎn)得到AOA。，使得點A的對應(yīng)點A落在0。上，當AD的延長線恰好經(jīng)過

點C時，點。的坐標為（）

A.(2,3)B.(Q)C.fy,3jD.(4,3)

二、填空題

類型一、坐標系下的矩形問題

17.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為(3,3),過點8作BA_Lx軸于點A,

BC_Ly軸于點C.若直線/：y=/心-2加用工0)把四邊形。ABC分成面積相等的兩部分，

則機的值為一.

八

C----------------iB

~~0Ax

18.如圖，四邊形OABC為矩形，點A,。分別在x軸和)，軸上，連接4C,點8的坐

標為(12,5),NCAO的平分線與y軸相交于點O,則點。的坐標為.

19.如圖，在平面直角坐標系中，矩形。48c的頂點A、C的坐標分別為(10,0),(0,4),

點。是。4的中點，點尸在BC邊上運動，點。是坐標平面內(nèi)的任意一點.若以O(shè),。，P,

。為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點。的坐標為.

y

20.如圖，平面直角坐標系中，長方形OWC,點A,C分別在y軸，x軸的正半軸上，

04=6,0C=3,NOOE=45。，OD,0E分別交8C,48于點O,E,且8=2,則點

E坐標為.

類型二、折疊中的矩形問題

21.如圖，在長方形A8C。紙片中，AD//BC,AB//CD,把紙片沿EF折疊后，點C、

。分別落在C'、ZX的位置，若NEFB=75°,則ZATO'等于.

22.如圖，在矩形AHCO中，A8=6,=，點石為邊8C上任意一點，將△A8E沿

AE折疊，使點B落在點尸處，連接C/，若aCEF是直角三角形，則線段BE的長為.

23.如圖，矩形力8co中，AB=3,AO=5.點E是邊上一動點，連接AE.將△A8E

沿AE翻折得到連接。F.當△4。尸的面積為T時，線段8E為長為.

24.如圖，在矩形A8CO中，E是8C邊上的一點，連接4E,將AABE沿4E翻折，點

8的對應(yīng)點為足若線段A尸的延長線經(jīng)過矩形一邊的中點，AB=2,AO=4,則BE長為

類型三矩形背景下的最值問題

25.如圖，在矩形A8CO中，AD=2AB=4f點E是A。上一點，DE=1,尸是BC上

一動點，P、。分別是所，AE的中點，則PE+PQ的最小值為

26.如圖，在長方形ABC。中，已知AB=6,5C=8,點尸是BC邊上一動點（點尸不與

B,C重合），連接AP,作點8關(guān)于直線的對稱點M,則線段MC的最小值為.

27.如圖，矩形A8C。中，AB=6,AD=8,動點E、尸分別從點A、C同時出發(fā)，

以相同的速度分別沿4。、C8向終點。、B移動,當點E到達點。時，運動停止，過點8

作直線E廠的垂線3P,垂足為點尸，連接CP,則CP長的最小值為

28.如圖，在矩形A8C。中，48=8,BC=\2fE是48的中點，尸是8C邊上一動點,

將ABE/沿著"翻折，使得點B落在點方處，矩形內(nèi)有一動點P,連接尸夕、PC、PD,則

PB'+PC+PD的最小值為

類型四、旋轉(zhuǎn)中的矩形問題

29.如圖，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)?(0°va<90。)，連接EC,a,當。為

。時EC=EO.

30.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的頂點A,C的坐標分別為(2,0),(0,-1),

將矩形4BCO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，點A,C,。的對應(yīng)點分別為A,C。'.當點。落在x軸

的正半軸上時，點。的坐標為.

31.如圖，矩形ABCO中，AB=2fBC=1,將矩形ABC。繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，得

到矩形MCG,連接4E,取AE的中點H,連接。”，則D〃二.

32.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AO8C是矩形，點0(0,0),點A(，u),點8(0,3).以

點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AO5C得到矩形4。￡尸，點0,B,C的對應(yīng)點分別為。，E,

產(chǎn).記K為矩形AO8C對角線的交點，則AKDE的最大面積為一.

