廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列{an}中，a1=2A．4 B．8 C．10 D．122．若直線l的一個方向向量n=(1，?3)A．30° B．60° C．120° D．150°3．已知平面α的一個法向量為m=(2，3，?1)，平面β的一個法向量為n=(4，k，2)，若A．?2 B．2 C．6 D．?64．已知點P在拋物線y2=4x上，且點P與點A(3，0)的距離和點P到直線A．1 B．2 C．3 D．45．若{aA．{B．{C．{D．{6．東莞鴻福路大橋是一座系桿拱橋，其圓拱結(jié)構(gòu)可近似看作圓的一部分，經(jīng)查詢資料知該拱橋(如圖)的跨度AB約為126米，拱高OP約為9米，該拱橋每隔約7米用一根吊桿連接圓拱與系桿，則與OP相距35米的吊桿MN的高度約為（）

(參考數(shù)據(jù)：494≈22.23)

A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米7．已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為FA．3 B．2 C．5 D．68．在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得新數(shù)列按照同樣的方法進(jìn)行構(gòu)造，可以不斷形成新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…依次構(gòu)造，記第n(n∈N?)次得到的數(shù)列的所有項之和為TA．1095 B．3282 C．6294 D．9843二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．已知數(shù)列{an}的前nA．Sn的最大值為814 B．C．{an}是遞減數(shù)列10．已知圓C1：x2+y2A．若m=0，則圓C1和圓CB．若m=0，則圓C1和圓C2C．若圓C1和圓C2D．若圓C1和圓C211．已知曲線C：x|x|+4y|y|=4，則（）A．曲線C在第一象限為橢圓的一部分B．曲線C在第二象限為雙曲線的一部分C．直線y=?12x+1D．直線y=?22x+112．在如圖所示的試驗裝置中，ABCD和ABEF均為邊長為1正方形框架，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在對角線AC，BF上移動，且CM=λCA，A．?λ∈(0，1)B．?λ∈(0，1)C．?λ∈(0，1)，MN//D．?λ∈(0，1)，平面MNB⊥三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間兩點A(1，2，3)，B(2，4，5)，則與14．?dāng)?shù)列{an}滿足an=1n15．一條光線從點A(0，1)射出，經(jīng)直線y=x反射后與圓C：(x?2)2+(y?416．在平面直角坐標(biāo)系中有A(1，0)，B(?1，0)，C(0，3)三點，則同時滿足條件：①△PAB的周長為6；②△PAC的面積為四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，∠A1AD=∠（1）用a，b，c表示BD（2）求異面直線A1D與18．已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過橢圓C的右焦點F2作傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，求線段MN19．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是正項等比數(shù)列，且a1=1，a4=7，b1（1）求數(shù)列{an}（2）令cn=a2n+20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=6，AD=3，E是PC的中點，PB=3PF．（1）證明AC//平面DEF；（2）求點A到平面DEF的距離．21．已知Sn為數(shù)列{an}（1）證明數(shù)列{S（2）求滿足不等式1a1+22．已知圓心為C的動圓經(jīng)過點(1，0)且與直線x=?1相切，設(shè)圓心C的軌跡為（1）求軌跡Γ的方程；（2）已知A(1，2)為定點，P，Q為Γ上的兩動點，且AP⊥AQ，求點A到直線

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意a2a4=16=a故答案為：B.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直線l的傾斜角為θ，

