計(jì)量地理學(xué)電子教案

計(jì)量地理學(xué)電子教案3-7第七節(jié)馬爾可夫預(yù)測方法對事件的全面預(yù)測，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率，說明被預(yù)測的事件在預(yù)測期內(nèi)出現(xiàn)每一種結(jié)果的可能性程度。這就是對于事件發(fā)生的概率預(yù)測。馬爾可夫(Markov)預(yù)測法，就是一種預(yù)測事件發(fā)生概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個時刻(或時期)變動狀況的一種預(yù)測方法。馬爾可夫預(yù)測法是對地理事件進(jìn)行預(yù)測的基本方法，它是地理預(yù)測中常用的重要方法之一。一、幾個基本概念為了討論馬爾可夫預(yù)測方法在地理學(xué)中的應(yīng)用，下面介紹幾個基本概念。1．狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程與馬爾可夫過程。簡介如下：(1)狀態(tài)。在馬爾可夫預(yù)測中，“狀態(tài)”是一個重要的術(shù)語。所謂狀態(tài)，就是指某一事件在某一時刻（或時期）出現(xiàn)的某種結(jié)果。一般而言，隨著研究的事件及其預(yù)測的目標(biāo)不同，狀態(tài)可以有不同的劃分方式。例如：在商品銷售預(yù)測中，三種狀態(tài)；在農(nóng)業(yè)收成預(yù)測中，三種狀態(tài)；在人口構(gòu)成預(yù)測中，等狀態(tài)；在經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平預(yù)測中，在天氣變化預(yù)測中，等狀態(tài)。(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。譬如，天氣變化從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁?，從“陰天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁?，從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁?，從“陰天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁钡榷际菭顟B(tài)轉(zhuǎn)移。（3）馬爾可夫過程。在事件發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)轉(zhuǎn)移都可以僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是后無效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾可夫過程。許多地理事件發(fā)展過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移是具有后無效性的，對于這樣一些事件發(fā)展過程就可以用馬爾可夫過程來描述。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)條件概率的定義，由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率p(Ei→Ej)就是條件概率p(Ej／Ei)，即p(Ei→Ej)=p(Ej/Ei)=pij(3.6.(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。假定某一個事件的發(fā)展過程有n個可能的狀態(tài)，即E1,E2,…，En。記pij為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，則矩陣(3.6.2)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。如果某一事件目前處于狀態(tài)Ei，那么在下一個時刻，它可能由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)向E1,E2,…,En中的任何一個狀態(tài)。所以pij滿足條件：(3.6.3)E1E2…EnE1E2…EnP11p12…p1nP21p22p2n…pn1pn2pnn也就是說，可能性有多種，但結(jié)果只有一個，即不能同時轉(zhuǎn)移到兩個狀態(tài)上去。一般地，將滿足條件式(3.6.3)的任何矩陣都稱為隨機(jī)矩陣，或概率矩陣。不難證明，如果P為概率矩陣，則對于任何整數(shù)m>0，矩陣pm都是概率矩陣。如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m>0，使得概率矩陣Pm中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在非零向量α=[x1,x2,…,xn]，而且xi滿足：,使得αP=α(3.6.這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。這就是說，標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣一定存在平衡向量。(3)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算。計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是求從每個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他任何一個狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pij（i，j=1，2，……，n）。為了求出每一個Pij，一般采用頻率近似概率的思想進(jìn)行計(jì)算。存在平衡向量，列向量或行向量。如這里的矩陣不是對稱的，即從E1→E2的概率p12不等于E2→E1的概率p21.例1：考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“歉收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“歉收”狀態(tài)。表3.6.1給出了該地區(qū)1960—1999年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。試計(jì)算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。E1E2E3E1E2E3∑E1E2E3P11p12p13P21p22p23P31p32p33375724352151311表3.6.1某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化年份1960196119621963196419651966196719681969序號12345678910狀態(tài)E1E1E2E3E2E1E3E2E1E2年份1970197119721973197419751976197719781979序號11121314151617181920狀態(tài)E3E1E2E3E1E2E1E3E3E1年份1980198119821983198419851986198719881989序號21222324252627282930狀態(tài)E3E3E2E1E1E3E2E2E1E2年份1990199119921993199419951996199719981999序號31323334353637383940狀態(tài)E1E3E2E1E1E2E2E3E1E2解：從表3.6.1中可以知道．