三、解答題

33.在一次數(shù)學活動課中，林老師提出問題：“如圖，已知矩形紙片A8CD,如何用折

紙的方法把三等分？”

BC

通過各小組合作討論，奮進組探究出解決此問題的方法為：先對折矩形紙片A8CD,使

AO與8C重合，得到折痕ER然后把紙片展平；再次折疊紙片，使點A落在E尸上的點

N,得到折痕和線段BN,如圖所示.則8M和BN三等分NA3C.

請你對奮進組這種做法的合理性給出證明.

34.材料閱讀

小明偶然發(fā)現(xiàn)線段AB的端點A的坐標為(1,2),端點8的坐標為(3,4),則線段A8中點

的坐標為(2,3),通過進一步的探究發(fā)現(xiàn)在平面直角坐標系中，以任意兩點尸(％,y)、

Q(W，%)為端點的線段中點坐標為(土尹，”團).

(1)知識運用：

如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M,ON、。尸分別在x軸和)，軸上，0為坐標原點，

點七的坐標為(4,3),則點M的坐標為.

(2)能力拓展：

在直角坐標系中，有4-L2),3(3,1),C(1.4)三點，另有一點。與點A、B、C構(gòu)成平

行四邊形的頂點，求點。的坐標.

35.請閱讀下列材料：問題：如圖1,點A,B在直線/的同側(cè)，在直線/上找一點尸

,使得AP+BP的值最小.小軍的思路是：如圖2,作點4關(guān)于直線/的對稱點連

接4出，則A"與直線/的交點尸即為所求.請你參考小軍同學的思路，探究并解決下列問

題：

(1)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)A4,與直線I的交點為C,過點B作BD1Z,垂足為D.若

CP=1,PD=2,AC=1,寫出AP+BP的值為:

(2)如圖3,若4C=1,B/)=2,CD=6,寫出此時AP+BP的最小值；

(3)求出依〃-3尸+1+7(5/W-8)2+9的最小值.

參考答案

1.c

【分析】

由題意可得AO=AC=10,AB=OC=^,DE=CD,B￡=fiC=10,在RfAABE中，由勾股定

理可求得AE=6,0E=4,設(shè)OO=x,則DE=CD=8-x,然后在用△O￡>E中，由勾股定理即可

求得OD=3,繼而求得點。的坐標.

解：丁點B的坐標為（10,8）,

；?AO=BC=lO,AB=OC=S,

由折疊的性質(zhì)，可得：DE=CDfBE=BC=\O,

在冊AABE中，由勾股定理得：AE=qBE，-AB2=7i5^F=6,

：.OE=AO-AE=\0-6=4,

設(shè)。D=x,則DE=CD=8-x,

在RtAODE^.由勾股定理得：OD2+OF2=DF2.

即：x2+42=（8-x）2,

解得：x=3,

，OD=3,

???點。的坐標是（0,3；.

故選：C.

【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)勾股定理求出斜邊A8的長度，再由直角三角形斜邊中線定理，即可得出答案.

解：??48兩點的坐標分別是（8,0）,（0,6）,

/.0A=8,08=6,

JA氏y/o^+OB2=V82+62=10,

???點。為A8的中點，

???OC=9B=；X10=5,

故選：C.

【點撥】

本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線定理，掌握直角三角

形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】

過點P作PE_L4C于點E,根據(jù)/40P的邊OA是一個定值，0A邊上的高PE最大時是

點P分別與點8和點。重合，因此根據(jù)這個規(guī)律可以對各個選項作出判斷.

