2022版新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課后集訓(xùn)

課后限時(shí)集訓(xùn)(二H—)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

建議用時(shí)：40分鐘

1.(2020?南昌模擬)已知函數(shù)=elnx-ax(a￡R).

(1)討論7U)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明：求x)—e'+2exW0.

[解1(V(x)=~?(x>0).

①若。wo,則，a)>o,yu)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②若。>0,則當(dāng)OVxV、時(shí)，f(x)>0,當(dāng)時(shí)，f(x)<0,

故於)在(o,尋上單調(diào)遞%在原+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明：方法一：因?yàn)閤>0,所以只需證“￥)《,一2e,

當(dāng)。=e時(shí)，由(1)知，兀￥)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/U)max=JU)=—已

記g(x)=3—2e(x>0),

,.(X—1)眇

則g。)=-了-,

所以當(dāng)OVxVl時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，gf(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(l)=—C-

綜上，當(dāng)—>0時(shí)，兀c)Wg。),即於)w[-2e,

即xj(x)—ev+2ex0.

方法二：由題意知，即證exInx—ex2—e'+ZexWO,

從而等價(jià)于Inx—x+2^~.

設(shè)函數(shù)g(x)=lnx—R+2,則g'(x)=X~—1.

11

所以當(dāng)x￡(O,l)時(shí)，g(J)>0,當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，g(X)<O,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

從而水X)在(0,+8)上的最大值為以1)=1.

QX--1)

設(shè)函數(shù)/z(x)=最，則力'(x)=-彳一?

所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，h'(J)<0,當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，h'(x)>0,

故力(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

從而〃。)在(0,+8)上的最小值為〃⑴=1.

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)Sh(x),即0(x)—e^+ZexWO.

InxI

2.(2020?贛州模擬)已知函數(shù)y(x)=l——；，g(x)=~;-\---bxf曲線y=/(x)

與曲線y=g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(l,l),且在點(diǎn)A處的切線互相垂直.

(1)求mb的值；

2

(2)證明：當(dāng)時(shí)，ycv)+ga)2j

[ft?i(1)因?yàn)閥u)=i一乎，

Inx-1

所以/a)=—f(D=-I.

Z7AI

因?yàn)間(x)=V6+人；一加,

〃e1

所以g，(x)=-

因?yàn)榍€y=?r)與曲線y=g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(l,l),且在點(diǎn)A處的切線

互相垂直，所以g(l)=l,且f(l>g'(1)=-1,

所以g(l)=a+l—Z?=l,g'(1)=—a—1—Z?=l,解得a=—1,b=-l.

(2)證明：要證段)+g(x)》；，只需證1—1p一盤一；+x20.

令h(x)=1一甲一點(diǎn)一：+總，1),

,//_Inx」__e1.In[J」」

則力⑴=0,h⑴一一f+&r+f+l-/+b+l?

因?yàn)樗?(x尸野+盤+l>0,

AV

所以〃a)在[i,+8)上單調(diào)遞增，所以/i(x)2〃(i)=o,即i—皿“一捺一,+

XvX

xNO,

2

所以當(dāng)人r時(shí)，yw+g。)-,v

3.(2017?全國卷III改編)已知函數(shù)人r)=%—1—Hnx.

(1)若危)20,求。的值;

(2)證明：對于任意正整數(shù)〃，(1+號(1+*)??(1+日〈已

［解1(1求只的定義域?yàn)?0,+8),

①若因?yàn)?(；)=-±+〃ln2V0,所以不滿足題意.

nX—Q

②若。由/知，

>0,a)=i—；人人

當(dāng)x￡(0,〃)時(shí)，f(x)<0;

當(dāng)x^(af+8)時(shí)，f(x)>0;

所以/U)在(0,〃)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增，

故x=a是KE)在(0,+°°)的唯一最小值點(diǎn).

因?yàn)榛?)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)，yu)2o,故。=1.

(2)證明：由⑴知當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，x-l-lnx>0.

令x=l+/,得

z1111

-

+d+<-*一<

從而In\2+■+?=1

In122M2M

故(1+扣+卻?(1+/)ve.

