2022新教材蘇教版高中數(shù)學必修第二冊第13章立體幾何初步 課時練習題及章末綜合檢測含答案解析

第13章立體幾何初步

13.1基本立體圖形.............................................................1

13.1.1棱柱、棱錐和棱臺...................................................1

13.1.2圓柱、圓錐、圓臺和球...............................................7

13.1.3直觀圖的斜二測畫法................................................13

13.2基本圖形位置關系.......................................................22

13.2.1平面的基本性質(zhì)..................................................22

13.2.2空間兩條直線的位置關系..........................................30

13.2.3直線與平面的位置關系............................................46

13.2.4平面與平面的位置關系............................................69

13.3空間圖形的表面積和體積.................................................93

13.3.1空間圖形的表面積.................................................93

13.3.2空間圖形的體積..................................................103

第13章測評..................................................................119

13.1基本立體圖形

13.1.1棱柱、棱錐和棱臺

1.下列關于棱柱的說法中，錯誤的是（）

A.三棱柱的底面為三角形

B.一個棱柱至少有五個面

C.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個側(cè)面全等

D.五棱柱有5條側(cè)棱、5個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

曹C

廨研顯然選項A正確;底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱，它有五個面，故B正確;若棱柱的底

面邊長相等,它的各個側(cè)面為平行四邊形，即邊長相等，但夾角不一定相等，故C錯誤;D正

確.

2.如圖所示，截去正方體一角得到的新多面體的面數(shù)是（）

A.8C.6D.5

答案|B

畫截去正方體一角得到的新多面體多了一個面，故面數(shù)為7.

3.設集合M二｛正四棱柱｝,N=｛長方體）,P=｛直四棱柱｝，。=｛正方體｝,則這四個集合之間的

關系是（）

A.PQNQMQQB.QQMQNQP

C.PQMQNQQD.QQNQMQP

朝根據(jù)定義知，正方體是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的長方體，長方體是特殊的

直四棱柱，所以｛正方體｝￡｛正四棱柱｝m長方體｝G｛直四棱柱｝，故選B.

4.一個棱臺至少有個面，面數(shù)最少的棱臺有個頂點，有條棱.

答案|569

5.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正

方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方

位是.

量I匕

6.直四棱柱八3。%4田|。1。1,若ABA.AD且AB=34。=4AAi=5,則AC\的長

為.

匿菊5V2

國麗依題意該直四棱柱為長方體,???AC”AB2+4。2+4唐=32+42+52=50,???AG=5企.

如圖，在正方形ABCD中,E,F分別為A8,BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點

A.B,C重合,重合后記為點P.問：

⑴折起后形成的空間圖形是什么空間圖形？

⑵若正方形邊長為2“則每個面的三角形面積為多少?

網(wǎng)(1)如圖折起后的空間圖形是三棱錐.

P依上Q

(2)SAPEF=^a2,SADPF=S^DPE=^x2axa=a2,SADEF=4a2-^a2-2a2=^a2.

8.如圖都是正方體的平面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()

A.(D(2)B.⑵⑶

C.(3)(4)D.(l)(4)

■B

健物圖⑴還原后，①⑤對面,②④對面，③?對面;圖⑵還原后,①④對面,②⑤對面,③⑥對

面;圖⑶還原后,①④對面，②⑤對面,③⑥對面;圖(4)還原后,①⑥對面,②⑤對面，③④對面.

綜上,可得還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是(2)(3).

9.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺上、下底面積之比為1:4,截去的

棱錐的頂點到底面的距離為3,則棱臺的上、下底面的距離為()

A.12B.9C.6D.3

函設原棱錐的高為"由題意得(,2W,則〃=6,因而棱臺的高為3,故選D.

10.

如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的選項是()

A.4Bi=2,AB=3,BiCi=3,BC=4

B.4IBI=1,AB=2,BICI=1.5,503AG=24C=3

CA\B\=1/8=2,5iCi=153c二3出。1二24。二4

D.AB=AiBi,BC=BiC\yCA=CiAi

選項A中，鬻H竽，故A不符合題意;選項B中，華中竽.故B不符合題意;選項

HAHHCRCAC

C中，警=誓=好，故C符合題意;選項D中滿足這個條件的可能是一個三棱柱，不

ABBCAC

可能是三棱臺.

11.（多選）下列說法不正確的是（）

A.棱臺的兩個底面相似

B.棱臺的側(cè)棱長都相等

C棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

|答案|BCD

函由棱臺的定義知A正確,B,C不正確;棱柱的側(cè)棱都相等且互相平行,且側(cè)面都是平

行四邊形，但側(cè)面并不一定全等,D不正確.

