2022年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊 第3章 函數(shù) 全章教學(xué)案

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.1函數(shù)及其表示方法

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.能用集合語彳。對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)?建★水平一

立完整的函數(shù)概念,體會集合語占與對1.能從教材實例中抽象出函數(shù)的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解2.能從教材實例中了解構(gòu)成函數(shù)的要素.（數(shù)學(xué)抽象）

構(gòu)成函數(shù)的要索?能求一些簡單函數(shù)的3.能結(jié)合教材實例掌握求函數(shù)定義域的方法.（數(shù)學(xué)運算）

定義域.1.能從教材實例中獷納出同一函數(shù)的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

2.在實際情境中.會根據(jù)不同的需要選擇5.能結(jié)合教材實例收納出求簡單函數(shù)值域的方法.（數(shù)學(xué)運算）

恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列去法、解析★水平二

法）表示函數(shù)?理解函數(shù)圖像的作用.1.理解函數(shù)的概念、函數(shù)的一:要斐?會求函數(shù)的定義域.（數(shù)學(xué)運算）

3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù).2.能判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)?會求簡單函數(shù)的值域.（數(shù)學(xué)運算）

并能簡單應(yīng)川.3.會解決可分段函數(shù)有關(guān)的問題.（數(shù)學(xué)運算）

第1課時函數(shù)的概念

住基礎(chǔ)認知-自主學(xué)習(xí)8

1.什么叫做函數(shù)？函數(shù)的三要素是什么？

導(dǎo)思

2.怎樣求函數(shù)的定義域？

函數(shù)的概念

⑴定義：給定兩個非空實數(shù)集A與B,以及對應(yīng)關(guān)系f,如果對于集合

A中的每一個實數(shù)x,在集合B中都有唯二確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則

稱f為定義在集合A上的一個函數(shù).

（2）記法:y=f（x）,xGA.

⑶定義：

自變量因變量定義域值域

XyA{yGB|y=f(x),xEA}

⑷本質(zhì)：函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)，要檢驗給定的兩個變量之間是否具

有函數(shù)關(guān)系，只需檢驗：

①定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；

②根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量X在其定義域中的每一個值，是否都

有唯一確定的函數(shù)值y與之對應(yīng).

(5)構(gòu)成：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的三要素.

①定義域：函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實數(shù)x的

集合.在實際問題中，還必須考慮自變量x所代表的具體量的允許值

范圍.

②對應(yīng)關(guān)系:對應(yīng)關(guān)系f是對自變量x進行〃操作〃的〃程序〃或者〃方法〃,

是連接x與y的紐帶.

一周考

Ly=f(x)表示的是等于f與x的乘積〃嗎？

提示：符號y=f(x)是"y是x的函數(shù)〃的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，

它是關(guān)系所施加的對象.

2.f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x=a時，函數(shù)f(x)的值,是

一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)

是f(x)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)=3x+4,當(dāng)x=8時，f⑻=3x8

+4=28是一個常數(shù).

基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對的打"V",錯的打"x〃).

⑴任何兩個集合都可以建立函數(shù)關(guān)系.(x)

提示：集合A,B應(yīng)為非空數(shù)集.

⑵集合A中的兩個實數(shù)x可以對應(yīng)集合B中的一個實數(shù)y.(V)

提示：符合函數(shù)的定義.

⑶函數(shù)的值域即為集合B.(x)

提示：值域是集合B的子集.

2.函數(shù)f(x)=十二丁的定義域為()

AX

A.{x|x>—3}B.{x|x>—3}

C.{x|x2—3且XHI}D.{x|x>—3且xxl}

x+，

【解析】選C要使函數(shù)f(x)=tz丁有意義，

x+3>0

則J，解得3且XX1,

X—1^0

、/x~I-3

所以函數(shù)f(x)="_的定義域為{x|xN—3且XH1}.

XJL

1

3.(教材例題改編)若f(x)=m^,則可3)=.

1

1-

【解析】f(3)=K8

答案：一程

c能力形成-合作探究卬

類型一函數(shù)關(guān)系的判斷(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)

題組訓(xùn)練

1.(2021.寧波高一檢測)下列各圖中，可表示函數(shù)y=f(x)圖像的是()

【解析】選D.根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個x值對應(yīng)唯一

的y值，則只有D滿足條件.

