數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：古典概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2古典概型2。1古典概型的特征和概率計(jì)算公式2。2建立概率模型5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.擲一顆骰子,出現(xiàn)3點(diǎn)的概率是（）A.B。3C.D.答案：C解析:發(fā)生的概率:發(fā)生事件數(shù)除以全部事件數(shù).擲一顆骰子共有6種等可能結(jié)果，出現(xiàn)3點(diǎn)是其中的1種結(jié)果,其概率為。2.下面是古典概型的是（)A。任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí)B.為求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率,將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí)C.從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D。拋擲一枚均勻硬幣至首次出現(xiàn)正面為止答案：C解析:A項(xiàng)盡管點(diǎn)數(shù)之和只有有限個(gè)取值：2，3,…，12,但它們不是等可能的,例如拋一次兩枚都出現(xiàn)2點(diǎn)，和為4點(diǎn),也可能是1點(diǎn),3點(diǎn)或3點(diǎn)，1點(diǎn),其和都為4點(diǎn),共3種情況,但點(diǎn)數(shù)和為2的只有一種情況是1點(diǎn)，1點(diǎn)。B項(xiàng)盡管各個(gè)正整數(shù)被取到是等可能的，但正整數(shù)有無限多個(gè)。C項(xiàng)只有n個(gè)等可能的結(jié)果.D項(xiàng)可能結(jié)果(即拋擲次數(shù)可能取值）是無限多的.故選C項(xiàng).3。盒中有10個(gè)鐵釘，其中8個(gè)是合格的,2個(gè)是不合格的，從中任取一個(gè)恰為合格鐵釘?shù)母怕适牵ǎ〢。B。C.D。答案:C解析:從盒中取一個(gè)鐵釘包含基本事件總數(shù)為10,其中抽到合格鐵釘(記為事件A）包含8個(gè)基本事件，所以，所求概率為P（A）=。4.從1,2,3，4，5五個(gè)數(shù)字中,任意有放回地連續(xù)抽取三個(gè)數(shù)字，則三個(gè)數(shù)字完全相同的概率為（）A。B.C。D。答案：D解析：從這5個(gè)數(shù)字中任意有放回地連續(xù)抽取三個(gè)數(shù)字有53種抽法，三個(gè)數(shù)字完全相同的抽法有5種,所以要求的概率為.5.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查了某校200名學(xué)生，其中戴眼鏡的同學(xué)有123人,若在這個(gè)學(xué)校隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生,則他戴眼鏡的概率是____________.答案：61.5％解析:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是等可能抽樣，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同,即=61.5%。10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.某小組共9人,分得一張演出的入場(chǎng)券，組長將一張寫有“得票”字樣和寫有“不得票”字樣的紙簽混合后讓大家依次各抽取一張，以決定誰得入場(chǎng)券,則（）A。第一個(gè)抽簽者得票的概率最大B.第五個(gè)抽簽者得票的概率最大C。每個(gè)抽簽者得票的概率相同D.最后抽簽者得票的概率最小答案:C解析：得票根據(jù)古典概型的基本特征可知“每個(gè)抽簽者得票的概率相同”，此即抽簽具有公平性原則.因?yàn)槌楹灧ㄊ呛?jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所以是等概率抽樣，故選C項(xiàng)。2.擲兩顆骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為（）A.B.C.D。答案：C解析:擲兩顆骰子,每顆骰子可能的結(jié)果有6種,所以共有36個(gè)基本事件.事件“點(diǎn)數(shù)之和為6”包含的基本事件有（1，5),（2，4)，(3，3），（4，2)，（5，1）共5個(gè)，因此其概率為。3。在一次問題搶答的游戲中，要求找出每個(gè)問題所列出的4個(gè)答案中唯一正確的答案。其搶答者隨意說出了其中一個(gè)問題的答案，這個(gè)答案恰好是正確答案的概率為（）A.B.C。D。答案:B解析：搶典答者從4個(gè)答案中隨意說一個(gè)是等可能的，由古典概型計(jì)算公式即得解。4.