解：A、過點P作PE_L4C于點E,當點P在A〃和邊上運動時，PE逐漸增大，到

點8時最大，然后又逐漸減小，到點C時為0,而產(chǎn)中，OA為定值，所以y是先

增大后減小，在8點時面積最大，在C點時面積最??；觀察圖②知，當點P與點8重合時，

440P的的面積為3,此時矩形的面積為：4x3=12,故選項A正確；

B、觀察圖②知,當運動路程為7時,y的值為0.此時點P與點。重合.所以有

AB+BC=1,

又AB8G12,解得：AB=3,BC=4,或4B=4,803,但ABvBC,所以A8=3,BC=4,

根據(jù)四邊形A8CO為矩形，所以A￡>=4,故選項B正確；

C、當￥=2.5時，即x<3,點P在邊AB上

由勾股定理，矩形的對角線為5,則04=25所以0A二AP,AAOP是等腰三角形，

但△ABC是三邊分別為3,4,5的直角三角形，故N8AC不可能為60。，從而不是等

邊三角形，故選項C錯誤；

D、當點尸在4B和BC邊上運動時，點P與點8重合時最大面積為3,此時x的值

為3；

當點P在邊CD和OA上運動時，PE逐漸增大，到點。時最大，然后又逐漸減小，

到點A時為0,而尸3。4步七也是先增大再減小，在短點時面積最大，在4點時面積最小；

所以當點P與點。重合時，最大面積為3,此時點P運動的路程為4B+BC+8=10,即戶10,

所以當m3或10時，44OP的面積為3,故選項D正確.

故選：C.

【點撥】本題是動點問題的函數(shù)圖象，考查了函數(shù)的圖象、圖形的面積、矩形的性質(zhì)、

解方程等知識，關(guān)鍵是確定點尸到AC的距離的變化規(guī)律，從而可確定y的變化規(guī)律，同時

善于從函數(shù)圖象中抓住有用的信息，獲得問題的突破口.

4.B

【分析】

先連接A。，取其中點E,連接OE、BE,根據(jù)點。、E為線段AC、AO的中點求出

OE的長，再根據(jù)斜中線定理求出8E的長，當當8、。、E三點在同一條直線上時，值

最大，求出結(jié)果即可.

解：如下圖所示，連接A。，取其中點E,連接BE,

???點。、七為線段AC、八。的中點，

???DE=-OC=\,

2

又：人鳥，入軸于點B,

；?AO=ylAB2+OB2=5

:.BE=-AO=-

22f

當3、。、E三點在同一條直線上時，BO值最大，

此時BD=BE+DE=\+-=~；

22

故選：B.

【點撥】本題主要考查三角形中位線定理、斜中線定理，本題解題的關(guān)鍵是在于找到兩

點之間線段最短.

5.B

【分析】

根據(jù)長方形的性質(zhì)得到NBAE=NOCE,AB=CD,再由對頂角相等可得NAE8;NCED,

推出AAEB四△CEO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論，依此可得A,C,D正確；無法判

斷

NA3E和NC4O是否相等.

解：?.?四邊形人為長方形,

:?NBAE=/DCE,AB=CD,

??,折疊

:.NC=/DCE,CD=8

?.NBAE=/DCE,AB=CD

在△人仍和^C'ED中，

NBAE=NDCE

?ZAEB=ZC'ED,

AB=CfD

AAAEB^ACED(A4S),

:,BE=DE,

.??△￡8。為等腰三角形，

，折疊后得到的圖形是軸對稱圖形，

無法判斷NABE和NCBD是否相等.

故其中正確的是A,C,D.

故選B

【點撥】此題考查圖形的翻折變換，解題關(guān)鍵在于應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于

軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

6.C

【分析】

BM交EF于P,如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得NBNM=/A=9(T,N2=/3,EF〃AD,AE=BE,

則可判斷EP為^BAM的中位線，利用平行線的性質(zhì)得N1=NNBC,根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)

得PN二PB二PM,所以N1=N2,從而得到NNBC=N2=N3,然后利用NNBC+N2+N3=90。

可得到NNBC的度數(shù).

解：BM交EF于P,如圖，

???四邊形ABC。為矩形,

ANA=NABC=90。，

???折疊紙片，使點A落在E尸上，并使折痕經(jīng)過點用得到折痕NM,同時得到線

段8N,

/.ZBNM=ZA=90°,Z2=Z3,

???對折矩形紙片ABCZ),使A。和BC重合，得到折痕E凡

：.EF//AD,AE=BE,

???EP為ABAM的中位線，/1=NNBC,

???P點為3M的中點，

:?PN=PB=PM,

/.Z1=Z2,

???NNBC=N2=N3,

V/NBC+N2+N3=90。，

JZ/VBC=30°.