課后限時(shí)集訓(xùn)(二十二)利用導(dǎo)數(shù)研究

不等式恒(能)成立問題

建議用時(shí)：40分鐘

1.設(shè)yU)="+xlnx,^(A)=X3—X2—3.

(1)如果存在X］,"￡。2］使得8(加)一8。2)2“成立，求滿足上述條件的最大

整數(shù)M；

(2)如果對丁任意的s,/eI，2,都有人成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

f解](1)存在xi,X2￡[0,2]使得g(xi)-g(X2)2M成立，等價(jià)于[g(x。-

g(X2)]maxeM.

2

令g'(x)>0得xV?；蜇?gt;丞

2

令g'(x)V0得OVxV],

又工￡[0,2],

2-2

6-2

-一

所以g(x)在區(qū)間3J?單調(diào)遞減，在區(qū)間3J?單調(diào)遞增,

-

85

所以g(X)min=g

27,

又g(0)=-3,g(2)=l,

所以g(X)max=g(2)=l.

H2

故儂為)-g(X2)]max=ga)n:ax-g(X)min=?y2M,

則滿足條件的最大整數(shù)M=4.

⑵對于任意的s,y2,都有加)2g?)成立，等價(jià)于在區(qū)間1,2上,

函數(shù)1X)min2g(X)max,

由(1)可知在區(qū)間5，2上，g(X)的最大值為g(2)=l.

在區(qū)間z,2上，兒￥)=3+3111工21恒成立等價(jià)于。『Inx恒成立.

設(shè)〃(x)=x—finx,h'(A)=1—2xlnx-x,

令機(jī)(x)=xlnx,由機(jī)'(x)=lnx+1>0得

即m(x)=x\nx在惇，+8)上單調(diào)遞增，

可知今(x)在區(qū)間;，2上是減函數(shù)，

又力,(1)=0,所以當(dāng)l<rV2時(shí)，h'(x)<0;

當(dāng);V.iVl時(shí)，hr(A)>0.

即函數(shù)力a)=L，nx在區(qū)間區(qū)1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

所以力(X)max=/?(1)=1,

所以。21,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+8).

2.(2020?煙臺模擬)已知函數(shù)凡r)=px2—(4〃+l)x+21nx,其中p￡R.

(1)當(dāng)〃>0時(shí)?，試求函數(shù)大x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若不等式曲:方川2—(4p+l)x—2q(x—1)?在x￡(L+8)時(shí)恒成立，求

實(shí)數(shù)q的取值范圍.

2

I解I(1)/(x)=2px-(4p+l)+-

(2px-l)(x-2)

=：(x>0,p>0),

當(dāng)即時(shí)，由/(x)>0解得x>2或OVxv/；

當(dāng)/=2即時(shí)，，(Q20在(0,+8)恒成立；

當(dāng)/>2即0VpV(時(shí)，由/(x)>0解得或0VxV2.

綜上，當(dāng)寸，yu)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,/(2,+8)；

當(dāng)〃=；時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.+°°):

當(dāng)()V〃V；時(shí)，犬幻的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),原,+8)

(2)由J{x}Wpx2—(4〃+l)x—2q(x—1)e*,

化簡得：lnx+4a—1)方忘0在(1,+8”寸恒成立，

記g(x)=lnx+g(x—l)e\

當(dāng)q20時(shí)，g(x)在x￡(l,+8)為單調(diào)遞增，g(l)=O,所以g(x)>0,不合

題意；

當(dāng)qVO時(shí)，g'(工)=5+卯看在x￡(l,+8)為單調(diào)遞減，g1(1)=1+g，

若g'(l)=l+gWO,即qW-J時(shí)，g'(x)Vg’⑴，所以g'(x)vo,

所以g(x)在x￡(l,+8)為單調(diào)遞減，所以g(x)Vg(l)=O,所以［經(jīng)一:符合

題意.

若g'(l)=l+qe>0,即夕>一:時(shí)，

C

g'。)=；+/己在x￡(l,+8)為單調(diào)遞減，3xoe(l,+8)使得不￡(1,

xo),gf(x)>0,即g(x)在x￡(l,刈)為單調(diào)遞增，所以ga)>g(l)=O與g(x)WO

矛盾，所以夕>一:，不合題意.