12.（多選）下面圖形中是正方體平面展開圖的是（）

rnj2!rf^rr^iH三

ABCD

匿圜AC

國畫由正方體平面展開圖的性質(zhì)知,A,C是正方體的平面展開圖;B不能折成正方體;D折

疊后有一個面重合，另外還少一個面,故不能折成正方體.

13.一個長方體共頂點的三個面的面積分別是VIVI,述，則這個長方體對角線的長

是.

霹傷

|解析|設長方體長、寬、高分別為x,y,z,則”二&,/=傷，三式相乘得『Vz?=6,即

4)2=巡，解得x=V3,y=V2,z=1,^T以J/+*+z2=73+2+1=V6.

14.試從正方體ABCQ-A由IGOI的八個頂點中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間圖形，作出

圖形并且用適當?shù)姆柋硎境鰜?

⑴只有一個面是等邊三角形的三棱錐;

⑵四個面都是等邊三角形的三棱錐;

⑶三棱柱.

1）如圖①所示,三棱錐4-A8I0I（答案不唯一）.

（2）如圖②所示,三棱錐B-ACDi（答案不唯一）.

（3）如圖③所示,三棱柱（答案不唯一）.

如圖，在一個長方體的容器中裝有少量水,現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的

過程中：

⑴水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎？

⑵水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐,對嗎？

⑶如果傾斜時不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底部的一個頂點，上面的第（1）題和第

⑵題對不對？

假（1）不對.水面的形狀就是用一個與棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面截長

方體時截面的形狀，因而可以是矩形,但不可能是非矩形的平行四邊形.

（2）不對.水的形狀就是用與核（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體

於去一部分后剩余部分的空間圖形，此空間圖形是棱柱，水比較少時，是三棱柱,水多時，可

能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱臺或棱錐.

（3）用任意一個平面去截長方體，其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊

形，因而水面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，水的形狀可以是棱錐、棱

柱，但不可能是棱臺，故此時⑴對，⑵不對.

16.

n.

如圖，在長方體ABCD-A/iGOi中,AB=3方C=4,A|A=5,現(xiàn)有一只甲殼蟲從點A出發(fā)沿長

方體表面爬行到點G來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值.

國把長方體的部分面展開，如圖，有三種情況.

對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AG的長分別為同,g,行,由此可

見乙是最短線路，所以甲殼蟲可以先在長方形A884內(nèi)由A到￡（8七二/）,再在長方形

BCGB內(nèi)由E到G,也可以先在長方形MDiQ內(nèi)由A到尸（“尸二甲，再在長方形

DCGQi內(nèi)由尸到G,其最短路程為

13.1.2圓柱、圓錐、圓臺和球

1.下列選項中的三角形繞直線/旋轉(zhuǎn)一周，能得到如圖所示空間圖形的是（）

I

I

ABCD

|答案|B

函由題意知，該空間圖形上、下各一圓錐，顯然B正確.

2.下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是（）

答案D

如圖所示的空間圖形是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的（）

ABCD

鹿A

函此空間圖形自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構(gòu)成，是由A中的平面圖

形旋轉(zhuǎn)而形成的.

4.用長為4,寬為2的矩形作側(cè)面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面的面積為（）

A.8B.-C.-D.-

nitn

答案B

廨相當圍成的圓柱底面周長為4,哥為2時，設圓柱底面圓的半徑為八則2"=4,所以『之

所以軸截面是長為2,寬為士的矩形，所以軸截面的面積為2x±=?同理，當圍成的圓柱底

nnIT

面周長為2,高為4時，軸截面的面積也為色.

5.觀察下列四個空間圖形，其中可看作是由兩個棱柱組合而成的是______（填序號）.

霹①④

?①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成,④可看作由兩個四棱柱組合而成.

6.已知一個圓柱的軸截面是一個正方形，且其面積是。，則此圓柱的底面半徑為

（用Q表示）.

朝設圓柱的底面半徑為人則母線,長為2r.

??.4/=Q,解得/岑.??此圓柱的底面半徑為冬

7.一個圓錐的高為2cm,母線與軸的夾角為30°,求圓錐的母線長及圓錐的軸截面的面

積.

網(wǎng)如

圖為軸截面SAB,圓錐SO的底面直徑為AB.SO為高,SA為母線,則ZASO=30°.

在RS50A中，

AO=SOtan30。二等（cm）.

所以5“58=6。?24。二竿（cn?）.

所以圓錐的母線長為手cm,圓錐的軸截面的面積為手cn?.

8.

如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形形狀為（）

A.一個球體

B.一個球體中間挖去一個圓柱

C,一個圓柱

D.一個球體中間挖去一個長方體

踴B

的圓面繞著直徑所在的軸旋轉(zhuǎn)般成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)形成圓柱.故選B.