故選C.

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì).

7.B

【分析】

由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，再由矩形對邊平行得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換及等

角對等邊得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等，由全等三角形對

應(yīng)邊相等得到DE=AE,過D作DF垂直于OE,利用勾股定埋及面積法求出DF與OF的

長，即可確定出D坐標.

解：由折疊得：ZCBO=ZDBO,

??,矩形ABCO,

???BC〃OA,

JZCBO=ZBOA,

/.ZDBO=ZBOA,

.??BE=OE,

在4ODE和^BAE中,

ND=NB4O=90°

NOED=NBEA

OE=BE

AAODE^ABAE(AAS),

AAE=DE,

設(shè)DE=AE=x,則有OE=BE=8—x,

在RSODE中，根據(jù)勾股定理得：42+x2=(8-x)2,

解得：x=3,即OE=5,DE=3,

過D作DF_LOA,

VSAOED=GOD?DE=!OE?DF,

22

.np_12

??DP=~5~

12

*,?點D的縱坐標為，—~-2.4,

故選：B.

【點撥】此題考查了翻折變億(折疊問題)，坐標與圖形變換，以及矩形的性質(zhì)，熟練

掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

8.A

【分析】

利用翻折不變性可得AE==10,推出力E=8,EC=2,設(shè)3尸=稗=x，在RtAEFC

中，X2=22+(6-X)2,可得X=設(shè)DH=GH=y,在RgEGH中，/+42=(8-y)2,可

得y=3,由此即可解決問題.

解：???四邊形A8CD是矩形，

/.ZC=ZD=90°,AB=CD=10,AD=BC=6,

由翻折不變性可知：AB=AE=10,AD=AG=6,BF=EF,DH=HG,

.EG=4,

在Rl△ADE中，OE=JAE?-心=V102-62=8，

/.EC=10-8=2,

設(shè)BF=EF=x,在RtZXEFC中有：x2=22+(6-x)2,

10

:.x=一,

3

設(shè)W/=G〃=y,在中，y2+42=(8-y)2,

，y=3,

:.EH=5,

EH53

???~EF-2，

~3

故選：A.

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.B

【分析】

過點。作。G_LBC于點G,過點尸作尸”JLBC于點H,當。尸_LF”時，。尸取得最小

值，據(jù)此求解即可.

解：過點。作。G_LBC于點G,過點尸作尸H_LBC于點”，如圖：

'；BD=DE,EF=FC,

，BG=GE,EH=HC,

當。尸上尸”時，。尸取得最小值,

此時，四邊形OGH尸為矩形，

DF=GH=-BE+-EC=-BC=2.

222

故選：B.

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學知識解決問題.

10.B

【分析】

根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=；A8="T,CM=^DE=3,由當C、M、N在

同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值.

解：A4BC中，ZC=90°,AC=10,BC=S,

AB=\lAC2+BC-=2>/41，

?.?DE=6,點M、N分別是OE、AB的中點，

:.CN=-AB=yf4\,CM=-DE=3

22t

當C、用、N在同一直線上時，MN取最小值,

一.MN的最小值為：JJT-3，

故選：B.

【點撥】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N

在同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】

首先由=京域形皿”,得出動點尸在與A8平行且與AB的距離是2的直線/上，作A關(guān)

于直線/的對稱點E,連接AE,連接班，則BE的長就是所求的最短距離.然后在直角三

角形可中，由勾股定理求得BE的值，即始+尸8的最小值.

解：設(shè)尸中A8邊上的高是力.

~S矩彬ABCD，

：.-ABh=-ABAD,

23

,-.h=-AD=2

3f

???動點尸在與A8平行且與48的距離是2的直線/上，如圖，作A關(guān)于直線/的對

稱點E,連接AE,連接的，則跖的長就是所求的最短距離.