綜上，好(-8,-；］.

3.(2020?龍巖模擬)已知函數(shù)凡r)=(2—§lnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)證明：yu)q(e)；

(2)對任意正實(shí)數(shù)小y,不等式々(2］一?(1。丁一111；0—2%忘0恒成立，求正實(shí)

數(shù)。的最大值.

［解］(1)證明：/(x)=—%nx+(2—/

1.21-xlnj+2e-x

=-In工十一一一=-------------,

exeex

令g(x)=-jdnx+2e—x,

g'(x)=—Inx+(-x)-^—1=-Inx—2,

人

-2f

在(0,e)±,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

在(e?+8)上，g1(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以^(x)max=^(e-2)=-e-2lne~2+2e—e_2=2e_2+2e—e-2=e-2+2e>0,

又因?yàn)閤—O時(shí)，g(x)f0;g(e)=O,

所以在(0,e)±,g(x)>0,f(x)>0,/U)單調(diào)遞增，

在(e,+8)上,g(x)V0,/(x)<0,危)單調(diào)遞減,

所以/U)max=Ae),即

（2）因?yàn)閤,yfa,都大于0,

由^2A-Ainj-lnx）—2x^0兩邊同除以火整理得：

號（2-為in+

a\tx）xf

令）=也＞0）,所以］2（2—；）nf恒成立，

記/?⑺=（2—§ln，，則52〃?）max,

由（1）知力⑺max=g（e）=l,

2

所以,21,即0V〃W2,Qmax=2.

所以正實(shí)數(shù)。的最大值是2.

課后限時(shí)集訓(xùn)（二十三）

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題

建議用時(shí)：40分鐘

1.（2020?石家莊模擬）已知函數(shù),/（x）=2a2inx-/（4＞0）.

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=?x）在點(diǎn)（1,火1））處的切線方程；

⑵求函數(shù)段）的單調(diào)區(qū)間；

⑶討論函數(shù)7U）在區(qū)間（1,e?）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

2

［解］⑴當(dāng)a=l時(shí)，段）=21nx-f,：.f（x）=--2x,：.f（1）=0,

又川）=T,???曲線y=/a）在點(diǎn)（1,負(fù)1））處的切線方程為y+l=0.

,2a12a2—2X1

（22

（2）Vyx）=26［lnx—x,:.f（x）=人——2x=人".

Vx＞（）,〃＞0,??.當(dāng)OVxVa時(shí)，f（x）＞（）;當(dāng)時(shí)，f（x）＜0.

.???r）在（0,4）上單調(diào)遞增，在m,+8）上單調(diào)遞減.

（3）由（2）得?！访罂杉樱?"（21na-1）.

討論函數(shù)./U）的零點(diǎn)情況如下：

①當(dāng)/（21na—l）V0,即OVqV五時(shí)，函數(shù)人。無零點(diǎn)，

???函數(shù)段)在(1,e?)內(nèi)無零點(diǎn).

②當(dāng)a2(21na-l)=0,即。=加時(shí)，函數(shù)凡0在(0,+8)內(nèi)有唯一零點(diǎn)出

而lVa=#〈e2,

???函數(shù)兀0在(1,e?)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)a2(21na—l)>0,即《>加時(shí),

2222424

/1)=—KO,J(a)=a(2lna-l)>0fJ(e)=2alne—e=4tz—e=(2?—

e2)-(2^+e2).

le2

當(dāng)2a-e2V0,即加〈?！床粫r(shí)，欣2)<0,

由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/U)在(1,〃)內(nèi)有唯一零點(diǎn)XI,在3,?2)內(nèi)有唯

一零點(diǎn)X2,

???人工)在(1,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)2。一/20,即心多■時(shí)，犬。2)，0,

由函數(shù)的單調(diào)性可知，人工)在(1,e?)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)0V〃V機(jī)時(shí)，函數(shù)於)在(1,e?)內(nèi)無零點(diǎn)；

2

當(dāng)。=證或■時(shí)，函數(shù)?x)在(1,e?)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

l2

當(dāng)時(shí)e，函數(shù)#x)在(1,e?)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

2.已知函數(shù)J(x+1)2.