2.已知函數(shù)y=/(x)的值域為{4,16},解析式為/(x)=、2,這樣的函

數(shù)的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.9

【解析】選D.函數(shù)的值域為{4,16},即、2=4,X2=16,解得X=±2,X

=±4,故當(dāng)定義域分別為{2,4},{—2,4},{2,-4}，{-2,—4},

{2,-2,4},{2,-2,-4},{2,4,—4},{—2,4,-4},

{2,-2,4,-4},都滿足題意，所以這樣的函數(shù)的個數(shù)為9.

3.在下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系中，能確定V是x的函數(shù)的是

（）

①A={x|xWZ},S={y|yGZ},/為〃除以3"；

（2）A={X\X>09xeR},B={y|yGR},/為〃求3x的平方根〃；

（3）4=R,8=R,/為〃求平方〃；

@A={x\~l<x<l,xER},B={0},/為〃乘以0〃.

A.①④B.②③④C.②③D.③④

【解析】選D.①在對應(yīng)關(guān)系/下，R中不能被3整除的數(shù)在B中沒有

唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；②在對應(yīng)關(guān)系

/下，A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；

③④符合函數(shù)的定義.

解題策略

1.判斷一個對應(yīng)是否是函數(shù)的方法

2.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的步驟

⑴任取一條垂直于x軸的直線/.

（2）在定義域內(nèi)平行移動直線/.

⑶若/與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或

有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).

【補償訓(xùn)練】

已知集合4={1,2,3,4},8={5,6,7）,在下列，到8的四種對應(yīng)

關(guān)系中，存在函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.根據(jù)函數(shù)的定義可知,集合人中每一個實數(shù)在B中都有

唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，其中①③均滿足函數(shù)的定義.

類型二求函數(shù)的定義域（邏輯推理、數(shù)學(xué)運算）

【典例】求下列函數(shù)的定義域:

,3

(W)=2+—T.

7\4

(2)/(x)=(x—.

(3)/(X)=、3—X-\jx-l.

(x+1)2I------

(4)/(x)=~——yjl-x?

【思路導(dǎo)引】要求定義域瑞使函數(shù)有意義也立不筆式（組）=解不等式

（組）若出函數(shù)定義域.

【解析】⑴當(dāng)且僅當(dāng)X—2工0,即XH2時，

3

函數(shù)/（X）=2+￡7^有意義，

所以這個函數(shù)的定義域為{X|XM2}.

x-1^0,

2

(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)(不^0,

、X+1H0,

解得X>—1且XH1,

所以這個函數(shù)的定義域為{X|X>—1且XH1}.

[3—x>0,

⑶函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)1解得l<x<3,

[x—1>0,

所以這個函數(shù)的定義域為僅|1眾43}.

⑷要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足

xII/O,

解得XVI且XH—1,

(l-x>0,

即函數(shù)定義域為{x|xU且片一1}.

解題策略

求函數(shù)定義域的常用方法

(1)若/(X)是分式，則應(yīng)考慮分母不為零.

(2)若/(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.

⑶若/(x)是指數(shù)哥，則函數(shù)的定義域是使某運算有意義的實數(shù)集合.

⑷若/(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交

集.

⑸若/(X)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義.

跟蹤訓(xùn)練

(2021?懷仁高一檢測)求下列函數(shù)的定義域：

\/x2-3x—4

;

(l)fW=|x+1|_2

(2)/(x)=(2x+l)°-

x2—3x-4>0

【解析】(1)要使函數(shù)有意義，只需?,一、八，

l|x+l|一2=0

解得x<-l或x>4且XH—3,

所以定義域為{x|x?—1或xN4且xw-3}.

l>0

⑵要使函數(shù)有意義，只需jx+1,

[2X+1H0

-1<X<0

1

解得彳10—1<XV0且xx—3,

XLQZ

,1

所以定義域為jx—1<X40且xw一3.

題型比比看

⑴已知函數(shù)/(x)的定義域為[—1,5],則函數(shù)/(X—5)的定義域為

⑵已知函數(shù)/(x—5)的定義域為[—1,5],則函數(shù)/(x)的定義域為

【解析】⑴已知函數(shù)/(x)的定義域為[—1,5],則由一1次一5W5,得

4<x<10,即函數(shù)/(x-5)的定義域為[4,10].

⑵已知函數(shù)/(x-5)的定義域是[-1,5],

則一1取45,則一6取一540,

即函數(shù)/(x)的定義域為[-6,0].

答案：⑴[4,10](2)[-6,0]

【點撥】從本題上看：

兩題的區(qū)別在于題設(shè)中自變量的取值范圍.