因為直線l的一個方向向量n=(1，?3)，所以直線的斜率為?31故答案為：C.【分析】根據(jù)直線的方向向量求得直線的斜率，再根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求傾斜角即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因為α⊥β，所以m→⊥n→，所以故答案為：A.【分析】由平面垂直得平面的法向量，利用向量的數(shù)量積為0，求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：如圖：根據(jù)拋物線的定義，過P做PD垂直拋物線的準(zhǔn)線x=?1，垂足為D，則|PF|=|PD|，又因為|PA|=|PD|，所以|PA|=|PF|，故P點橫坐標(biāo)為1+32=2，所以故答案為：C.【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)拋物線的定義，先確定P點橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線定義求值即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：{a,bA、設(shè)a+b=m(故a+b,B、設(shè)a=mb+n(故a,b,C、設(shè)c=m(a+故a+b,D、設(shè)a?b=m(b?故a?b,故答案為：D.【分析】根據(jù)基底概念逐項計算判斷即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：以O(shè)為原點，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,a)，則P(0,由題意可得(9?a)2=r所以所求圓的方程為x2將x=?35代入圓方程可得(?35)2因為y>0，所以y=10494故答案為：B.【分析】以O(shè)為原點，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,a)，利用待定系數(shù)法求出圓的方程，將7．【答案】C【解析】【解答】解：易知x2+y2=c2因為tan∠PF1F2由雙曲線定義得|PF2|?|P再由勾股定理得|PF2|2+|PF故答案為：C.【分析】由題意推出PF1⊥PF2，再由正切值得到8．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)第n次構(gòu)造后的數(shù)列為1,x1則第n+1次構(gòu)造后的數(shù)列為1,Tn+1=6+3(顯然Tn+1?3因此數(shù)列{Tn?32}是首項為所以T7故答案為：B.【分析】根據(jù)給定條件，先得到第n次構(gòu)造后的數(shù)列與第n+1次構(gòu)造后的數(shù)列以及數(shù)列和的關(guān)系，得到數(shù)列{Tn?9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、Sn=?n2+9n=-n-9B、因為Snn=?n+9則{SC、當(dāng)n≥2時，an又a1=S1=8D、a4故答案為：BC.【分析】利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷B；利用Sn求得a10．【答案】B,D【解析】【解答】解：易知圓心C1(2,?m)，半徑r1A、當(dāng)m=0時，圓心距|C1CB、由A可知，當(dāng)m=0時，兩圓相交，公共弦所在直線方程為：(x2+C、因為兩圓外切，所以4+(2+m)2=6D、因為兩圓內(nèi)切，所以4+(2+m)2=2故答案為：BD.【分析】先求兩圓的圓心和半徑，再借助兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、當(dāng)x≥0，y≥0時，由x2+4yB、當(dāng)x<0，y≥0時，由?x2+4C、當(dāng)x<0，y<0時，由?x當(dāng)x≥0，y≤0時，由x2所以函數(shù)的圖象如圖所示：所以y=?12x+1D、直線y=?22x+1與曲線C：x2?4y2=4方程聯(lián)立，消去y得：x2?42故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件，逐個象限分析函數(shù)的解析式，確定函數(shù)在各個象限的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合討論即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，B(0,0,0)所以CM→=λCA→=λ(1,0A、AC=(?1,0,1)解得λ=23.所以存在λ∈(0,B、由MN=(1?2λ,1?λ所以|MNC、CE=(0,1,?1)，CF則n?CF=0n?CE=0，即x+y?z=0y?z=0，令所以MN→?n→=(1?λ)×1+(λ?1)×1=0，所以對?x∈(0D、BM=(λ,0,1?λ)，BN設(shè)平面MNB的一個法向量為n1=(x1,令x1=1，得y1=?1，設(shè)平面MAF的一個法向量為n2=(x2,令z2=1，得x2所以n1→?n2→=1+λλ?1故答案為：ACD.【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項計算判斷即可.13．【答案】(【解析】【解答】解：因為A(1，2，3)，B(2，4，5)，所以所以與AB方向相同的單位向量為AB|AB|故答案為：(1【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)形式求出向量以及向量的模，再根據(jù)AB方向相同的單位向量為AB|14．【答案】5【解析】【解答】解：因為數(shù)列{an}所以數(shù)列{an}故答案為：512【分析】由題意可得an15．【答案】x=1或15x?8y?15=0【解析】【解答】解：設(shè)點A(0,1)關(guān)于直線y=x對稱的點為B(a,b)，如圖所示：