9.上、下底面面積分別為36兀和49兀,母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為（）

A.4B.3V2C.2V3D.2V6

踴D

函設圓臺的母線長/，高〃和上、下兩底面圓的半徑八R,滿足關系式/二序+（足,.）2,由題

意知/二5，&=71=6,求得〃=2遍,即兩底面之間的距離為2遍.

10.（多選）下列說法中不正確的是（）

A.將正方形旋轉(zhuǎn)不可能得到圓柱

B,夾在圓柱的兩個平行截面間的空間圖形還是一個旋轉(zhuǎn)體

C,圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

D.通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線

|答案］ABD

瞳責將正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)可以得到圓柱，所以A錯誤;B中沒有說明這兩

個平行截面的位置關系，當這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況下結(jié)論不一定正

確，所以B錯誤;通過圓臺側(cè)面上一點，只有一條母線，所以D錯誤;C顯然正確.

11.（多選）下列說法中正確的是（）

A.過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑

B,母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等

C,圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面

D.圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形

S^]ACD

12.

（多選）如圖所示的空間圖形是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面,下底面圓心為

頂點的圓錐而得到的復雜空間圖形，現(xiàn)用一個豎直的平面夫截這個復雜空間圖形,則截面

圖形可能是（）

ABCD

■AD

豳一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的空間圖形被一個豎直的平面所截后,圓柱的輪廓是

矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分.

13.兩相鄰邊長分別為3cm和4cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的圓柱的底

面積為cm2.

|答案|16?；?兀

除附當以3cm長的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到的圓柱的底面半徑為4cm,底面積

為16兀co?;當以4cm長的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到的圓柱的底面半徑為3cm,

底面積為9兀cm2.

14.如圖所示的空間圖形可由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.

①③④

霹③④

廄畫題圖中的半球可由③繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成，也可由④繞軸旋轉(zhuǎn)180°而成.

15.如圖，模塊①?⑤均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個棱長為1的小正方

體構(gòu)成.

模塊①模塊②模塊③

模塊④模塊⑤模塊⑥

⑴若從模塊⑥中拿掉一個小正方體，再從模塊①~⑤中選出一個模塊放到模塊⑥上，使得

模塊⑥成為長方體，則①?⑤中選出的模塊可以是（答案不唯一）.

⑵若從模塊①?⑤中選出3個放到模塊⑥上,使模塊⑥成為棱長為3的大正方體,則選出

的3個模塊是（答案不唯一）.

矗|⑴①咸②或⑤）⑵①②⑤（或①④?）

畫（1）由題圖可知，①?⑤中選出的一個模塊可以是①，也可以是②，也可以是⑤.

（2）先補齊中間一層，只能用⑤，再補最上一層，則可用①?，也可用①④.

如圖所示,四邊形ABCD繞邊AO所在的直線所旋轉(zhuǎn)，其中AD〃BCAQ_LCD.當點A選

在射線OE上的不同位置時,形成的幾何體大小、形狀不同，比較其不同點.

g當B寸,四邊形ABCD繞政旋轉(zhuǎn)一周所得的空間圖形是由底面半徑為CO的

圓柱和圓錐組成的空間圖形，當AD=BC時,四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得的空間圖

形是圓柱，當0W4O<BC時,四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得的空間圖形是從圓柱中挖

去一個同底的圓銀而得到的.

17.圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長A8=20cm,從圓臺母線A8的中點

M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,求：

(1)繩子的最短長度；

⑵在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離.

國⑴如圖所示，將側(cè)面展開，繩子的最短長度為側(cè)面展開圖中AM的長度，

［殳08=/,NA0A'=。,則6>/=27ix5,<9-(/+20)=27rxlO,

解得。=；,/=20cm.

OA=40cm,OM=30cm.

???+OM2=50(cm),即繩子最短長度為5()cm.

(2)如圖，作OQ_LAM于點Q,交弧BB'于點、P,

則PQ為所求的最短距離.

???OAOM=AM-OQ.???02=24cm.

故尸Q二。Q-0尸二24-20=4(cm),即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4cm.

18.球的兩個平行截面的面積分別是5兀,8兀,兩截面間的距離為1,求球的半徑.

闞設兩個平行截面圓的半徑分別為門/2.球半徑為R.由兀r/=5兀得門二強.由兀以二8兀，得

畛=2班.

⑴如圖，當兩個截面位于球心。的同側(cè)時，有4/?2_理_即

揚石=1+V^豆解得R=3.

(2)當兩個截面位于球心O的異側(cè)時,有府石+而面=1.此方程無解.由(1)(2)知球

的半徑為3.