①題中自變量雖是X,但其范圍應(yīng)由一1女一545求得；

②題中的題設(shè)條件x的取值范圍相當(dāng)于已知函數(shù)中X—5的取值范圍.

【拓展延伸】

抽象函數(shù)定義域的求法

⑴若已知函數(shù)/(x)的定義域為句，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由不

等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為回句，則f(x)的定義域為g(x)在

b］上的值域.

【拓展訓(xùn)練】

函數(shù)y=/(x+l)的定義域是［―2,3］,求y=/(2x—1)的定義域.

【解析】因為函數(shù)y=/(x+l)的定義域是［-2,3］,所以一2次43,~l<x

+1<4,所以f(x)的定義域是［一1,4］.再由一得0次《|.

所以/(2x-l)的定義域是0,1.

類型三函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)

角度1對應(yīng)關(guān)系的選取

【典例】已知4={x|O女49},8={y|0<y<3},下列對應(yīng)關(guān)系不表示定義

在4上的函數(shù)的是()

11

A./為〃乘5〃B./為“乘§〃

1

-

4D./為“求算術(shù)平方根〃

【思路導(dǎo)引】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.

1

【解析】選A.對于對應(yīng)/:〃乘5〃，x=9^A時，y=4.5由，所以此對

應(yīng)關(guān)系不是定義在集合4上的函數(shù)，B,C,D均是定義在集合A上的

函數(shù).

一題多變

本例中，若/為〃求平方根〃，則/是否是定義在集合4上的函數(shù)？

【解析】因為任何一個正數(shù)都有兩個平方根，故集合4中的任何一個

正數(shù)都對應(yīng)兩個實數(shù)，不符合函數(shù)的定義，故/不是定義在集合A上

的函數(shù).

利用對應(yīng)關(guān)系求值

【典例】已知/為"平方加1〃是定義在集合4上的函數(shù)，那

么值域中的元素5在集合A中對應(yīng)的元素是（）

A.26B.2

C.-2D.±2

【思路導(dǎo)引】設(shè)對應(yīng)的元素為x,列方程求值.

【解析】選D.因為/為〃平方加1〃，設(shè)集合人中對應(yīng)的元素為X,由5

=x2+l,得乂=±2,

所以值域中元素5在4中對應(yīng)的元素為±2.

解題策略

1.關(guān)于對應(yīng)關(guān)系的選擇

根本的方法是依據(jù)函數(shù)的定義進行判斷，判斷時可以借助區(qū)間的端點

值、區(qū)間中的特殊值進行驗證、排除，另外值域一定是集合8的子集.

2.關(guān)于利用對應(yīng)關(guān)系求值

利用對應(yīng)關(guān)系建立定義域4中的x與值域中的y之間的方程，通過解

方程求值，其中x可以是一個或多個，而y值只能是一個.

題組訓(xùn)練

1.已知A=B=R,x￡4y￡B,對應(yīng)關(guān)系/為〃乘以Q加b〃是定義在集

合4上的函數(shù)，若集合4中的3和10分別對應(yīng)集合8中的1和8,則

5對應(yīng)的元素是（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】選A/=B=R,xWA,y￡8,f為〃乘以a加b”,所以有

3a+b=l,fa=l,

,f解得：，即/為〃乘以1減2〃，5在/下的函數(shù)

10a+fa=8,[b=-29

值犬5）=lx5-2=3.

2.（2021?無錫高一檢測）已知集合4=8={L2,3},設(shè)/：八fB為從集

合A到集合B的函數(shù)，則這樣的函數(shù)一共有個，其中函數(shù)的

值域一共有種不同情況.

【解析】因為定義域中有三個元素：1,2,3,其中每個元素都可以對

應(yīng)到集合B中的三個元素中的任意一個，所以對應(yīng)關(guān)系共有：3x3x3=

27種，所以函數(shù)的個數(shù)為：27;將對應(yīng)關(guān)系分為：一對一，多對一（二

對一、三對一），若為一對一，值域有：{1,2,3},共1種情況，若為

二對一，值域有：口，2},{1,3},{2,3},共3種情況，若為三對一,

值域有：{1},{2},{3},共3種情況，所以值域有7種.

答案：277

翅匝

專用備選類型函數(shù)的逆向問題

【典例】已知函數(shù)y=k2x2+3kx+l的定義域為&求實數(shù)k的值.

【思路導(dǎo)引】將定義域為R轉(zhuǎn)化為分母不為0在R上恒成立，或分母

為0在R上無解.據(jù)此確定參數(shù).

