一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建一元線性回歸模型，理解一元線性回歸模型；依據(jù)最小二乘原理估計(jì)參數(shù)，得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程；利用殘差分析，判斷回歸模型擬合的有效性.二、教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合具體實(shí)例，通過分析變量間的關(guān)系建立一元線性回歸模型，并能說明模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過用數(shù)學(xué)方法刻畫散點(diǎn)與直線接近的程度，體會(huì)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)原理，能推導(dǎo)參數(shù)估計(jì)公式，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.通過對(duì)殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：一元線性回歸模型的概念，模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)，利用殘差分析回歸模型.難點(diǎn):隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與影響，參數(shù)估計(jì)公式的推導(dǎo).四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測(cè).下面我們研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的問題.1.情境導(dǎo)入案例生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.表1編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182問題1由這組樣本數(shù)據(jù)能否推斷兒子的身高與父親的身高有關(guān)系？關(guān)系的相關(guān)程度如何？是函數(shù)關(guān)系還是線性相關(guān)關(guān)系？為什么？學(xué)生活動(dòng)要求學(xué)生整理和表示數(shù)據(jù)，通過分小組合作完成.以橫軸表示父親的身高，縱軸表示兒子的身高，建立平面直角坐標(biāo)系，再將表中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖.然后根據(jù)散點(diǎn)圖作解讀，回答問題.設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)具體案例，對(duì)前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容做系統(tǒng)回顧，同時(shí)又可以作為探究一元線性回歸模型的例子.2.建立模型通過問題1，我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷父親身高和兒子身高兩個(gè)變量是正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系.問題2根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，兒子身高與父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系，能用函數(shù)模型刻畫嗎？師生活動(dòng)通過組織學(xué)生討論問題，形成以下主要結(jié)論：由于有其他因素的存在，使得兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.如果用表示父親身高，表示兒子的身高，用表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，假設(shè)沒有隨機(jī)誤差，則兒子身高只受父親身高影響，則，事實(shí)上，相關(guān)系數(shù)，故，也可以記作.教師引導(dǎo)學(xué)生寫出稱(1)式為的一元線性回歸模型（simplelinearregressionmodel）.其中稱為因變量或響應(yīng)變量,稱為自變量或解釋變量，為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差；模型中的是隨機(jī)變量，其值雖然不能由變量的值確定，但卻能表示為與的和（疊加），前一部分由唯一確定，后一部分是隨機(jī)的.如果，那么之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.設(shè)計(jì)意圖：了解隨機(jī)現(xiàn)象，并嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述隨機(jī)現(xiàn)象.追問1為什么要假設(shè)而不假設(shè)為某個(gè)不為零的常數(shù)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并適時(shí)指出，隨機(jī)誤差通常服從正態(tài)分布，如果隨機(jī)誤差的均值為一個(gè)不為零的常數(shù)，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實(shí)際建模中，也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機(jī)誤差.設(shè)計(jì)意圖：理解研究隨機(jī)問題的重要思想，即將一個(gè)隨機(jī)變量表示成一個(gè)主要的確定性的量與一個(gè)次要的隨機(jī)量之和，只要控制次要的隨機(jī)量在一定的范圍之內(nèi)，那么隨機(jī)問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結(jié)果.追問2已知父親身高，能用一元線性回歸模型確定兒子身高嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并得出結(jié)論：不能，因?yàn)殡S機(jī)誤差不可事先設(shè)定.當(dāng)父親身高為，對(duì)應(yīng)的兒子身高不是唯一確定的,而是有很多可能的取值，記作，它們的均值為：可以解釋為父親身高為的所有男大學(xué)生身高組成一個(gè)子總體，該子總體的均值為，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.而對(duì)于父親身高為的某一名男大學(xué)生，他的身高并不一定為，它僅是該子總體的一個(gè)觀測(cè)值，這個(gè)觀測(cè)值與均值有一個(gè)誤差項(xiàng).設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，使學(xué)生了解一元線性回歸模型的作用.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，加深學(xué)生對(duì)一元線性回歸模型的理解.問題3你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎？師生活動(dòng)：組織學(xué)生展開討論，形成共識(shí)，在研究?jī)鹤由砀吲c父親身高的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因有：（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.（2）在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差.（3）實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)誤差的理解.3.估計(jì)參數(shù)問題4一元線性回歸模型中參數(shù)a和b未知，如何根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并適時(shí)指出：通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)．由，得.顯然越小，表示點(diǎn)與點(diǎn)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線的豎直距離越小.因此可以用這n個(gè)豎直距離之和來刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”.在實(shí)際應(yīng)用中,因?yàn)榻^對(duì)值使得計(jì)算不方便,所以人們通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和來刻畫“整體接近程度”.所以我們?nèi)∈筈達(dá)到最小的a和b的值,作為截距和斜率的估計(jì)值.師生合作解決這個(gè)問題，得出參數(shù)估計(jì)公式.最后，教師給出最小二乘估計(jì)的概念.設(shè)計(jì)意圖：通過公式推導(dǎo)，加深對(duì)一元線性回歸模型的理解，通過對(duì)殘差平方和表達(dá)式的代數(shù)變形，突破推導(dǎo)的困難，并在公式推導(dǎo)過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).4.公式應(yīng)用師生活動(dòng)：應(yīng)用公式（2）求出父親身高與兒子身高的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并在散點(diǎn)圖中添加回歸直線.設(shè)計(jì)意圖：通過應(yīng)用公式，完善建立一元線性回歸模型的過程.5.殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的)稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.問題6：你能運(yùn)用殘差分析兒子身高Y關(guān)于父親身高x的一元線性回歸模型的有效性嗎？師生活動(dòng):教師指出，根據(jù)最小二乘原理，如果殘差比較穩(wěn)定，殘差絕對(duì)值比較小，說明回歸模型擬合的精度比較高.教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算殘差，列出殘差表，畫出殘差圖.觀察殘差的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊.說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.設(shè)計(jì)意圖：理解殘差分析的過程與意義.6.歸納小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：（1）什么是一元線性回歸模型？利用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)公式是什么？（2）經(jīng)驗(yàn)回歸直線有什么性質(zhì)？（3）如何用殘差分析一