13.1.3直觀圖的斜二測畫法

1.長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個（）

①②③④⑤

A.?@B.?@?

C.@?D.③④⑤

甌C

畫由斜二測畫法知，長方形的直觀圖應為平行四邊形，且銳角為45°,故②⑤正確.

2.如圖,△ABC是△A3C的直觀圖，其中45?4。,則/^8。是（）

A.等腰三角形

B,直角三角形

C,等腰直角三角形

D.鈍角三角形

踴B

國胡???A'8'〃x'軸,AC'〃y'軸,I.A5_LAC又AC=2A'C'=2A8,.??乙48。是直角三角形，不是

等腰三角形.

3.如圖所示,“6。是水平放置的"BC的直觀圖，則在“8。的三邊及中線AD中，最長

的線段是（）

A.ABB.AD

C.BCD.AC

障畫△ABC是直角三角形，且NA3C=90°,則AC>A8HC>AO,AC〉8C,故AC是最長的線

段.

4.如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°,上底為1,腰為夜的等腰

梯形，那么原平面圖形的面積是()

A.—B.2V2C.4V2D.8V2

2

廨就依

題意,四邊形ABCO是一個底角為45°,上底為1,腰為魚的等腰梯形.過CQ分別做CF

_LAB,DEJ_A氏則A4OE和△BCF為斜邊長為四的等腰直角三角形.：.AE=DE=BF=1,又

EF=CD=1,梯形ABCD的面積5/=1x(l+3)x1=2.V在用斜二測畫法畫直觀圖時，直觀圖

的面積S'與原圖的面積S之比為史,???s=4x2=4企.

4V2

5.在斜二測畫法中,位于平面直角坐標系中的點用(4,4)在直觀圖中的對應點是則點

M'的坐標為.

霞(4,2)

健麗由直觀圖畫法“橫不變，縱折蘭"可得點”的坐標為(4,2).

在如圖所示的直觀圖中,四邊形O'ABC為菱形且邊長為2cm,則在坐標系xOy中原四邊

形OABC為(填形狀),面積為cm2.

■矩形8

除責由題意結(jié)合斜二測畫法，可得四邊形Q4BC為矩形，其中04=2cm,004cm,

所以四邊形0A5C的面積為5=2x4=8(cm2).

7.如圖所示,△川夕C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.

y

廄(1)畫出直角坐標系xOy,在工軸的正方向上取04=02；即CA=C'A

A7~~?

(2)過8'作方?！▂軸，交V軸于點Q；在0A上取。。=。。',過。作OB〃y軸，且使

DB=2DB;

(3)連接AB,BC,得AABC.

則2ABC即為4A對應的平面圖形，如圖所示.

8.一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重

合，圓柱的底面直徑為3cm,高(兩底面圓心連線的長度)為4cm,圓錐的高(頂點與底面圓

心連線的長度)為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.

概⑴畫軸.如圖①所示，畫x軸、z軸，使NxOz=90°.

⑵畫圓柱的下底面.在x軸上取A.B兩點，使AB=3cm,且04=08,選擇橢圓模板中

適當?shù)臋E圓且過A,8兩點，使它為圓柱的下底面.

(3)在Oz上截取00?4cm,過點0,作平行于圓軸的0上軸，類似圓柱下底面的畫法

畫出圓柱的上底面.

(4)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使P0'=3cm.

(5)成圖.連接A'A,85,PA',P8',整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到此幾何

體的直觀圖,如圖②所示.

②

9.己知一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸

一樣,長方體的長、寬、高分別為20m,5m,10m,四棱錐的高為8m.如果按1：500的比

例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為（）

A.4cm,lcm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

C.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

D.4cm,0.5cm,lcm,0.8cm

踴B

|解析|由比例尺可知,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為4cm,1cm,2cm和L6cm,

再結(jié)合直觀圖，圖形的尺寸應為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.

10.如圖,“夕方展示水平放置的AAOB的直觀圖,B在2軸上A。和x軸垂直，且4。'=2,

答案D

畫由直觀圖與原圖形中邊。8長度不變，且S席=2企S近％得/08〃=2&X206'.???

OB=OE、：?h=4&.

11.

用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸,邊8CAO平行于

x軸.已知四邊形ABCD的面積為275cm+則原平面圖形斗歹。。的面積為（）

A.4cm2B.4V2cm2

C.8cm2D.8V2cm2

制C

健麗依題意可知,NR4O=45°,則原平面圖形ABCZT為直角梯形，上、下底邊分別為

且長度分別與相等，高為且長度為梯形48C。高的2迎倍,所以原

平面圖形的面積為8cm2.

