浙江省杭高三校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

杭高2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)參考答案命題：貢院高一備課組審題：錢江高一備課組1.本試卷分試題卷和答題卡兩部分.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卡規(guī)定的地方.3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題卡上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題卡相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試題卷上答題一律無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卡.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若角終邊上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故，故選：C.2.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別利用函數(shù)、和的單調(diào)性，對(duì)“，，”三個(gè)因式進(jìn)行估值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，且，則，因?yàn)楹瘮?shù)增函數(shù)，且，則，因?yàn)檎液瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，所以，所以，故選：D.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出函數(shù)定義域后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得.【詳解】由可得，，解得，故的定義域?yàn)椋蔀樵龊瘮?shù)，令，對(duì)稱軸為，故其單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.4.“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得條件關(guān)系.詳解】若且，則，故成立，故“且”是“”的充分條件.若，則，故或，故“且”不是“”的必要條件，故“且”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.設(shè)函數(shù).若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按照從內(nèi)到外的原則，先計(jì)算的值，再代入，即可求出的值.【詳解】由于函數(shù)，且，則，且，所以，即，得.故選：B.6.已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象公共點(diǎn)問題進(jìn)而求解答案即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即在上有且只有一個(gè)實(shí)根，所以與的函數(shù)圖象在時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D7.已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出取值范圍，再由在上單調(diào)遞增得，最后結(jié)合題意求出的取值范圍即可.【詳解】因，，所以，要使得在上單調(diào)遞增，則，解得，又由題意可知，所以，故選：B8.中國早在八千多年前就有了玉器，古人視玉為寶，玉佩不再是簡(jiǎn)單的裝飾，而有著表達(dá)身份、感情、風(fēng)度以及語言交流的作用.不同形狀.不同圖案的玉佩又代表不同的寓意.如圖1所示的扇形玉佩，其形狀具體說來應(yīng)該是扇形的一部分（如圖2），經(jīng)測(cè)量知，，，則該玉佩的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)為M，連接BM、CM，延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)O，利用平面幾何知識(shí)得到扇形的圓心角，進(jìn)而利用扇形面積公式和三角形的面積公式計(jì)算求得該玉佩的面積.【詳解】如圖，取AD的中點(diǎn)為M，連接BM，CM，延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)O，由題意，△AOB為等腰三角形，又∵，∴AD//BC，又∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，，∴AM與BC平行且相等，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴，同理，∴△ABM，△CDM都是等邊三角形，∴△BOC是等邊三角形，∴該玉佩的面積.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：在下列區(qū)間中，函數(shù)必有零點(diǎn)的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】由所給的函數(shù)值表知，由零點(diǎn)存在定理可知：在區(qū)間內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)，故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，若，函數(shù)是偶函數(shù)，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算即可得.【詳解】，又其為偶函數(shù)，則圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，得，又，則或.故選：BC.11.已知函數(shù).則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，恒成立.D.若實(shí)數(shù)滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A、B，先利用函數(shù)解析式得出結(jié)論：，由于，只需驗(yàn)證是否成立即可；選項(xiàng)B，需驗(yàn)證點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱即可；選項(xiàng)C，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”的原則判斷即可；選項(xiàng)D，將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，借助函數(shù)單調(diào)性判斷即可.【詳解】對(duì)于A、B選項(xiàng)，對(duì)任意的，，所以函數(shù)定義域?yàn)椋忠?，由于，故A正確；由于函數(shù)滿足，所以任意點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，得該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，得，因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，同時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，即，故D正確.故選：ABD.12.函數(shù)，有且，則下列選項(xiàng)成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；再利用零點(diǎn)存在定理判斷得，從而判斷選項(xiàng)B、C、D.【詳解】因?yàn)橛星宜裕?，得所以，且所以A正確（因?yàn)椋?，故即，令?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，而故在之間必有解，所以存在，使得所以C正確，所以B不正確，所以D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，20分.13.計(jì)算：____________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，由換底公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】××＝4.故答案為：14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件①定義域不是R，值域是R；②奇函數(shù)；③周期函數(shù)的函數(shù)解析式___________.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】聯(lián)想正切函數(shù)可得結(jié)果.【詳解】滿足題意的函數(shù)為，（答案不唯一）.故答案為：，（答案不唯一）.15.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且又是最小正周期為的周期函數(shù)，則的值為____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性得到，進(jìn)而得到.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，又為奇函?shù)，故，故，即，解得，故.故答案為：16.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義.設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是_______.【答案】【解析】【分析】畫出和的圖象，得到的圖象，根據(jù)圖象得到最大值.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，依題意，的圖象為如圖所示的實(shí)線部分，令,則點(diǎn)為圖象的最高點(diǎn)，因此的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)齊次式問題分析求解，注意“1”的轉(zhuǎn)化.【小問1詳解】因?yàn)椋淼?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所?18.已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧希?）求；（2）若，求時(shí)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一次與二次不等式，結(jié)合具體函數(shù)定義域的求法化簡(jiǎn)集合，再利用交集的運(yùn)算即可得解；（2）利用集合的并集結(jié)果即可得解.【小問1詳解】集合，由，得或，則集合或，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，則，故的取值范圍是．19.已知，（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期為；對(duì)稱軸方程為；（2），；【解析】【分析】（1）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以最小正周期，令，解得，故函?shù)的對(duì)稱軸為（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最大值，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值20.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）求方程的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可；（2）根據(jù)題意先求時(shí)符合題意的解，再結(jié)合偶函數(shù)對(duì)稱性求出方程解集即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以任取，則，此時(shí)，所以【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，即，令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，符合題意的解為，，綜上，原方程的解集為21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，代入函數(shù)解析式解出和，由兩角和的正弦公式求解的值.【小問1詳解】，令，解得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由得，所以，又因?yàn)椋?，所?22.已知函數(shù)，.（1）求的最大值；（2）若對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)單調(diào)性與最值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解最值即可；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，代入函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，令，將不等式化為，結(jié)合二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)分類討論即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得的最大值；【小問2詳解】因?yàn)閷?duì)任意，，不等式恒成立，