在RiAABE中，VAB=5AE=2+2=4,

BE=V-Afl2+AE2=752+42=74J，

即P4+m的最小值為百.

故選：C.

【點撥】本題考查了軸對稱一最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理,

兩點之間線段最短的性質(zhì).得出動點尸所在的位置是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE二BE,AB=BN,ZNEB=90°,再根據(jù)含30度的直角三角形

判定定理即可得出NEN8=30。，即可得出NABN=60。；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NA〃M=NN8M=30。，設(shè)AM=X,根據(jù)勾股定理即可求出AM

的值；

③直接根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出；

④根據(jù)NA8M=30。，得出NMBG=N8MA=60。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和等量代換即可

得出ABGM是等邊三角形；

⑤根據(jù)點H是BN的中點即矩形的性質(zhì)得出BH=8E,結(jié)合題意得出PE=P〃，再根據(jù)

三點共線時值最小及勾股定理即可判斷.

解：由折疊可知，AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,

在RtABEN中,

,:BN=AB=2BE,

:?NENB=300,

.../A0V=6O。，故①正確；

由折疊可知，/4BM=/NBM=30。，

設(shè)AM=x,則BM=2x,

f+22=(2x)2,

Vx>0,

解得：X=空,

3

即AM=2’,故②錯誤；

3

VNABG=90。，

???A8_LCG,故③正確；

???NA8M=30。，

:.NMBG=N8M4=60°,

由折疊可知，N8MG=NBM4=60。，

:.NMBG=/BMG=NA/G8=60。，

???△8GM是等邊三角形.故④正確，

連接PE.???點H是BN的中點，

：.BH=BE=\t

'：/MBH=NMBE,

:.E、“關(guān)于6M對稱，

:?PE=PH,

：.PH+PN=PE+PN,

???E、P、N共線時，PH+PN的值最小,

EN=J22-12=V3，故⑤正確,

故選為B.

【點撥】本題考查翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30

度角的判斷、軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于

中考填空題中的壓軸題.

13.D

【分析】

過點B作8G_Lx軸于G,過點。作CH_Ly軸于”，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點C的坐標,

求出NCOE=45。，0C=4&,過點C作CE_Lx軸于E,過點。作C/_Lx軸于凡由旋轉(zhuǎn)得

ZCOC/=75°,求出N&O尸=30。，利用勾股定理求出0凡即可得到答案.

解：過點8作5G_Lx軸于G,過點C作CH_Ly軸于H,

???四邊形A5C。是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,AD//BC,ZCDA=ZDAB=90°,

:./HCD=/ADO=/BAG,

VZCHD=ZBGA=90°f

:?叢CHD^AAGB(AAS),

VA(l,0),0(0,2),5(5,2),

：.CH=AG=5-\=4,DH=BG=2t

：.OH=2+2=4t

：.C(4,4),

：.0E=CE=4,

AZCOE=45°,0040,

如圖，過點C作CE_Lx軸于E,過點。作。尸_Lx軸于F,

由旋轉(zhuǎn)得NCOG=75。，

???ZC/OF=30°,

:?GF彩0C尸g0C=28,

???0F=QOC；-CF=276,

???點G的坐標為（2卡,-2&）,

【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，

熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.A

【分析】

根據(jù)題意畫出繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到的△40斤，連接O。，。。，過O'

作OM_L），軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/。。。=120。,根據(jù)AD=BD=OD=2f得到NAO。度數(shù)，

進而求出/M。。度數(shù)為30。，在直角三角形OM。中求出OM與MD的長，即可確定出。

的坐標.

解：根據(jù)題意畫出AAOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到的△A，O￡,連接O。，OD1,過

。作。A/_L），軸，

???。為斜邊AB的中點，

：.AD=OD=^AB=2,

???N84O=NOQA=30。，

???/MO〃=30。，

在RsOM。中，0。=0。=2,

：.MD'=\,0M=Jorf-MU?=6，

則D的對應(yīng)點。的坐標為（1,-73）,

故選：A.

【點撥】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，30度角

所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)圖形

進行解答是解題的關(guān)鍵.