12.（多選）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,對其中的線段說法正確的是

（）

A.原來相交的仍相交B.原來垂直的仍垂直

C.原來平行的仍平行D.原來共點的仍共點

客剽ACD

13.（多選）已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一個邊長為4,則此正方形

的面積為（）

A.16B.64C.32D.48

用AB

畫等于4的一邊在原圖形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面積為16或64.

14.

/%)5G

（多選）如圖所示,用斜二測畫法作水平放置的"6C的直觀圖，得A4閏G,其中

八田二3。4。|是助?邊上的中線,則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是（）

A.AB=BC=AC

B.AD1BC

C.AB-LBC

D.AC>AD>AB>BC

答案CD

解析由

直觀圖知為直角三角形,ABJ_3cAB=2A|B|,BC=為BC的中點，如圖所示,

又4Bi=BG,則AB=28C,故AB錯誤,CD正確.

15.

A

一個水平放置的△ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是如圖所示的邊長為1的正三角形

ABC；則在真實圖形中A5邊上的高是.△ABC的面積是，直觀圖和真

實圖形的面積的比值是.

廨機將正三角形放入銳角為45°的坐標系/03，'內(nèi)，如圖①所示，過。作

45；垂足為將其還原為真實圖形，得到圖②的△ABC,其中

OA=O'A\AB=AEQC=20'C：

在△。。少中=￡

sin452

???真實圖形中,0C=巫,即△ABC的高等于歷，

由此可得三角形ABC的面積5=1x1xV6=y.

*/直觀圖中正三角形A3C'的面積為出，

4

叵廠

.??直觀圖和真實圖形的面積的比值等于信=當

16.

有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）,N

ABC=45°=AD=1QC_LBC,則這塊菜地的面積為.

用2+當

|解析|在直觀圖中，過點A作AE_L8C,垂足為瓦則在RtAABE中工8=1,N

ABE=45°,5七二當,而四邊形AECD為矩形,AO=1,則EC=AO=1,故BC=BE+EC=y+l.

（。）B'Cx

由此可還原原圖形如圖所示.

在原圖形中AD'=1,W2,BC'=￥+1,且4'D'〃B'C/'B'_LB'C',故這塊菜地的面積

為5=*。+80力5胃x（2+9）x2=2+當

17.按如圖的建系方法，畫水平放置的正五邊形A8COE的直觀圖.

|畫法|⑴在圖①中作4G_Lx軸于點G,作OH_Lx軸于點H.

（2）在圖②中畫相應的￡軸與y軸,兩軸相交于點。；使/VOy=45°.

(3)在圖②中的￡軸上取OB=OB,O'G=OGQ'C=OCQ'H'=OH,在V軸上取

。宏'令出，分別過G'和”'作V軸的平行線，并在相應的平行線上取G，A《GAHD《HD.

（4）連接并擦去輔助線G‘A軸與y'軸,便得到水平放置的正

五邊形ABCOE的直觀圖A'B'C'DE'（如圖③）.

18.在水平放置的平面a內(nèi)有一個邊長為1的正方形4BCZX如圖,其中的對角線AC在

水平位置，己知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖,試畫出該四邊形的真

實圖形并求出其面積.

解

設正方形ABC'。'是四邊形ABCZ）的直觀圖，則四邊形A8co是平行四邊形，且AO=2,對

角線4G或，原圖如下所示:其面枳S=2xlx2xV2=2V2.

19.泉州的一些老建筑是中西建筑文化的融合,它們注重閩南式大屋頂與西式建筑的巧妙

結(jié)合，具有獨特的建筑風格與空間特征.為延續(xù)該市的建筑風格,在舊城改造中，計劃對部

分建筑物屋頂進行“平改坡”，并體現(xiàn)“紅磚青石”的閩南傳統(tǒng)建筑風格.現(xiàn)欲設計一個閩南

式大屋，該大屋可近似地看作一個直四棱柱和一個三棱柱的空間圖形，請畫出其直觀圖

（尺寸自定）.

解1）先畫出直四棱柱的直觀圖A5CDABCQ,如圖①所示；

(2)以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側(cè)面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF,直

觀圖如圖②所示.

①②

20.已知水平放置的△ABC是正三角形，其直觀圖的面積為半況求AABC的周長.

凰畫出“8C的平面圖與直觀圖如圖所示，則dABC是△/!BC的平面圖形.

設△4BC的邊長為K由斜二測畫法，

知A,B,=AB=x,O'C'=-OC=-x.

24

作CD'_LA8垂足為點，

???/COD'=45°,.-.CD^—2O'C^—2x—4x=—8x,'

2

SAA,B'C--A'B'CD三夕半尸*.