【解析】函數(shù)y=l^+3kx+l的定義域是使^2x2+3/cx+1^0的實數(shù)x

的集合.

由函數(shù)的定義域為R,得方程k2x2+3kx+l=0無解.

1

當(dāng)k=0時，函數(shù)y=k2*2+3kx+l=1,函數(shù)的定義域為R，因此k=0

符合題意；

當(dāng)上0時，k2x2+3kx+l=0無解，

222

A=9k—4k=5k<09不存在滿足條件的k值.

綜上可知，實數(shù)k的值為0.

解題策略

已知函數(shù)定義域及值域求參數(shù)問題的解題思路

⑴注意調(diào)整思維方向，根據(jù)定義域及值域的含義，將給出的定義域

及值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集的問題.

(2)根據(jù)方程的解或不等式的解集情況來確定參數(shù)的值或取值范圍.

》學(xué)情診斷?課堂測評⑷

1.設(shè)集合M={x|O女42},N={y\0<y<2}9那么下面的4個圖像中，能

表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的為()

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

【解析】選C.①圖像不滿足函數(shù)的定義域，不正確；

②③滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，正確；

④不滿足函數(shù)的定義.

2.如圖給出的四個對應(yīng)關(guān)系，其中構(gòu)成函數(shù)的是()

⑴(2)(3)(4)

A.(D(2)B.⑴⑷C.⑴⑵⑷D.⑶⑷

【解析】選B.(l)⑷可以構(gòu)成函數(shù);

在(2)中，1,4在后一個集合中找不到對應(yīng)的元素，故不是函數(shù)；在⑶

中，1對應(yīng)了兩個數(shù)3,4,故也不是函數(shù).

___1

3.函數(shù)y=[x—3+工二的定義域是()

/\氣

A.(3,4)B.[3,4)

C.[3,4)U(4,+2D.(4,+8)

X—320,

【解析】選C.根據(jù)題意有人

X—400,

解得x>3且XH4,

所以函數(shù)定義域為[3,4)U(4,+oo).

4.對應(yīng)關(guān)系/為〃乘以2減1〃是定義在集合4上的函數(shù)，若值域B={-

3,—1,3},則集合4=.

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，

分別令2x—1=—3,—1,3,

解得x=-l,0,2,

從而得到集合4={-1,0,2).

答案：{-1,0,2}

第2課時函數(shù)概念的綜合應(yīng)用

論基礎(chǔ)認知-自主學(xué)習(xí)3

1.怎樣判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)？

導(dǎo)思

2.求函數(shù)值域的常用方法有哪些？

1.同一個函數(shù)

定義域相同

前提條件

對應(yīng)關(guān)系也相同

結(jié)論這兩個函數(shù)相同

思考

函數(shù)有定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域三要素，為什么判斷兩個函數(shù)是否

是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系？

提示：由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域，所以判斷兩

個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系即可.

2.常見函數(shù)的定義域和值域

反比例二次函數(shù)

函數(shù)一次函數(shù)

函數(shù)a>0a<0

對應(yīng)y=ax+by』y=ax2+bx+y=ax2+bx+

xX

關(guān)系（。工0）C(QHO)c(*0)

(右0)

定義

R{xlxwO}RR

域

值域R{y|y*o){y\y^{y|一

4ac—4ac一按

4Q}4g」

⑴本質(zhì)：定義域是自變量X的取值范圍,值域是因變量y的取值范圍.定

義域或值域一定要寫成集合或區(qū)間的形式.

⑵應(yīng)用：作出常見函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可以求出函數(shù)的定義域和值

域.

思考

求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的值域時為什么分a>0和a<Q兩種情

況？

提示：當(dāng)a>0時，二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，觀察圖像得

2

值域為Wy4>ac^——bI.

當(dāng)a<0時，二次函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線，觀察圖像得值域為

4ac—b2

V"■卜

基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對的打，一錯的打〃x〃).

⑴若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是同一個函

數(shù).(X)

35

提示：例如/%)=二與g(x)=:的定義域與值域相同，但這兩個函數(shù)不

是同一個函數(shù).

(2)函數(shù)/(x)=x2—x與g(tj=F—t不是同一個函數(shù).(x)

提示：函數(shù)f(x)=x2—x與g(t)=F—t的定義域都是R,對應(yīng)關(guān)系完全一

致，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

1

⑶函數(shù)/(X)=1+1的值域是(一8,1)U(1,+8).(V)

提示：因為；；工0,所以；；+1工1.