15.A

【分析】

過點尸作FHYBA交BA的延長線于點H,則NFHA=90。，AAGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

60。得到"ER得/胡0=60。，AF=AD=2f又由四邊形ABCO是矩形，ZBAZ>90°,得到

/胡”=30。，在用44尸”中，F(xiàn)H=；AF=1,由勾股定理得AH=JA尸2_四2=￡,得到

BH=AH+AB=26，再由勾股定理得BF=BH?=1I2+(2廚=樂?

解：如圖，過點尸作用/_LB4交BA的延長線于點”，則N77M=90。，

???LAGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAE/

o

ZMZ)=60,AF=AD=2f

???四邊形ABC。是矩形

???ZBAD=90°

:.ZBAF=ZFAD+ZBAD=\50°

/.ZMH=180°-ZBAF=30°

在R/AA產(chǎn)”中，F(xiàn)H=^AF=\

由勾股定理得

AH=^AF2-FH2=75

在RtABFH中,FH=\,BH=AH+AB=26

由勾股定理得

BFZFH'BH?=#+(2揚2=拒

故8尸的長舊.

故選：A

【點撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股

定理等知識，解決此題的關(guān)鍵在于作出正確的輔助線.

16.B

【分析】

當AD的延長線恰好經(jīng)過點C時，CA^OD,即可求出H的坐標，再求出OA的解析式

即可；

解：當AD的延長線恰好經(jīng)過點CII寸，CA!LOD

過4作￡4'_LOC于E

???0(0,0),40,3)05,0)

OA=3,OC=5

由旋轉(zhuǎn)可得：OAr=OA=3

CA'=yl0C2-OA'2=4

△CM122

1119

Alx3x4=^E4/x5,解得E4'="

???A的坐標為

4

**-04’的解析式為y=

???矩形043。

???。點縱坐標與A一致為3

???。在OA,上

???￡＞點坐標為(*3)

故選:B.

【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，求出A的坐標是解題

的關(guān)鍵.

17.-3

【分析】

先由B4_Lx軸，8C_Ly軸得到四邊形0A8C是矩形，然后由矩形的性質(zhì)可得直線/過矩

形0A8c的中心點，再由點3和點。的坐標求得中心點的坐標，最后將中心點的坐標代入

直線/的解析式求得機的值.

解：???BAJ_x軸，8C_Ly軸，

，四邊形OA8C是矩形，

???直線/將四邊形0A8C分為面積相等的兩部分，

???直線/過矩形0A8C的中心點，

???點5(3,3),點。(0,0),

???矩形OA8C的中心點為3(：，3?)，(中點坐標公式)

22

3333

將中心點(5，］)代入-2/〃得，—m-2m=-,

?,m=-3,

故答案為：-3.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過直

線/平分四邊形048c的面積得到直線/經(jīng)過矩形O4BC的中心點.

18.(0,2.4)##(0,y)

【分析】

過。作OEL4C于根據(jù)矩形的性質(zhì)和B的坐標求出OC=AB=5,OA=BC=\2,

NCOA=90。，求出0。=。七，根據(jù)勾股定理求出OA=AE=12,AC=13,在RiADEC

中，根據(jù)勾股定理得出。E2+EC2=C》，求出。。即可得出答案.

解：過Q作。于旦

???四邊形ABC。是矩形,B(12,5),

0C=AB=5t0A=BC=\2tNCQ4=90。，

???A。平分N04C,

：,OD=DE,

由勾股定理得：QA2=A》-O￡)2,AE2=AD2_DE2f

：,0A=AE=\2,

由勾股定理得：^C=752+122=13，

在放△DEC中，DE^EC^CD2,

即0》+(13-12)2=[5-00)2,

解得：00=2.4,

所以。的坐標為(0,2.4),

故答案為：(0,2.4).

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理得

出關(guān)于0。的方程是解此題的關(guān)鍵.

19.(-3,4)或(8,4)或(3,4)

【分析】

當以。，。，P,。為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，有三種情況，分8=5,

點尸在點。的左側(cè)；OP=OD=5；也＞=8=5,點尸在點。的右側(cè)，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾

股定理可求得點。的坐標.