二*2二牛"2,***x=2a,/.bABC周長為3x2〃=6"

21.畫出一個上、下底面邊長分別為1cm,2cm,高為2cm的正三棱臺的直觀圖.

畫法|⑴畫軸.如圖①，畫式軸、y軸、z軸相交于點O,

使NxO)=45°,ZxOz=90°.

(2)畫下底面.以O為中點，在x軸上取線段AB,使AB=2cm,在)，軸上取線段OC,使

。廣當cm.連接8C,CA,則△A8C就是正三棱臺的下底面的直觀圖.

(3)畫上底面.在Oz軸上取。’,使00'=2cm,過點0'作平行于軸Ox的軸。'廣,平行于

軸Oy的軸0曠,類似下底面的作法作出上底面的直觀圖△A'8'C'.

(4)成圖.連接AA',8B',CC',并加以整理(去掉輔助線，將被遮住的部分畫成虛線)，得到

正三棱臺的直觀圖(如圖②所示).

13.2基本圖形位置關系

13.2.1平面的基本性質(zhì)

1.若一直線。在平面。內(nèi)，則正確的作圖是（）

答案|A

國捌B中直線。不應超出平面a;C中直線。不在平面。內(nèi);D中直線。與平面a相交.

2.如果空間四點不共面，那么下列判斷中正確的是（）

A.ABC,。四點中必有三點共線

BABCD四點中不存在三點共線

C,直線48與CO相交

D.直線AB與。。平行

■B

函兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面.

3.（多選）設a/表示兩個平面，/表示直線4,8,C表示三個不同的點,給出下列結(jié)論正確的

是（）

A.若A￡/工￡a,B￡l,B￡火則/ua

B.a/不重合，若4￡⑥4￡4,8￡區(qū)8￡4則a^=AB

C.若Ca/￡，，則A^a

D.若A,8,C￡a,A,8,C￡A且A,8,C不共線，則a與。重合

客菊ABD

麗|選項A,若則/ua,由平面的基本性質(zhì)的基本事實2,可得A正

確;選項B,a，A不重合，若4￡&4三夕,8三％8三夕,則0八成二AB,由平面的基本性質(zhì)的基木事

實3,可得B正確;選項C,若佗上4￡/,則A或AWa,可得C不正確;選項D,若A,B,Ce

aABCWQ,且A,民。不共線，則a與夕重合，由平面的基本性質(zhì)的基本事實1,可得D正確

4.如圖所示的圖形可用符號表示為.

|答案卜n介AB

5.若直線/與平面a相交于點04,8￡/,。,0￡火且4?！?0,則O,C,D三點的位置關系

是.

礪共線

麗如

圖,..工。〃8。,???4。與8￡)確定一個平面,記作平面人則an介直線CD.

V/na=O,AOea.

又O￡A8uS，???O￡直線CD,

，O,C,O三點共線.

D

已知:A0,B￡l,C￡/,DM如圖所示.求證:直線AD,BD,CD共面.

屜明因為。即所以/與?？梢源_定一個平面，設為因為A￡/,所以A￡a,又?！昊鹚?/p>

ADua.同理,8。＜=火8(3%所以4。,80,。。在同一平面a內(nèi),即它們共面.

A

B,D

/aEF/

如圖四邊形ABCD中，已知A8〃C￡>,直線AB,8cA。,OC分別與平面?相交于點E,G,H,F.

求證:EEG,“四點必定共線.

屜則\'AB//CZ）,???確定一個平面，設為生

???48八。二瓦???七￡48,￡：￡火???￡：￡夕,???后在a與4的交線上.

同理,F,G,”也在a與夕的交線上,???E,F,G,”四點必定共線.

8.在空間四邊形ABCD的邊AB,8C,CD,D4上分別取點E『,G,H,若EF與HG交于點M,

則（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在直線AC上,也可能在直線BD上

D.M不在直線AC上，也不在直線BD上

制A

臃畫由題意得所在平面ABC內(nèi),”G在平面ACD內(nèi),EF與HG交于點M所以點M一

定落在平面ABC與平面ACO的交線AC上.

9.已知a6］是平面是直線,anS="ny=6,yna=c，若4nb二尸，則（）

A.PWcB.PCc

C.cAa=0D.cCl/?=0

霞A

|解析|如圖,VaC\b=P,PEEb.*/aCga,0n產(chǎn)b,APEa,PG%而yC\a=c,/.P￡c.

10.在正方體ABCD-4BiGOi中,PQR分別是4MoBG的中點，那么正方體過PQR

的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C,五邊形D.六邊形

答案D

圖所示，作GR//PQ交CiDi于G,延長。尸與的延長線交于M連接MR交BBi于E,

連接PE.延長PQ交CO的延長線于N,連接NG交DD\于R連接QE故截面PQFGRE

為六邊形.故選D.