(1)若。=€,求函數(shù)“Y)的極值；

⑵若函數(shù)五X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

［解］(1)由題意知，當(dāng)。=e時(shí)，，/(?=心，一1e(x+l)2,函數(shù)人幻的定義域?yàn)?/p>

。，+°0),

f(x)=(x+1)^—e(x+l)=(x+1)(眇-e).

令/'(x)=0,解得x=—1或x=l.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),?x)的變化情況如下表所示：

X(-8,-1)-1(一1』)1(1,+8)

f(X)+0—0+

極大值

極小值

fix)/

-e

e

所以當(dāng)工=-1時(shí)，段)取得極大值一:；當(dāng)X=1時(shí)，段)取得極小值一已

(2)方法一：分類討論法

/(x)=(x+l)e^-a(x+l)=(x+l)(ev-a).

若。=0,易知函數(shù)人1)在(一8,十8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意.

若aVO,當(dāng)％￡(—8,-1)0+,f(x)V0,y(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)不￡(-1,+8)時(shí)，/(x)>0,/U)單調(diào)遞增.

由五一1)=一；<0,且貝l)=e—2〃>0,

當(dāng)人一一8時(shí)，/(人)一+8,

所以函數(shù)火工)在(一8,十8)上有兩個(gè)零點(diǎn).

若InaV-l,即OVaV；,當(dāng)大￡(-8,lna)U(-1,+8)時(shí)，，(x)>0,

V

人幻單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(lna,—1)時(shí)，f(x)<0,4工)單調(diào)遞減.

又y(ln〃)=alnga(ln〃+1)2V0,所以函數(shù)人幻在(一8,十8)上至多有一

個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意.

若ln〃=—1,即〃=1，當(dāng)x￡(-8,+8)時(shí)，/(刈20,大幻單調(diào)遞增，

e

故不符合題意.若lna>—1,即。>不當(dāng)不￡(一8,—l)U(lnat+8)時(shí)，，(x)

>0,7U)單調(diào)遞增；

當(dāng)工￡(-1,Ina)時(shí)，/(x)<0,?r)單調(diào)遞減.

又五一1)=一!V0,所以函數(shù)?x)在(-8,+8)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，故不符

合題意.

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(一8,0).

方法二：數(shù)形結(jié)合法

令人x)=0,即xer—2^(x4-1)2=0,

得xex=￥(x+1)2.

當(dāng)彳=一1時(shí)，方程為一片|=%乂0,顯然不成立,

所以工=-1不是方程的解，即一1不是函數(shù)“X)的零點(diǎn).

當(dāng)xW-l時(shí)，分離參數(shù)得。=消品.

2x9

記g。)=(1+]/千一1),

伽力'。+1>一?+1)2]'?2re'

則g，。)=

(x+l)4

2甘。2+1)

=.+1)3.

當(dāng)xV—1時(shí)，(x)<0.函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)工>一1時(shí)，/(x)>0.函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=O;當(dāng)xf—8時(shí)，g(x)f()；

當(dāng)Xf-1時(shí)，g(x)f-8；當(dāng)+8時(shí)，g(x)f+8.

故函數(shù)g(x)的圖象如圖所示.

作出直線y=a,由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線y=a和

函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)代r)有兩個(gè)零點(diǎn).故

實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,0).

x+1

3.(2019?全國卷II)已知函數(shù)兀r)=lnx—二y

(1)討論兀0的單調(diào)性，并證明yu)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)X0是7U)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo,Inxo)處的切線也是

曲線y=e^的切線.

［解］(1加元)的定義域?yàn)?O/)U(1,+8).

?2

因?yàn)椋?1)=：+/_/2>0,所以X幻在(0,1),(1,+8)單調(diào)遞增.

x\x1)

e"H1e2"I"1e2—3

因?yàn)閄e)=l一二yVO,犬e?)=2—>■=目>0,所以兀外在(1,十8)有

唯一零點(diǎn)xi(eVxiVe2),即人口)=o又ov；Vl,-GM+空

X\\AlzXl1

=0,故,/U)在(0,1)有唯一零點(diǎn);7.