則b?1a當(dāng)反射光線斜率存在時，設(shè)其所在直線的方程為y=k(x?1)即kx?y?k=0，因為反射光線與圓C：(x?2)2所以圓心C(2,4)到反射光線的距離d=|2k?4?k|k2+1=r，即|2k?4?k|當(dāng)反射光線斜率不存在時，設(shè)其所在直線的方程為x=1，滿足反射光線與圓相切，故反射光線所在直線的方程為x=1或15x?8y?15=0.故答案為：x=1或15x?8y?15=0.【分析】設(shè)點A(0,1)關(guān)于直線y=x對稱的點為B(a,16．【答案】4【解析】【解答】解：已知如圖所示：

因為A(1，0)，B(?1，0)，所以AB=2，又因為△PAB的周長為6，所以|PA|+|PB|=4，

故點因為|AC|=10，S△PAC=32，所以△PAC又直線AC方程為：x設(shè)P(x,y)，則|3x+y?3|32+1與x軸的交點分別為(3+33因為0<3?33<3+所以滿足條件的P點有4個.故答案為：4【分析】根據(jù)題意，求得點P的軌跡方程，再分析點P滿足的條件，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可確定滿足條件的點的個數(shù).17．【答案】（1）根據(jù)題意，可得BD1=BC+CD+DD1，（2）a?c=b?c=2×2×cos60°=2，a?b=2×2×cos90°=0，c2=b2=4，

因為A1D=AD?AA1【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量夾角公式計算即可.18．【答案】（1）因為橢圓C的短軸長為23，

所以2b=23，

解得b=3，①

因為橢圓C的離心率e=ca=12，

即c=12a，②

又a2?b2=（2）由(1)知橢圓C的右焦點F2(1，0)，

因為直線l的傾斜角為45°，

所以直線l的斜率為1，

則直線l的方程為y=x?1，

聯(lián)立y=x?1x24+y23=1，消去y并整理得7x2?8x?8=0，

不妨設(shè)M(x1，y【解析】【分析】（1）軌跡題意，確定a,b,（2）由(1)知橢圓C的右焦點F2(1，0)，根據(jù)直線的斜率求出直線l的方程，聯(lián)立直線19．【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，正項等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)，

由題意得a4=a1+3d，即7=1+3d，則d=2，

故數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n?1)d=1+2(n?1)=2n?1．

由題意b1是a1和a3的等差中項，a5是b1和b3的等比中項，得2（2）由題意得a2，a4，…，a2n構(gòu)成了首項為a2=3，公差為4的等差數(shù)列，

b1，b3，…，b2n?1構(gòu)成了首項為b1=3，公比為9【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求數(shù)列{an}（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式，利用分組求和法求解即可.20．【答案】（1）證明：∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，DA，DC?平面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC，

又底面ABCD是矩形，∴DA，DC，PD兩兩垂直，

故以D為原點，分別以DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則D(0，0，0)，A(3，0，0)，C(0，6，0)，B(3，6，0)，P(0，0，6)，

∵E是PC的中點，則E(0，3，3)，

由PB=3PF，得F(1，2，4)，

∴DF=(1，2，4)，DE=(0，3，3)，AC=(?3，6，0)，

（2）解：∵DA=(3，0，0)，

∴DA?n=3×2+0+0=6，|n|=【解析】【分析】（1）以D點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線方向向量與平面法向量垂直即可證明；（2）利用點到平面距離的公式計算即可.21．【答案】（1）證明：當(dāng)n=1時，a1=S1=2S1?1，得S1=1，

由na1+(n?1)a2+?+an=2Sn?n(n∈N?)①，

得(n+1)a1+n（2）由(1)知Sn+1=2n，故Sn=2n?1，

當(dāng)n≥2，an=Sn?Sn?1=2n?1，顯然a1=1也適合上式，

故an=2n?1(n∈N?)，

設(shè)Tn=1a1+2a2+?+nan，

則Tn=120+221+3【解析】【分析】（1）由已知可得Sn+1（2）由（1）可得Sn=2n?1，從而求出an=2n?122．【答案】（1）由題可知，圓心C到定點(1，0)的距離與到直線x=?1的距離相等，

則點C的軌跡為以(1，0)為焦點，x=?1為準(zhǔn)線的