11.（多選）下列說法正確的是（）

A.平面是處處平的面

B.平面是無限延展的

C.平面的形狀是平行四邊形

D.一個平面的厚度可以是0.001cm

踴AB

函平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄,AB兩種說法是正確的;CD兩種說

法是錯誤的.

12.（多選）下列說法不正確的是（）

A.三點可以確定一個平面

B.空間中兩條直線能確定一個平面

C,共點的三條直線確定一個平面

D.圓和平行四邊形都可以表示一個平面

|答案|ABC

底前不共線的三點確定一個平面，故A錯誤;只有兩條平行或相交的直線才能確定一個

平面，故B錯誤;當三條直線相交于一點時，可以確定三個平面，故C錯誤;圓和平行四邊形

是平面圖形，可以用來表示平面，故D正確.

13.

（多選）如圖所示，在正方體48。。.4所。。］中,0為。5的中點,直線4。交平面G5力于

點M則下列結(jié)論正確的是（）

A.G,M,0三點共線

B.G,M,O,C四點共面

CG,OA"四點共面

D.DiQ,O,M四點共面

客剽ABC

健桐在題圖中，連接A1C1,AC（圖略），則4cpi80=0,ACC平面GBD=M.???三點G,M。在

平面GB。與平面ACGAi的交線上，即G,M,。三點共線,???A,B,C均正確,D不正確.

14.（多選）（2021湖南衡陽二模）用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形

C正五邊形D.正六邊形

踴ABC

國麗如圖所示，當截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形;當截面

為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形、平行四邊形、等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形;當截面為

五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形;當截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形.故選ABC.

15.A,8,C為空間三點,經(jīng)過這三點的平面有個;三條平行直線最多能確定的平面

的個數(shù)為.

慘剽1或無數(shù)3

麗［當不共線時，有一個平面經(jīng)過這三點;當A,民C共線時，有無數(shù)個平面經(jīng)過這三

點.

當三條平行直線在一個平面內(nèi)時，可以確定1個平面;當三條干行直線不在同一平面

上時,可以確定3個平面.因此，最多可確定3個平面.

16.三個互不重合的平面把空間分成〃部分，則〃所有可能的值為.

|答案|4,6,7或8

函若三個平面互相平行，則可將空間分為4部分；

若三個平面有兩個平行，第三個平面與其他兩個平面相交，則可將空間分成6部分;

若三個平面交于一線，則可將空間分成6部分；

若三個平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分成7部分；

若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（如墻角三個墻面的關系），則可將空間分

成8部分.故n的所有可能值為4,6,7或8.

17.已知:四條直線且4〃6//孰/?！?4,/皿=8,/0。=。.求證:直線a,O,c,和/共面.

麗如圖,

與Z?確定一個平面，設為a.

*/lC\a=A,lC\b=B,.'A

又A￡l,B0,；?lua.

?：b//c,：.b與c確定一個平面，設為△同理可知Q.

??,平面a與夕都包含/和b,且加/=氏

由推論知:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，

，平面a與平面夕重合,a,b,c和/共面.

如圖，已知在空間四面體A8CO中,￡F分別是A8/O的中點,G,"分別是6C,CO上的點,

J&77=二二2.求證:直線相交于同一點.

A

EZ

E尸分別是AB,A。的中點,

:.EF〃BDdEF=-BD.

BGDH.

又一=—=2,

GCHC'

:?GH〃BDdGgBD,

:.EF〃GHJLEF>GH,

???四邊形E/77G是梯形，其兩腰所在直線必相交.設兩腰EG/H的延長線相交于一

點P,

「EGu平面ABC,尸Hu平面ACD,

??.P￡平面A8C,尸金平面ACD.

又平面ABCCI平面AC。=AC,

???P￡4C,故直線EG/H/C相交于同一點.

19.如圖，不共面的四邊形ABB'A',BCCB；CAA。都是梯形.

求證:三條直線方,CC相交于一點.

庭則因為在梯形ABB'A^A'B'/ZAB,

所以在同一平面A'B內(nèi).

設直線A4\BB，相交于點P,如圖所示.

同理8B',CC同在平面BC'內(nèi),CCA4'同在平面AC內(nèi).

因為PeA4'u平面AC,所以Pe平面A'C.同理點Pe平面8C,所以點P在平面

ACm平面BC'的交線上,而平面4'。八平面8C'=CC',故點尸三直線CC；即三條直線

AA；BB；CC相交于一點.