XA

(IA

2.已知,?一1J=2x—5,且f(a)=6,則a等于()

7744

4---G-n--

4B.43-3

JI)

【解析】選8.因為《那一J=2x—5,且f(a)=6,

11

所以令2x—5=6,解得x=w.

“1117

所以a=2xy—1=4?

3.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3的值域是[-1,5],則其定義域為.

【解析】由一142x+345,解得一24x41,即函數(shù)定義域為[-2,1].

答案：[-2,1]

份能力形成-合作探究卬

類型一判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)

題組訓(xùn)練

1.若函數(shù)/(x)=(//與g(x)=x(x￡D)是同一個函數(shù)，則?？梢允?

A.(—8,0)B.(0,+°0)

C.[0,+°°)D.(――0]

【解析】選C.函數(shù)/(x)的定義域為[0,+8),

即。=[0,+°°).

2.下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()

A./(x)=x2,g(x)=x3

B./3=五,g(x)=(心)2

x2

c?fM=~，g(x)=x

x,x>0

D.7(x)=|x|,g(x)-

I—x,x<0

【解析】選D.對于選項A:定義域均屬于R,但解析式不一樣，不是同

一個函數(shù)，A錯；

對于選項B:f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x20},兩個函數(shù)的定

義域不同，不是同一個函數(shù)，B錯；對于選項C:f(x)的定義域為{x|xwO},

g(x)的定義域為R,

兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)，C錯；對于選項D:/(x),

g(x)的定義域均為x￡R,對應(yīng)法則相同，故兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

解題策略

判斷函數(shù)是同一函數(shù)的三個步驟和兩個注意點

⑴判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)的三個步驟.

⑵兩個注意點.

①在化簡解析式M,必須是等價變形；

②與用哪個字母表示解析式無關(guān).

類型二利用函數(shù)的解析式求值(式乂數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)

1

【典例】設(shè)/(X)=2X2+2,g(X)=—TT,

AI4

(1)求f(2),f(o+3),g(a)+g(0)(a#-2),g(f(2)).

⑵求g(/W).

【思路導(dǎo)引】(1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可.

(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).

【解析】(1)因為/(X)=2X2+2,

所以＜2)=2x22+2=10,/(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.

1

因為g(x)=&5，

1111

所以g(o)+g(0)=干+帝+5("-2).

11

g(A2))=g(io)=io+2=i2,

________1____1_1

⑵g(/(x))=7(X)+2=2乂+2+2=2x2+4?

解題策略

函數(shù)求值的方法

(1)已知/(X)的表達式時，只需用O替換表達式中的X即得/(G)的值.

⑵求/(g(。))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

跟蹤訓(xùn)練

(2021?慶陽高一檢測)已知函數(shù)/(刈=后衛(wèi)+系

AI4

⑴求函數(shù)的定義域；

(2)求/(—3),的值；

⑶若。>0,求/⑹，/(。一1)的值.

x+3>0x>-3

【解析】⑴要使函數(shù)有意義，須J.=-3眾<—2或x>

[X+2H0〔XH—2

-2,

所以函數(shù)的定義域為[—3,-2)U(—2,+°°).

(2)f(x)=y/x+3,

所以A—3)=。+舊豆=T/I)=A/I+3+力+|-

§+2

(3)因為。>0,a—l>—l,(a-1)+2>0,

所以/(a)=、c+3+1工，f(a-l)=\la+2+3互.

類型三求函數(shù)的值域(數(shù)學(xué)運算、直觀想象)

角度1]利用不等式的性質(zhì)求值域

1

【典例】1.已知函數(shù)/(x)=溝工，則/(x)的值域是()

A.-00,2B.y+s

(1

C.[0,2D.(0,十河

1

【思路導(dǎo)引】利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)正詞的范圍或變形后利用方程有

解求值域.

【解析】選C.方法一：因為M+2N2,

11(1

所以。工2+2-2，所以/(X)的值域為10,2?

方法二：設(shè)t是所求值域中的元素，則關(guān)于x的方程二上=t應(yīng)該有

AI，

1

解，即—2應(yīng)該有解，

1

所以f-2>0,

[2t1/1

即--—>0,解得0<區(qū)5,所以所求值域為0,2?

5x4

2.求函數(shù)/(X)=Q7的值域.

【思路導(dǎo)引】對解析式變形后利用不等式的性質(zhì)求值域.