中央電視臺(tái)“幸運(yùn)52"欄目中的“百寶箱”互動(dòng)環(huán)節(jié)，是一種競(jìng)猜游戲，規(guī)則如下:在20個(gè)商標(biāo)牌中，有5個(gè)商標(biāo)牌的背面注明一定的獎(jiǎng)金額，其余商標(biāo)牌的背面是一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎(jiǎng)，參與這個(gè)游戲的觀眾有三次翻牌機(jī)會(huì)（翻過的牌不能再翻)，某觀眾前兩次翻牌均獲得若干獎(jiǎng)金，那么他第三次翻牌獲獎(jiǎng)的概率是（）A。B。C。D。答案：C解析：共5個(gè)獎(jiǎng)，前兩次已翻出兩個(gè),所以余下的18個(gè)商標(biāo)牌中只含有3個(gè)獎(jiǎng)。由于每次翻牌是等可能的,所以由古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為.故選C項(xiàng).5。拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，事件M：“一次正面向上，一次反面向上”；事件N：“至少有一次正面向上”。則下列結(jié)果正確的是（)A.P（M)=,P(N）=B.P（M）=，P(N）=C。P(M）=,P(N)=D.P（M)=，P(N）=答案：D解析：拋擲一枚均勻的硬幣兩次的基本事件共有四個(gè):（正,正），(正,反）,(反,正)，（反,反)，M包含的基本事件為(正,反）,(反,正）,N包含的基本事件為(正,正)，（正，反），(反,正),故P（M）=,P（N)=.6.某國際科研合作項(xiàng)目由兩個(gè)美國人、一個(gè)法國人和一個(gè)中國人共同開發(fā),現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩人作為成果發(fā)布人,選出的兩人中有中國人的概率是多少?解:兩個(gè)美國人分別用美1和美2表示，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有六個(gè)：（美1，美2)，(美1，法)，(美1,中）,(美2,法),（美2,中),(法,中),記事件A=“選出的兩人中有中國人”，則P（A）=。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.一個(gè)均勻的正方體玩具各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2，3,4，5，6，將這個(gè)玩具先后拋擲2次，則向上的數(shù)之和是5的概率是（）A。B.C.D。答案:A解析：第一次拋擲有6種不同的結(jié)果，第二次拋擲又有6種不同的結(jié)果,共有36種不同的結(jié)果。向上的數(shù)的和為5的可能情況有4種，分別是（4，1)，(1，4），（2,3),(3，2），故所求概率為P（A)=。2.有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào)）,從中任取1張,取得卡號(hào)是7的倍數(shù)的概率為（）A。B。C。D。答案：A解析：有100張卡片（從1號(hào)到100號(hào))，從中任取1張，有100種取法，而卡號(hào)是7的倍數(shù)的有14張,所以概率為。3。從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（)A.B。C。D。1答案:C解析：這里所有的基本事件為:甲、乙;甲、丙；乙、丙，即基本事件共有三個(gè).甲被選中的事件有兩個(gè)，按等可能性事件的概率,有P(甲)=.故選C項(xiàng)。4。假設(shè)一對(duì)夫婦生育男孩或女孩的概率均為0.5,且兩次生育的概率互不影響,則這對(duì)夫婦前兩胎生育都是男孩的概率是（)A。0.5B。0.25C。0.75答案：B解析：所有基本事件數(shù)為:（男，男）,（男,女）,（女，男），（女,女）,∴兩胎都生男孩的概率為.5.在分別寫有1、2、…、9的9張卡片上任意抽取一張，則抽得卡片上的數(shù)字能被3整除的概率是（)A.B。C。D.答案：D解析：從9張卡片中任取一張有9種不同的取法，其中3的倍數(shù)有3、6、9三個(gè)數(shù),所以抽得卡片被3整除的概率為.6。（2007廣東高考,文8)在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4，5的五個(gè)小球,這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同.現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球,則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是(）A。B。C.D.答案：A解析：5個(gè)小球隨機(jī)取2個(gè)的方法有10種,即基本事件有10個(gè)：(1,2),（1，3),（1,4),(1，5），(2，3),(2,4），（2，5）,(3,4），(3，5），（4，5)。