20.在棱長是a的正方體A8CD-A山iG。中,MN分別是A4QQ的中點，過D,M,N三懸

的平面與正方體的下底面相交于直線/.

⑴畫出交線/;

⑵設/"4山產(chǎn)P,求PBi的長;

⑶求點。1到/的距離.

解1)如圖，延長QM交ZM1的延長線于點Q則點。是平面ZWN與平面AiBiG"的一

個公共點.連接QN,則直線QN就是兩平面的交線7.

⑵是AAi的中點,MAi〃￡)Qi,???4是。。的中點.

又AiP〃DiN,：?AiP=；DiN.

???N是。G的中點,???AiP=iDiG=-,

44

：.PBi=AiB\-AiP=-a.

4

(3)如圖，過點Di作DTH工PN于點、“，則5”的長就是點Di到/的距離.

VQD\=2AiDi=2a9D\N=^

17

QN向

即點。到/的距離是等a

13.2.2空間兩條直線的位置關系

第1課時平行直線

1.空間兩條互相平行的直線指的是（）

A.在空間沒有公共點的兩條直線

B.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線

C.在兩個不同的平面內(nèi)且沒有公共點的兩條直線

D.在同一平面內(nèi)且沒有公共點的兩條直線

函D

2.若。A0B〃O'B：且NAOB=130°，則NA'O'B'等于（）

A.1300B.500

C.130°或50°D.不能確定

篤C

,/Ok//O,A\OB//O'B\：.ZAOB與NA’03’相等或互補，;ZAOB=\30°Z

A0E=13O°或50°.

3.在三棱錐P-ABC中,PB_LBC,E,D尸分別是的中點，則等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

踴D

除責由題意可知DE〃PB,EF〃BCM^/DEF=NPBC=90：

4.在四棱錐P-ABCD中,E,F,G,H分別是尸4,PC,A8,BC的中點，若EF=2,則

GH=.

宣2

除函由題意知E尸〃4C,EF=/C,G”〃AC,G”=/C,故EFG”,故GH=2.

5.

如圖，在長方體ABCQ-A山Cd中的平面AC內(nèi)有一點P,經(jīng)過點尸作棱BC的平行線,

應該怎樣畫?請說明理由.

假如圖，在平面AG內(nèi)過點尸作直線政〃8c，交48于點E,交CiDi于點F,則直線

即為所求.理由如下：

因為E/〃8G,8C〃BiCi,所以EF//BC.

6.

如圖，在正方體ABCDAIBGOI中，E,F分別為A4i,CG的中點，求證:四邊形引孫E是平

行四邊形.

怔麗如圖所示，取BB、的中點G,連接GG,GE.

R---------1G

因為尸為CG的中點，

所以5G〃/G,且BG=FC\.

所以四邊形8FGG是平行四邊形.

所以BF〃GC\,BF=GCi.

又因為EG//A\B\,EG=A\B\,

A\B\//C\D\,A\B\=C\D\,

所以EG〃CQi,EG=GOi.

所以四邊形EGC\D\是平行四邊形.

所以EDi//GC\,EDi=GC\.

所以BF〃EDi,BF=ED\.

所以四邊形是平行四邊形.

7.

如圖，過正方體A8CQ-A閏CQ的頂點A作直線/,使/與棱A&ADA4］所成的角都相等,

這樣的直線/可以作（）

A.4條B.3條

C.5條D.2條

ggA

慨責連接AG（圖略），則AG與棱A&ARAAi所成的角都相等;過點4分別作正方體的另

外三條體對角線的平行線，則它們與棱AB,AZXA4i所成的角也都相等.故這樣的直線/可

鼠作4條.

8.

如圖所示，已知在二棱錐中，憶N分別為人優(yōu)。力的中點,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.MN若(AC+BD)

B.MN旺(4C+8O)

C.MN=^AC+BD)

D.MN0AC+BD)

踴D

顫如

A

圖所示，取BC的中點E,連接ME,NE,

則ME^ACNE^BD,

所以ME+NEW（AC+BO）.

在〉MNE中，有ME+NE>MN.

所以MN<#4C+80.

9.（多選）

如圖，在四棱柱43。。-4場口。|中，底面是梯形/g〃CD,則所有與N4AB相等的角是

（）

A.ZDiDCB.ZD1C1C

C.ZA1B1BD.ZGCD

客剽ABC

廨祈j因為在四棱柱A8CZ）-Ai8iCQi中/Ai〃OOi,又A8〃C。,所以N4AB與N。］。。相

等.又由于四邊形A148B,四邊形DIDCCI為平行四邊形，所以N4A8與NAH,N

DiGC也相等.

10.（多選）如圖，在正方體ABCD-AiBiC\Di中,/u平面A閏G