5x+4

【解析】函數(shù)f(x)==丁的定義域為{x|xrl},

XJ.

,5x+45(x-1)+99

因為/(x)=---丁=-------：----=5+—7,

八'x-1x_1x—1，

9

因為XN1,所以tYH0,所以/(X)H5,

X，

5x+4

所以函數(shù)/(x)==丁的值域為(一8,5)U(5,+8).

X>L

一題多變

將本例2中的函數(shù)變?yōu)閭?=公彳，試求值域.

X--11

【解析】/(X)=5x+1的定義域為"XX—5

,X-112X-212x+l-3

因為/(刈===5萬幣=5.WTT"

131(1^

,所以/化)工5,所以函數(shù)的值域為一8,5

22(2x+l)

%,+-J.

配方法求值域

【典例】求下列函數(shù)的值域：

(l)y=x2-2x+3,xG[O,3).

【思路導(dǎo)引】先配方=數(shù)形結(jié)合=求出值域;

【解析】y=x2—2x+3=(x—1)2+2,由xG[O,3),再結(jié)合函數(shù)的圖

像(如圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6).

(2)y=2x—\/x—1.

【思路導(dǎo)引】先換元=再配方=求出值域.

【解析】設(shè)t=7x—l,則X=t2+1,且tNO,

所以y=2伍+1)—t=2^t—2+^,由也0,再結(jié)合函數(shù)的圖像(如

「151

圖)，可得函數(shù)的值域為可，+8

求函數(shù)值域的方法

(1)觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的

值域，或利用函數(shù)圖像的〃最高點〃和〃最低點〃觀察函數(shù)的值域.如函數(shù)

1

y=yzq的值域為{y|o<y《i}.

⑵配方法：求形如F(X)=a[f(x)]2+bf(x)+c的函數(shù)的值域可用配方

法，但要注意f(x)的取值范圍.如求函數(shù)y=x—24+3的值域，因為

y=(^/x—1)2+2>2,故所求值域為{y|y22}.對于形如y=ax2+bx+c(a^0)

的函數(shù)，尤其要注意在給定區(qū)間上二次函數(shù)最值的求法.

⑶分離常數(shù)法：此方法主要是針對分子分母同次的分式，即將分式轉(zhuǎn)

化為〃反比例函數(shù)類〃的形式，便于求值域.

⑷換元法：形如y=ax+b+正而的函數(shù)常用換元法求值域，即先

令t=、cx+d,求出x,并注明t的取值范圍，再代入上式表示成關(guān)于

t的二次函數(shù)，最后用配方法求值域.

注意：分離常數(shù)法的目的是將分式函數(shù)變?yōu)榉幢壤瘮?shù)類，換元法的

R的是將函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)類.即將函數(shù)解析式變?yōu)橐呀?jīng)熟悉的簡單

函數(shù)類型求值域.

⑸反表示法：根據(jù)函數(shù)解析式反解出x,根據(jù)x的取值范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于

y的不等式求解.

⑹中間變量法：根據(jù)函數(shù)解析式確定一個已知范圍的中間變量（如X?）,

用y表示出該中間變量，根據(jù)中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不

等式求解.

【拓展延伸】

1.判別式法求函數(shù)值域

o-I-bxc

求形如y=dx2+ex+f（a，d中至少有一個不為零）的值域，常把函數(shù)轉(zhuǎn)

化成關(guān)于x的二次方程F（x,y）=0,通過方程有實根，判別式ANO,求

出y的取值范圍.

2.分離常數(shù)法求函數(shù)值域

axb

形如（a。。，a”bc）的函數(shù)常用分離常數(shù)法求值域?轉(zhuǎn)化過程

ad

為,丫=晟ax+行b=aC+或府,其結(jié)論是1y],y%aj]

【拓展訓(xùn)練】

求下列函數(shù)的值域：

X2—4x+3

⑴丫=2乂2_乂一].

【解析】方法一(分離常教法):

X2~4X+3(X-1)(X~3)X-3

因為V=2x2-x-l=(x-l)(2x+l)=詼=

l(2x+1)-2i7(n

2x+l'―而而回且.司,

711

又而而現(xiàn)所以"3

x—31—32(2、

當(dāng)x=l時，)4=77T7=一3，所以函數(shù)的值域為-8,--

(21](1,>

U1一§,2)噸,+*

方法二(反表示法)：同方法一得y=7(XHI),

2-v—31(2、

則丫工一3且x=)一,則N%,所以函數(shù)的值域為-8,—o

JZv1，\、)

2X2+4X~7

(2)丫=x2+2x+3?