數(shù)字之和為3的只有一個(gè)(1,2),數(shù)字之和為6的有兩個(gè)：(1,5）(2，4），∴所求概率為。故選A項(xiàng)。7。若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m,n作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q在圓x2+y2=16內(nèi)的概率為___________.答案：解析:基本事件總數(shù)為6×6=36,記事件“點(diǎn)Q在圓x2+y2=16內(nèi)"為A，則A所包含的基本事件有（1，1),（2，2），（1，3），（1，2),（2，3），（3,1），(3，2），（2,1）共8個(gè)，所以P（A）=。8。同時(shí)拋擲2個(gè)均勻的正方體玩具(各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)1,2,3,4，5,6),則:（1）求朝上的一面數(shù)相同的概率;（2)求朝上的一面數(shù)之積為奇數(shù)的概率.解:由題意知：基本事件總數(shù)為6×6=36種不同的結(jié)果,每一結(jié)果都是等可能的出現(xiàn)。(1)其中朝上的一面的數(shù)相同的結(jié)果有6種：(1，1),(2，2）,(3,3),(4，4）,(5,5）,(6，6），故所求事件的概率是P=。（2)朝上的一面數(shù)之積為奇數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)正方體朝上的一面的數(shù)都是奇數(shù),其可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為：P==。9.已知集合M=｛-2,3｝，N=｛—4，5,6｝，兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)為第二象限點(diǎn)的概率為多少？解:由題知:從M、N中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，基本事件共有12個(gè)：(—2,-4），(-2，5),（—2，6)，（3，—4），（3,5），(3,6）,（-4，—2)，（—4,3），（5，-2)，(5,3）,(6,-2),(6,3)，設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)為事件A，則A={(-2,5）,(—2,6),（—4,3）},包含3個(gè)基本事件，所以該點(diǎn)為第二象限內(nèi)點(diǎn)的概率為P==。10.袋子中有3個(gè)形狀相同但是顏色不同的球，分別是1個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黃球，如果每次從袋子中取出1個(gè)球，連續(xù)取2次,其中1個(gè)是黃球的概率為多少？（分取出后放回與不放回兩種情況）解：(1）不放回抽?。航夥ㄒ?共有6種結(jié)果：（紅,藍(lán)）,(紅，黃），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黃)，（黃，紅），(黃,藍(lán)）.其中滿足題意的只有4種，即(紅，黃），(藍(lán),黃）,（黃,紅），（黃，藍(lán)），所以所求的概率為.包含3個(gè)基本事件,分別為（紅，藍(lán))、（紅，黃）、(藍(lán)，黃)。其中事件A表示“其中1個(gè)是黃球”包含2個(gè)基本事件：（紅，黃）、（藍(lán)黃),故P（A）=.（2)放回抽?。汗灿?種結(jié)果：（紅，紅），（紅，藍(lán)),(紅，黃）,(藍(lán)，藍(lán))，（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黃）(黃，黃），(黃,紅）,(黃，藍(lán)）；其中滿足題意的有（紅，黃），（藍(lán)、黃），(黃，紅），（黃，藍(lán)）4種，所以所求的概率為。綜上可知：含有1個(gè)黃球的概率為或。2.3互斥事件5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.對(duì)于對(duì)立事件和互斥事件,下列說法正確的是(）A.如果兩個(gè)事件是互斥事件，那么這兩個(gè)事件一定是對(duì)立事件B.如果兩個(gè)事件是對(duì)立事件,那么這兩個(gè)事件一定是互斥事件C。對(duì)立事件和互斥事件沒有區(qū)別，意義相同D.對(duì)立事件和互斥事件沒有任何聯(lián)系答案:B解析：對(duì)立事件必是互斥事件,互斥事件未必是對(duì)立事件.2。從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A。至少有1個(gè)黑球與都是黑球B.至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球C.恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球D.至少有1個(gè)黑球與都是紅球答案：C解析:設(shè)A=“恰有1個(gè)黑球”,B=“恰有2個(gè)黑球”。事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,因此事件A與B互斥。但是A與B也有可能都不發(fā)生,因此A與B不對(duì)立;至少有1具黑球與都是黑球既不互斥也不對(duì)立；至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球既不互斥也不對(duì)立;至少有1個(gè)黑球與都是紅球?qū)α⒁不コ?3.把紅、黑、白、藍(lán)4張牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌"是(）A。對(duì)立事件B.不可能事件C.互斥但不對(duì)立事件D.以上均不對(duì)答案:C解析：只有一張紅牌,甲、乙不能同時(shí)分得，所以互斥。但有可能甲、乙都沒分得紅牌,而丙、丁中一人獲得，所以不對(duì)立.4.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球、黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0。28,那么摸出黑球的概率是_____________.答案:0.3解析：事件“摸出黑球”的對(duì)立事件為：“從中摸出1個(gè)球是紅球”或“從中摸出1個(gè)球是白球”，根據(jù)對(duì)立事件的公式，摸出黑球的概率:1—0.42—0。28=0。3。10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。若事件A、B互斥，那么（）A.A∪B是必然事件B.∪是必然事件C.與一定互斥D。與一定不互斥答案：B解析:用集合表示法中的韋恩圖解釋.2。一個(gè)人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.兩次都不中靶D。只有一次中靶答案：C解析：連射兩次有3種結(jié)果：“兩次全中”“恰有一次中"“兩次都未中”.“至少一次中”包括前兩種情況,所以“兩次都不中靶"與“至少一次中靶"既互斥又對(duì)立，所以選C項(xiàng).3。從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品，設(shè)M=“三件產(chǎn)品全不是次品”,N=“三件產(chǎn)品全是次品”，Q=“三件產(chǎn)品不全是次品"，則下列結(jié)論正確的是（）A.M與Q互斥B。N與Q互斥C.任何兩個(gè)均互斥D.任何兩個(gè)均不互斥答案：B解析：C項(xiàng)包含三件產(chǎn)品中“三正"“二正一次"“一正二次”三種情況.4。某射手一次射擊中,擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0。24、0。28、0.19,則該射手在一次射擊中不夠9環(huán)的概率是(）A.0.29B。0.71C答案:D解析:記該射手擊中10環(huán)、9環(huán)的概率分別為A、B。則該射手在一次射擊中不夠9環(huán)的概率P=1-P(A）-P(B）=0.48。5.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為0。3，兩人下成和棋的概率為0。5，那么甲不輸?shù)母怕适莀___________。答案：0.8解析：事件“甲不輸”包括互斥事件“甲獲勝”與“兩人下成和棋”，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得甲不輸?shù)母怕?0.3+0.5=0.8。6.某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下所示：年降水量（單位：mm）［100，150）［150,200）［200，250）［250，300）概率0。120。250。160.14(1）求年降水量在[100，200）（mm）范圍內(nèi)的概率;(2）求年降水量在［150,300）（mm）范圍內(nèi)的概率.解：（1）記這個(gè)地區(qū)的年降水量在［100，150)、［150，200）、［200，250)、［250,300）（mm）范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、D.這4個(gè)事件是彼此互斥的。根據(jù)互斥事件的概率加法公式，年降水量在［100,200）（mm）范圍內(nèi)的概率是P(A+B)=P（A）+P（B）=0。12+0。25=0。37。(2）年降水量在［150，300)(mm)內(nèi)的概率是P(B+C+D）=P(B）+P（C)+P（D)=0。25+0.16+0.14=0.55.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1.