在15個從E1出發(fā)(轉(zhuǎn)移出去)的狀態(tài)中，有3個是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35），有7個是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40），有5個是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25E1E2E3E1E2E3∑E1E2E3P11p12p13P21p22p23P31p32p33375724352151311按照上述同樣的辦法計(jì)算可以得到P11=p(E1→E1)=p(E1／E1)=3/15=0.2P12=p(E1→E2=p(E2／E1)=7/15=0.4667p13=p(E1→E3)=p(E3|E1)==0.3333P21=p(E2→E1)=p(E1／E2)=7/13=0.5385P22=p(E2→E2)=p(E2／E2)=2/13=0.1538P23=p(E2→E3)=p(E3／E2)=4/13=0.3077P31=p(E3→E1)=p(E1／E3)=4/11=0.3636P32=p(E3→E2)=p(E2／E3)=511=0.4545P33=p(E3→E3)=p(E3／E3)=2/11=0.1818所以，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為（3.6.5）例2：在線段[1，5]上有一個結(jié)點(diǎn)，假設(shè)它只能停留在1，2，3，4，5幾個點(diǎn)上，并且只能在1秒，2秒，……，等時刻發(fā)生隨機(jī)轉(zhuǎn)移。轉(zhuǎn)移規(guī)則是：在移動前，它處在2，3，4幾個點(diǎn)上，分別以1/3的概率向左右移動一格，或停留在原點(diǎn)處；移動前處在1點(diǎn)上，那末就以概率1移動到2點(diǎn)上；移動前它在5點(diǎn)上，就以概率1移動到4點(diǎn)上。如果X(t)=i表示結(jié)點(diǎn)在時刻t(t=1，2，…)位于i點(diǎn)上（i=1，2，…，5），則X(t)為馬爾科夫過程，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為：2．馬爾可夫預(yù)測法(1)狀態(tài)概率πj(k)。為了運(yùn)用馬爾可夫預(yù)測法對事件發(fā)展過程中狀態(tài)出現(xiàn)的概率進(jìn)行預(yù)測，還需要再介紹一個名詞：狀態(tài)概率πj(k)。表示事件在初始（k=0）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻（時期）處于狀態(tài)Ej的概率。根據(jù)概率的性質(zhì)，顯然有：(3.6.6)也就是說在第k個時刻，事件肯定會在n個可能狀態(tài)的某一狀態(tài)上。從初始狀態(tài)開始，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ej，這一狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，可以看作是首先經(jīng)過(k-1)次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ei(i=1，2，…，n)，然后再由Ei經(jīng)過一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej。根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有：πj(k)=(j=1，2，…，n)(3.6.7)若記向量π(k)=[π1(k)，π2(k)，…,πn(k)]，則由公式（3.6.7）可以得到逐次狀態(tài)概率的遞推公式。(3.6其中，π(0)=[π1(0)，π2(0)，…,πn(0)]為初始狀態(tài)概率向量。(2)第k個時刻(時期)的狀態(tài)概率預(yù)測。由上述討論可知，如果某一事件在第0個時刻(或時期)的初始狀態(tài)已知，即π(0)已知，則利用遞推公式(3.6.8)，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻(時期)處于各種可能狀態(tài)的概率，即π(k)，從而就得到該事件在第k個時刻(時期)的狀態(tài)概率預(yù)測。在例1中，如果將1999年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為π(0)=[0，1，0](因?yàn)?999年處于“平收”狀態(tài))，那么，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣公式(3.6.5)及π(0)代入遞推公式(3.6.8)，就可以求得20002000π(1)=π(0)﹒P=[π1(0)，π2(0)，π3(0)]﹒P=［0,1，0］﹒ =［0.5385，0.1583，0.3077］2001π(2)=π(1)﹒P=π(0)﹒P2=［0.5385，0.1583，0.3077］=［0.3024，0.41490.2837］2002π(3)=π(2)﹒P=π(0)﹒P3=［0.3867，0.3334，0.2799］以后年份可類推計(jì)算，如下表。表2.某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的概率預(yù)測年份E1E2E320000.53850.15820.307720010.30240.41480.283720020.38670.33340.279920030.35870.35890.279920040.36770.35090.279920050.36470.35320.279920060.36560.35240.279920070.36530.35260.279920080.36530.35250.279920090.36530.35250.279920100.36530.35250.2799(3)終極狀態(tài)概率預(yù)測。經(jīng)過無窮多次轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率，稱為終極狀態(tài)概率，或稱平衡狀態(tài)概率。如果記終極狀態(tài)概率向量為π=[π1，π2，…,πn]，則πi=(i=1，2，…，n)(3.6.9)即π=[，，…，]（3.6.10）按照極限的定義可知（3.6.11）將公式（3.6.11）代入馬爾可夫預(yù)測模型的遞推公式（3.6.8）得即π=πP (3.6.12)終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件：=1\*GB3①π=πP即p=1=2\*GB3②（i=1,2,…,n）；=3\*GB3③以上條件=2\*GB3②與=3\*GB3③是狀態(tài)轉(zhuǎn)移的要求，其中，條件=2\*GB3②表示，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，事件必處在n個狀態(tài)中的任何一個；條件=1\*GB3①就是用于計(jì)算終極狀態(tài)概率的公式。用終極狀態(tài)概率可以預(yù)測馬爾可夫過程在遙遠(yuǎn)的未來會出現(xiàn)什么趨勢的重要信息。在例1中，設(shè)終極狀態(tài)的狀態(tài)概率為:π=[π1，π2，π3],則:[π1，π2，π3]=[π1，π2，π3]即(3.6.13)求解方程組式（3.6.13）得：π1=0.3653，π2=0.3525，π3=0.2799