人I

綜上，於)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)?=e」nxo,故點(diǎn)4一Exo,§在曲線上.

由題設(shè)知J(xo)=0,即Inxo=：：；,

連接A3,則直線4B的斜率

11xo+1

京Tnxo京—二71

k"~.

-InXQ-XQxo+1xo'

-7-XO

XO-1

曲線在點(diǎn)式一Inxo,口處切線的斜率是;，曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo,In

\人0/XO

xo)處切線的斜率也是,，所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo,Inxo)處的切線也是曲線y

X0

=方的切線.

課后限時(shí)集訓(xùn)(二十四)任意角、弧度

制及任意角的三角函數(shù)

建議用時(shí)：40分鐘

[A組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

i.(多選)給出下列四個(gè)命題，其中正確的有()

A.一75。角是第四象限角

B.260。角是第三象限角

C.475。角是第二象限角

D.一675。角是第一象限角

ABCD[-75°=-360°+285°,是第四象限角，故A正確;

260°=0-360°+260°,是第三象限角，故B正確；

475°=360°+115°,是第二象限角，故C正確；

-675°=-2X360o+45°,是第一象限角，故D正確.

故選ABCD.]

2.（多選）下列說法錯誤的是（）

A.長度等于半徑的弦所對的圓心角為1弧度

B.若tana20,則（女￡Z）

4

C.若角a的終邊過點(diǎn)P（3Z,42）（ZW0）,則sina=^

7C

D.當(dāng)2EVa<^+2也（攵￡Z）時(shí)，sina<cosa

ABC[對于A,長度等于半徑的弦所對的圓心角為鼻弧度，故A錯誤；對

7T

于若力則匕。<時(shí)（"￡）故錯誤：對于若角的終邊

B,tana0,1<5乙+2,BC,a

4JT

過點(diǎn)P（3匕4@（AW0）,則sina=專,故C錯誤;對于D,當(dāng)2版〈但不+2砥女￡

Z）時(shí)，sina<cosa,故D正確.]

3.己知角a的始邊與r軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角a終邊上的

一點(diǎn)戶到原點(diǎn)的距離為若。=小則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（1,柩B.（啦，1）

C.（卷@D.（1,1）

D[設(shè)尸（x,y）,則sina=^=sin.*.y=1.

xit

又cosa=啦=cosw，???x=l,/.P（1J）.]

3

4.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4,m）t且sin0=5，則相等于（）

A.—3B.3

c?竽D.±3

m3

B回n'=痂G=5'且4°,解得m=31

5.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為（)

A.2B.4

C.6D.8

C[設(shè)扇膨的半徑為R,則;X4XW=2,

：.R=1,弧長/=4,?,?扇形的周長為Z+2R=6.]

6.sin2cos3tan4的值（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

A[Vsin2>0,cos3<0,tan4>0,

sin2-cos3-tan4<0.]

二、填空題

7.若a=1560。，角。與a終邊相同，且一360。V，V360。，則。=.

120。或一240。[因?yàn)?=1560°=4X360°+120°,

所以與。終邊相同的角為360。次+120。，kGZ,

令2=—1或2=0可得0=一240?；?=120°.]

8.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3。-9,〃+2）,且cosaWO,sina>（）,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

（—2,3][由cosaWO,sina>0知，角a的終邊落在第二象限內(nèi)或），軸的非

（3〃一9W0,

負(fù)半軸上,則有1,解得一2Va《3.]

[〃+2>0,

9.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中

《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積lp>

'7二'

弦X矢+矢2）,弧出由圓弧和其所對弦所圍成，公式中K

“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為

y,半徑長為4的弧田（如圖所示），按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為.

4^3+2]由題意可得405=岸。4=4.在RtZXAOO巴易得NAOO=1,

NO4O弋，O￡）=/OA=]X4=2,可得矢=4—2=2.由4￡）=40$靖=4義多=

2^3,可得弦=24。=4小.所以弧田面積=/弦X矢+矢2）=；X（44X2+2?）=

45+2.］

三、解答題

10.若角0的終邊過點(diǎn)尸(一4?3。)3/0).