【解析】(判別式法)已知函數(shù)式可變形為yx2+2yx+3y=2x2+4x—7,

即(y—2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,

當(dāng)廳2時，將上式視為關(guān)于x的一元二次方程.

因為xGR,所以420,

即[2僅一2)]2—4僅一2)(3y+7)20,

整理得2y2+5)/—18《0,

9

解得一54蜉2(根據(jù)二次函數(shù)y=2x2+5x-18的圖像在x軸下方可解).

當(dāng)y=2時，3x2+7/0,不符合題意，應(yīng)舍去.

所以函數(shù)的值域為號，2).

題組訓(xùn)練

1.下列函數(shù)中，值域為(0,+8)的是()

1.1

A.y=~,(xG(0,+8))B.y=l一偵

1.

29

C.y=~A5—1D.y=x+l

1

【解析】選A.y=],(xE(0,+°°)),值域是(0,+°°),

1

y=l一耳,值域是(一8,1),

1

y=7—1,值域是(一1,+g),

/X

y=x2+1,值域是[1,+°°).

2.(2021?昆山高一檢測)函數(shù)y=、3—2x—x2的定義域是,值

域是.

【解析】要使得函數(shù)y=\'3—2x—乂2有意義，

則3-2X-X2>0,解得一3殳4L

故函數(shù)的定義域為[—3,1].

因為3—2x-x2=—(X+1)2+4<4,

故0w{3—2x—*2<2,故函數(shù)的值域為[0,2].

答案：[-3,1][0,2]

.......?學(xué)情診斷,課堂測評勾

L(多選)下列四組函數(shù)，表示同一個函數(shù)的是()

A.f(x)=啟+1,g(x)=x+l

B.Hx)=3,g(x)=4

c.f(x)=yjx2—4,g(x)=y]x+2?由一2

x+1,X>—1,

D.f(x)=\x+l\，g(x)=<

—X—1,X<—1

【解析】選BD.A中兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同；B中兩函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)

系相同；(：中兩函數(shù)定義域不同；D中兩函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)系相同，

因此是同一個函數(shù).

2.(2021?六安高一檢測)已知/(x)的定義域為[—2,2],且函數(shù)g(x)=

7^+4X+5'則內(nèi))的定義域沏)

A.(-1,1]B.(-1,5)

C.(-1,3]D.[-1,3]

-ZSX-1SZ

【解析】選C.要使g(x)有意義，則2"c，

[―X+4X+5>0

則一l<x<3,即定義域為(一1,3].

3.下列函數(shù)中，值域為[1,+8)的是()

A,y=yl^iB.丫=吉

C.y=ylx2+lD.

【解析】選C.A.y=)x—1的值域為[0,+8)；

1

B.7的值域為(一8,0)U(0,+°°);

XJL

C.y=yjx2+l的值域為[1,+°°);

1

D.y=丁二^的值域為(0,+°°).

4.已知集合A={x|O女42},8={y|0<y<4},則下列對應(yīng)關(guān)系，能夠構(gòu)成

以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（填寫滿足條件的所有函

數(shù)的序號）.

①y=2x；②y=x?；③y=|4一2x|；④y=x+5；

⑤y=（x—2）2.

【解析】判斷能否構(gòu)成以A為定義域，B為值域的函數(shù)，就是看是否

符合函數(shù)的定義.對于①y=2x,當(dāng)定義域為A={x|04x42}時，顯然其

值域為B={y|04y“},故①滿足條件；顯然②③⑤同樣也滿足條件;

對于④y=x+5,若其定義域為A={x|0<x<2},則其值域為{y|54y47},

因此④不滿足條件.故填①②③⑤.

答案：①②③⑤

第3課時函數(shù)的表示方法

-?；A(chǔ)認知-自主學(xué)習(xí)一

1.函數(shù)的表示方法有哪些？

導(dǎo)思

2.任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式表示嗎？

函數(shù)的表示方法

解析法用代數(shù)式（或解析式）表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

圖像法用函數(shù)的圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

列表法用列表的形式來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

本質(zhì)：①解析法就是用等式來表示兩個變量之間關(guān)系的方法，這個等

式常叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式.

②列表法所列表反映了兩個變量具有的函數(shù)關(guān)系，其判斷依據(jù)仍是函

數(shù)的定義.