解：有三種情況：

(1)如答圖①所示，8=5,點尸在點。的左側(cè).

過點P作軸于點E,則PE=4.

在RMPDE中,由勾股定理得：

DE7Pbi-PE?=后-4=3,

：.OE=OD-DE=5-3=2,

???此時點尸坐標為(2,4).此時0(-3,4)：

過點P作尸EJLx軸于點E,則PE=4.

在心中,由勾股定理得：

OE=JOP2-PE2=V52-42=3,

：.OE=OD-DE=5-3=2,

???此時點尸坐標為(3,4),此時。(8,4)；

(3)如答圖③所示，2=8=5,點尸在點。的右側(cè).

過點P作軸于點E,則PE=4.

在R^PDE中,由勾股定理得：

DE=y/OP2-PE2=A/52-42=3?

：.OE=OD+DE=5+3=S,

???此時點尸坐標為(8,4),此時。(3,4)；

y

綜上所述，點。的坐標為（T4）或（8,4）或（3,4）；

故答案為（-3,4）或（8,4）或（3,4）.

【點撥】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)及勾股定理，使用分類討論的

思想是解題關(guān)鍵.

26（知

【分析】

過點E作防，。力，過點尸作F7V_LOC，并延長N/交48延長線于點設(shè)

MF=ON=x,根據(jù)三角形全等得到EM=RV=6—x,則產(chǎn)*,6-箝，求出直線。。解析式，

代入點尸。,6-幻求出”,即可求解.

解：過點E作過點F作RV_LOC,并延長N尸交48延長線于點如下圖：

則NEPO=NFVO=90°,：?NOFN+ZEFM=90。,ZOFN^ZFON=900

???4FON=4EFM

在矩形Q4BC中，AB//OC,OA=BC=&OC=AB=3

???NAf=NRVO=90。

???四邊形8CNM為矩形

:?MN=BC=6,CD//WV,BM=CN

：.AM=ON

,/ZDOE=45°

.?.△EFO為等腰直角三角形，EF=OF

，AFON冬AEFM

:,MF=ON,EM=FN

設(shè)MF=ON=x,MEW=/W=6-x,產(chǎn)(x,6-x)

設(shè)直線。。解析式為y=

2

由題意可知53,2),代入y=依得，3&=2,解得&=§,

2

又??,點F(x,6-x)在直線。0上，???6-x=§x

1QIQ19

解得x=g,即AM=ON=],FN=EM=[

??.AE=AM-EM=-

5

???點E坐標為6，6)

故答案為他,6)

【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，作出合適的輔助線，利用有關(guān)性質(zhì)求解.

21.30。##30度

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD〃8C,根據(jù)平行線性質(zhì)得出/8FE=NOEF,根據(jù)折疊性質(zhì)得

出NOEr=NOE尸=75。即可.

解：.?.四邊形A片為矩形，

：,AD//BC,

:.NBFE=NDEF,

VZBDF=75°,

:.NDEF=750,

■:四邊形EDCF沿E尸折疊得到四邊形EDCF,

JN?EF=/DEF=75。,

NAED'=180。-ND'EF-NDEF=180o-75o-75o=30°.

故答案為：30°.

【點撥】本題考查矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，掌握矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折

疊性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.4或2M

【分析】

△C即是直角三角形時，有兩種情況：當點尸落在矩形內(nèi)部時，利用勾股定理求出AC,

利用折疊性質(zhì)得出44正="=婚，當△囪是直角三角形時，只能得到NE尸C=90。，推

出點A,F,C共線，則CF=AC-AF；當點尸落在矩形的邊上時，印為正方形，利

用勾股定理計算CF.

解：分兩種情況，

（1）當點尸落在矩形內(nèi)部時，如下圖所示，連接AC,

在RlAABC中，AB=6,BC=8,

/.AC=^AB2+BC2=V624-82=10'

???將A4應(yīng):沿AE折疊，使點B落在點尸