一箱機(jī)器零件中有合格品4件,次品3件,從中任取2件，其中事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件合格品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是合格品.四組中是互斥事件的組數(shù)是（）A.1組B.2組C.3組D.4組答案：B解析：①互斥，②不互斥,③不互斥，④互斥且對(duì)立,所以①④互斥,選B項(xiàng).2.某人射擊一次,設(shè)事件A：“中靶”；事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于5”；事件C：“擊中環(huán)數(shù)小于5”;事件D：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”,則正確的關(guān)系是（）A.B與C為互斥事件B.B與C為對(duì)立事件C.A與D是互斥事件D。A與D為對(duì)立事件答案：A解析：“擊中環(huán)數(shù)大于5”的對(duì)立事件是：“擊中環(huán)數(shù)不大于5”，它包括事件“擊中5環(huán)".3。一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤上有四種顏色:紅、黃、藍(lán)、黑，并且它們所占面積的比為6∶2∶1∶4，則指針停在紅色或藍(lán)色的區(qū)域的概率為（）A.B.C。D。答案:B解析:記事件“轉(zhuǎn)盤指針分別落入紅、黃、藍(lán)、黑區(qū)域”分別為A、B、C、D，則它們兩兩互斥.∵P（A)=，P(C)=,∴P（A+C)=P（A）+P(C）=.4。盒子里有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中任取2個(gè)，顏色不同的概率是（）A.B.C.D.答案：C解析：給球編號(hào)畫樹狀圖.由樹狀圖,易知共有20種不同結(jié)果,其中顏色相同的有8種，因此顏色不同的概率為.5.在第3、6、16路公共汽車的一個(gè)?？空荆俣ㄟ@個(gè)車站只能?？恳惠v公共汽車)，有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里，他可乘3路或6路公共汽車到廠里,已知3路車、6路車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0.20和0.60，則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需車的概率為（）A.0。20B。0。60C答案：C解析:記乘客“乘3路車"的事件為A，“乘6路車"的事件為B，則P（A）=0。20，P（B）=0.60,∵A與B互斥，∴由概率加法公式知，乘客乘上所需車的概率為P(A+B）=P(A）+P（B)=0.20+0。60=0.80.故選C項(xiàng)。6。從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，如果其質(zhì)量小于4。8g的概率是0.3,質(zhì)量不小于4.85g的概率是0。32，那么質(zhì)量在[4.8，4。85）g范圍內(nèi)的概率是_____________.答案：0.38解析：設(shè)事件A=“質(zhì)量小于4.8g的羽毛球"，B=“質(zhì)量在［4.8,4.85）g范圍內(nèi)的羽毛球”，C=“質(zhì)量不小于4。85g的羽毛球”.則A、B、C互斥,且A+B+C=Ω,所以P（Ω)=P（A+B+C），即1=0.3+P(B）+0。32,所以P（B）=0.38。7.向三個(gè)相鄰的軍火庫投一枚炸彈，炸中第一軍火庫的概率為0。025，炸中第二、三軍火庫的概率各為0。1.只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率.解：設(shè)A、B、C分別表示炸中第一、第二及第三軍火庫這三個(gè)事件，已知P(A）=0。025，P（B）=P(C）=0。1,又設(shè)D={軍火庫爆炸},則D=A+B+C，其中A、B、C是互不相容事件，即互斥事件(因?yàn)橹煌稊S了一枚炸彈，故不可能同時(shí)炸中兩個(gè)以上的軍火庫),故由加法定理有,P(D）=P（A+B+C）=P(A)+P（B）+P(C)=0.025+0.1+0。1=0。225.8.射手張強(qiáng)在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0。24、0。28、0.19、0.16、0。13，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率;(2)至少射中7環(huán)的概率；（3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率.解:設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)"“射中7環(huán)以下”的事件分別為A、B、C、D、E,則A、B、C、D、E是彼此互斥事件，用概率的加法公式求得:（1）P(A+B）=P（A)+P（B)=0.24+0.28=0。52，所以射中