③函數(shù)的圖像不但可以是一條直線或一條曲線，也可以是一些點、一

些線段、一些射線等.要作出更精確的圖像，常常需要描出更多的點.

思考

函數(shù)的三種表示方法各有什么優(yōu)、缺點?

提示：

優(yōu)點缺點

①簡明、全面地概括了變量間的關(guān)

解析系；

不夠形象、直觀

法②可以通過解析式求出任意一個自

變量所對應(yīng)的函數(shù)值

列表不通過計算就可以直接看出與自變

一般只能表示部分自變量的函數(shù)值

法量的值相對應(yīng)的函數(shù)值

直觀、形象地表示出函數(shù)的變化情

圖像只能近似地求出自變量所對應(yīng)的函

況，有利于通過圖形研究函數(shù)的某些

法數(shù)值，有時誤差較大

性質(zhì)

基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶（對的打〃V〃，錯的打〃x〃）.

⑴任何一個函數(shù)都可以用國像法表示.（X）

提示：有的函數(shù)是不能畫出圖像的，

1,XEQ

如f（x）=j

l-l,XGCRQ.

⑵任何一個函數(shù)都可以用解析法表示.（x）

提示：并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示.

⑶函數(shù)的圖像一定是一條連續(xù)不斷的曲線.（X）

1

提示：有些函數(shù)的圖像不是一條連續(xù)不斷的曲線，如/（x）=j的圖像就

/\

不是連續(xù)的曲線.

2.（2021?天津高一檢測）某同學(xué)騎自行車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中

因紅燈停留了一段時間，然后加快速度趕到了學(xué)校，下列各圖中，符

合這一過程的是（

CD

【解析】選D.中間停留了一段時間，中間有一段圖像與時間軸平行,

排除AC,后來是加速行駛，因此圖像越陡峭，排除B,只有D符合.

m%

3.（教材例題改編）如果=—,則當(dāng)且X"時，/（x）=（）

W1X

11

【解析】選B.設(shè),所以x=；,

AL

1

“if1

所以/（t）=-=二^，

1-f

1

所以Ax)=--.

人JL

為能力形成-合作探究④

類型一列表法表示函數(shù)（邏輯推理、數(shù)學(xué)運算）

題組訓(xùn)練

1.觀察下表:

X-3-2-1123

fM41-1-335

g(x)1423-2-4

則施(2))-/(T)=()

A.2B.3C.4D,5

【解析】選A.g(2)=-2,/(-2)=1,/(-1)=-1,

所以/(g(2))_/(_i)=/(_2)_/(_i)=i_(_i)=2.

因為g(/(x))=2,所以/(x)=2,所以x=l.

答案：11

解題策略

列表法表示的函數(shù)的求值問題的解法

解決此類問題關(guān)鍵在于弄清表格中每一個自變量x與y的對應(yīng)關(guān)系,

對于/(g(x))這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求自變量x時,

則由外向內(nèi)逐層求解.

類型二圖像的畫法及應(yīng)用(直觀想象)

【典例】作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域.

(l)y=-x,xE{0,1,-2,3}.

2

(2)y=-，xe[2,+oo).

/\

(3)y=x2+2x,xG[—2,2).

【思路導(dǎo)引】描點法作函數(shù)圖像=數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)值域.

(2)列表

X2345???

212

1

y325???

2

當(dāng)x￡[2,+8)時，圖像是反比例函數(shù)y=：的一部分，觀察圖像可知

X

其值域為(0,1].

O12345x

(3)列表

X-2-1012

y0-1038

畫圖像，圖像是拋物線y=x2+2x在一2Sx<2之間的部分.

由圖可得函數(shù)的值域為［-1,8).

解題策略

描點法作函數(shù)圖像的二個關(guān)注點

(1)畫函數(shù)圖像時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖.

⑵圖像是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖像.

⑶要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖像的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等.要

分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心圈.

跟蹤訓(xùn)練

畫出下列函數(shù)的圖像：

(l)y=x+l(x<0).(2)y=x2—2x(x>l或x<—1).

［解析】(1)y=x+1(x00)表示一條射線，圖像如圖⑴.

(2)y=x2—2x=(x—I)2—l(x>l或x<—1)是拋物線y=x2_2x去掉一10x41

之間的部分后剩余的曲線.如圖(2).

⑴⑵

【拓展延伸】

常見函數(shù)圖像變換

1.平移變換

⑴形如y=f(x+a),把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸方向向左(a>0)或向右

(a<0)平移|a|個單位，就得到y(tǒng)=f(x