(1)求sinJ+cos0的值；

(2)試判斷cos(sin0-sin(cos/的符號.

［解］⑴因?yàn)榻?。的終邊過點(diǎn)P(—4。,3。)(。#0),

所以x=-4a,y=3atr=5|a|,

當(dāng)。>0時(shí)，r=5afsin6+cos。=-

當(dāng)4Vo時(shí)，r=—5afsin9+cos

⑵當(dāng)時(shí)，sin8=,￡(0,z),

4(兀、

COS0=—-2，01,

3/4、

則cos(sin0-sin(cos^)=cosT-sinl-^l<0;

當(dāng)aVO時(shí)，sin<9=—|ef—0),

cos。=彳￡

4

3-

cos(sin0-sin(cos^)=cos5

綜上，當(dāng)a>OBt,cos(sin^)-sin(cos。)的符號為負(fù);當(dāng)々VO時(shí),cos(sin0-sin(cos

0)的符號為正.

11.已知sin。VO,tana>0.

(1)求角a的集合；

(2)求與終邊所在的象限；

(3)試判斷tan/sin^cos楙的符號.

［解］(1)因?yàn)閟inaVO且tana>0,所以a是第三象限角，故角a的集合為

■a2E+7tVaV2E+竽，kGZ(.

(2)由(1)知2E+TTVGV2E+爹，kGZ,

故E+Sv3VE+務(wù)kGZ,

L4?

?

當(dāng)火=2〃(〃￡Z)時(shí)，2〃兀+'v?V2〃7t+學(xué)〃WZ,即卷是第二象限角.

當(dāng)左=2〃+l(〃￡Z)時(shí)，2〃兀+言<3V2〃兀+1兀，〃￡Z,畔是第四象限角，

綜上，5的終邊在第二或第四象限.

⑶當(dāng)強(qiáng)第二象限角時(shí)，

a/c.2、Ca

tan1V0,sin]>0,cos1V0,

aaa

故tan/sin1cos]>0,

當(dāng)林第四象限角時(shí)，tan*0,sin^<0,cos^>0,

a.aQ、八

故tan^sin2cos^>0,

綜上，tan^sin^cos5取正號.

[B組綜合運(yùn)用練]

1.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),射線OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2010。后與圓f+)2=4相交于

點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()

A.(一巾,^2)B.(一小，1)

C.(―1,小)D.(1,一黃)

B[由題意可知。(285(—2010。)，2sin(-2010°)),

因?yàn)橐?010°=-360°X6+150°,

所以cos(—20100)=cos150°=-^-,

sin(-2010°)=sin150°=1.

所以Q（一小，1）,故選B.]

2.（多選）下列命題中正確的是（）

A.若角。的終邊上有一點(diǎn)P（0,-3）,則角a不是象限角

B.警和1711c均是第.象限角

C.若某扇形的面積為2.5cn?,半徑為「cm,弧長滿足2r+/=7cm,則扇

形的圓心角的弧度數(shù)是力4

D.若彌（0,兀），且角。與角加的終邊相同，則e的值是1或爭

AD[對于A,因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，所以角a的終邊在y軸負(fù)半軸上，所以

角a不是象限角，故A正確.

對于B,等=22兀+茬因?yàn)樘枮榈谝幌笙藿?，所以華為第一象限角，

由于1711。=4><360。+2710,且271。不是第一象限角，所以1711。不是第一象

限角，故B錯誤.

7+2r=7,

r=l,

對于C,因?yàn)椤?解得，或1股以圓心角的弧度數(shù)

/=2.5,1/=5,

/4.

為；=5或5,故C錯誤.

對于D,因?yàn)榻?。與角78的終邊相同，所以79=9+2E,&6Z,所以夕=￡,

kGZ,所以0V號V%gL,所以2=1,2,所以。=鼻或空，故D正確，故選

AD.]

課后限時(shí)集訓(xùn)（二十五）同角三角函數(shù)

的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

建議用時(shí)：40分鐘

[A組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

1.（多選）（202。濰坊月考）下列化簡正確的是（）

A.tan（7c+l）=tan1

sin(—a)

B.■~,r=cosa

tanZ(O36A0O°-a)

一sin(n—a)

C.7i7=tan<x

cos(兀+a)

cos(?！猘)tan(一兀—a)

Dsin(2n-a)]

AB[由誘導(dǎo)公式可得tan（兀+l）=tan1,故A正確;

sin(-a)—sina,4

~一萬---；=—；---=cosa,故B正確;

tan(360—a)-tana

sin(H-?)sina以「71造

.——tana,故C不正確;

cos(z兀十a(chǎn))—cosa

cos(兀—a)tan(一花—a)-cosa(—tana)

1,故D不正確.

sin(27t—a)—sina

故選AB.]

2.cos佶一。）=/則sin借+。）等于（

)

2^2

3

2^2

,3

3.（多選）定義：角。與g都是任意角,若滿足外3號則稱。與夕“廣義

互余”.己知sin（7r+a）=一；,下列角夕中，可能與角a“廣義互余”的是（

)

A.sin/?=B?cos（7t+0=（

C.tan^=y[15D.tan

ACfVsin(n4-a)=_sina=~

ITl71

Asina=4,若"+￡=],則夕=/—a

A中，sin/?=sinQ—aj=cosa=±^—,故A符合條件;

B中，COS(TT+夕)=—cos修—a)=-sinQ=—/故B不符合條件;

C中，tanS=^/T^,即sin￡=^T^COS￡,又sin2￡+cos2￡=l,故sin￡=±^^,

故C符合條件；

D中，tan即sin3cos又sin2^+cos2^=1,故sin夕=±^

故D不符合條件.故選AC.]

4.若tana=^,則sin%—cos%的值為()

1

A.5B.5

3

D.

C55

,?22

14Asin-a-cosza

4929929

D[Vtan?=2,**?sina_cosa=(sina+cos-a)-(sina—cos-?)—cos2asjn2ft

tan2。一13

予故選D.]

1+tan2cc

5.(2020?湖南雅禮中學(xué)模擬)若sina+cosa=1(0<?<TC),則3sina—cosa

=()

A.0B.1

C.-1D.3

DfVsin?+cosa=1,

(sina+cosa)2=1+2sinacosa=1,

/.2sinacosa=0.

V0<a<7t,

Acosa=0,sina=1,

.*.3sina—cosa=3,故選D.]

6.(2020.九江二模)已知];黑Q=2,則tana=()

4B.I

A?-3

4

C.1D.2

A［由—na=2得sina=2+2cosa,

1十cosa

兩邊平方得sin2a=44-8cosa+4cos2a,

即1—cos2a=4+8cosa+4cos%,

整理得5cos2Q+8cosa+3=0,

3

-

解得cos5cosa=-1(舍去),

4

sina-

3

二、填空題

5

7.在△ABC中，若lan4=半，貝iJsinA=.

［因?yàn)閠anA=^>0,所以A為銳角，

由tanA=sin'=#以及sin2A+cos2A=1,

cosA3

可求得sinA=±.]

8.己知角a終邊上一點(diǎn)尸(-4,3),則

cos停+a)sin(一兀—a)

3日》(—sina)sina

~71■原式=7?\=tana,

4(-sina)cosa

3

根據(jù)三角函數(shù)的定義得tana=-7]

9.若7U)=sin(1r+a)+l,且人2020)=2,則42021)=

1［由題意知，fi2020)=sin(l01(hc+a)+1=sina+1=2,

.\sina=1,Vsin2a+cos2a=1,cosa=0,

?021)=sinf1010兀+：+aJ+1=sin性+aj+1=cosa+1=1.]

三、解答題

10.已知sin(3兀+a)=2sin(竽+a),求下列各式的值：

sina—4cos。

⑴5sina+2cosa

(2)sin2a+sin2a.

[解]由已知得sina=2cosa.

2cosa—4cosa]_

⑴，'"5X2cosa+2cosa6,

sin2a+2sinacosa

(2)原式=si/a+cos2a

sin2a+sin2a8

11.己知。為第三象限角,

+Gl-tan(7i—a)

tan(-a-7r)-sin(-a—K)

(1)化簡處z);

(2)若cos(a—苧)=/，求/(a)的值.

(TI\(3n,1

sinla-)'cosl_2-'aJ-tan(7C—a)

陶(次：

J'1a，)=—t—an7(---a----7-c)r-sri-n-(---a--—---y-e)-----

(—cosa)sina?(一tana)

cosa.

(—tana)-sina

=|,所以

(2)因?yàn)閏os_sina=/

從而sina=-1.

2\l6

又a為第三象限角，所以cosa=一7]—sin2a-,所以7(a)=-cosa

2旗

5.

[B組綜合運(yùn)用練]

1.已知sin〃=W，cos0=一言,若0是第二象限角,則tan0的值為（）

A.-B.2

34

C.43

C[由si/O+cosZOf得信02+卜^^}=1,

整理得〃-44=0,解得a=0或a=4.

又。是第二象限角，???a=4.

3

-4

5

5f

3

=-

-4,故選C.]

1

若3小，WJsinacosa=()

2.sinacosa

1

A.B.w

3

C.D.

[由丘1

A小將sina+cosct=，§sinacosa.

cosa

兩邊平方得1+2sinacosa=3sin2acos2a,

解得sinacosa=一(或sinacosa=1,

由題意知一1VsinaVl,-1<cosa<1,且sinaWO,cosaWO,

所以sinacosa#1,故選A.]

3.已知關(guān)于x的方程Zr2—（小+l）x+〃z=O的兩根為sin。和cosa且。￡

(0,2n).

sin26>cos0

⑴求應(yīng)的值;

ncos01-tan0

⑵求〃，的值；

⑶求方程的兩根及此時(shí)。的值.

［解］(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知

sine+cosi，①

sin0?cos9=7,②

sii?。cos0sii?。cos2^

而

sin0-cos01—tan0sin夕一cos0cos夕一sin0

=sin^+cos^=^

(2)由①兩邊平方，得1+2sinOcos。=2彳",將②代入，得加=乎.

,原方程變?yōu)?^—(1+仍求+乎=0,解得川=孝，X2=1,

(3)當(dāng)m=

sin0=y

sin0=2，

則或4

cos9=坐

cos

,:0￡(0,2TC),9=W或^=7.

［C組思維拓展練］

1.如圖，角。和角”的終邊垂直，且角a與單位圓的交

點(diǎn)坐標(biāo)為，|,一號，貝ijsin￡=()

3

-

A.-5

3

B［由任意角的三角函數(shù)的定義可知cosa=5,

所以sin4=sin(a+］)=cosa=1,故選B.］

2.是否存在?！辏ǜ?，￡￡（0,兀）,使等式sin（3兀-a）=讓cos（；一夕），.

cos（—a）=—，5cosm+為同時(shí)成立？若存在，求出a,4的值；若不存在，請說

明理由.

[ft?]假設(shè)存在角a,4滿足條件.

由已知條件可得

sina=y[2sin①

小cosa=yf2cos②

由①?+②2,得sin2?+3cos2a=2.

/.sin2a=^,Asina=±^.

VaC^—5.??a=；

當(dāng)a=:時(shí)，由②式知cos￡=坐，

jr

又少￡（0,n）,:?B=%,此時(shí)①式成立；

當(dāng)a=一彳時(shí)，由②式知cos4=坐，

又少￡（0,兀），：?￡=*此時(shí)①式不成立，故舍去.

?，.存在a=j,滿足條■件.

課后限時(shí)集訓(xùn)（二十六）兩角和與差的

正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

建議用時(shí)：40分鐘

[A組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

i.（多選）下列選項(xiàng)中，值為:的是（）

「.兀.5九

A.cos72°cos36°B.sin五sin五

12

ca--

V33-3

2sin360cos360cos7202sin720cos72°

[對于A,cos36°cos72°=

2sin36°4sin36°

s